专题4.1 等可能性（知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题4.1 等可能性 （知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 1 考点1：列举随机实验的所有可能结果 1 考点2：判断实验所得结果是否是等可能的 3 中考真题 实战演练 3 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 8 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【微点拨】 1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试验的结果具有等可能性。 2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？（①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等 考点1：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（22-23八年级上·四川阿坝·期末）小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 【变式训练1】（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练3】（2019·辽宁丹东·三模）下列事件中是必然事件的为：（    ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上 B．二次函数图象与x轴总有交点 C．所有的等腰直角三角形都是相似的 D．通过旋转变换得到的图形，也可以通过平移变换得到 考点2：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【变式训练1】（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【变式训练2】（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【变式训练3】在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（　　） A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 B．扔一枚正六面体的骰子 C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人 D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面” 1．（2023·内蒙古·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定 3．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 4．（2020·辽宁沈阳·中考真题）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 5．（2010·四川绵阳·中考真题）下列说法不正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖 B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定 D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 基础夯实 1．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．标准大气压下，水的沸点是 B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环 C．北京某日的最高气温为 D．用长，，的三根木棍首尾相接做成一个三角形 2．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（    ） A．可能性很大的事情是必然发生的 B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的 C．打开电视机，它正在播广告是随机事件 D．爸爸买彩票又没中奖，我劝他坚持，因为他从未中过奖，所以他现在中奖的机会比以前大了 3．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 4．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：泰州的夏天下雪．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·北京海淀·期末）小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 ． 6．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 7．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有数字7的区域内；②指针落在标有偶数数字的区域内；③指针落在标有3的倍数数字的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为 ． 8．（20-21九年级·全国·课后作业）在每个事件的括号里填上“必然”、“随机”、“不可能”等词语． ①如果，那么．（    ） ②如果，那么，．（    ） ③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的．（    ） ④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6．（    ） 9．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 10．（19-20九年级上·山东东营·期中）为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16 第4组 40≤x＜45 a 第5组 45≤x＜50 10    请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整； （2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 培优拔高 11．（24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中、属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球 C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰 13．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．刻舟求剑 B．从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C．方程在实数范围内有解 D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 14．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 15．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 16．（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 17．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数x运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为 ． 18．（2022·北京东城·模拟预测）容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 19．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 20．如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 等可能性 （知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 1 考点1：列举随机实验的所有可能结果 1 考点2：判断实验所得结果是否是等可能的 5 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 17 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【微点拨】 1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试验的结果具有等可能性。 2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？（①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等 考点1：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（22-23八年级上·四川阿坝·期末）小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 【答案】(1)9 (2)不公平，理由见解析 【思路引导】本题考查了列表法与树状图法，概率的计算，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用列表法列出所有可能的情况，即可得到答案； （2）先根据分式的性质得出分式有意义的条件，再结合可能情况分别计算使分式有意义和无意义的概率，再比较即可判断出是否公平． 【规范解答】（1）解：列表如下 1 1 则所有可能出现的结果有9种 故答案为：9． （2）解：不公平，理由如下： 要使有意义，即 即，，，使分式有意义，则小强获胜概率为； 要使无意义，即 即，，，，使分式无意义，则小兵获胜概率为； 这个游戏规则不公平． 【变式训练1】（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【规范解答】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【考点评析】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 【变式训练2】（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【思路引导】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【规范解答】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【考点评析】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 【变式训练3】（2019·辽宁丹东·三模）下列事件中是必然事件的为：（    ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上 B．二次函数图象与x轴总有交点 C．所有的等腰直角三角形都是相似的 D．通过旋转变换得到的图形，也可以通过平移变换得到 【答案】C 【思路引导】根据必然事件的定义即可判断. 【规范解答】A. 连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上为随机事件； B. 二次函数图象与x轴总有交点，为随机事件； C. 所有的等腰直角三角形都是相似的，为必然事件； D. 通过旋转变换得到的图形，也可以通过平移变换得到，为随机事件. 故选C. 【考点评析】此题主要考查必然事件的判定，解题的关键是熟知必然事件发生的概率为100%. 考点2：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【思路引导】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可． 【规范解答】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意； C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意； D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选B． 【考点评析】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性． 【变式训练1】（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【规范解答】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【考点评析】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【变式训练2】（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【思路引导】根据等可能事件的意义解答即可． 【规范解答】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【考点评析】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 【变式训练3】在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（　　） A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 B．扔一枚正六面体的骰子 C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人 D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面” 【答案】B 【思路引导】依据抛一枚均匀硬币出现情况只有两种即可判断出正确答案． 【规范解答】解：在抛硬币事件中出现的情况只有两种，A、C、D事件中出现的情况也为两种， 而B出现的情况为六种， 故选B． 【考点评析】解决本题的关键是从出现的情况数目分析． 1．（2023·内蒙古·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 【答案】C 【思路引导】A、根据必然事件和随机事件的定义即可判断该命题是否正确；B、根据小数精确度的定义即可判断该命题是否正确；C、根据轴对称图形的性质即可判断该命题是否正确；D、方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【规范解答】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，命题错误，该选项不符合题意； B、精确到百分位，命题错误，该选项不符合题意； C、点关于轴的对称点坐标是，命题正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙成绩比甲的稳定，命题错误，该选项不符合题意． 故选：C 【考点评析】本题主要考查必然事件和随机事件、小数精确度、轴对称图形、方差，牢记必然事件和随机事件的定义、小数精确度的定义、轴对称图形的性质、方差的性质是解题的关键． 2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定 【答案】C 【思路引导】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【规范解答】解：．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意； ．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意； ．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意； ．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 3．（2021·湖南长沙·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 【答案】A 【思路引导】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数， 只能是1与3的和， 即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3， ， 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5， ， 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7， ， 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10， 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9， 故选：A． 【考点评析】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键． 4．（2020·辽宁沈阳·中考真题）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【答案】A 【思路引导】根据概率事件的定义理解逐一判断即可． 【规范解答】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确 B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误 C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误 D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误 故答案选A 【考点评析】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键． 5．（2010·四川绵阳·中考真题）下列说法不正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖 B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定 D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 【答案】A 【规范解答】试题分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可． 试题解析：A、某种彩票中奖的概率是，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误； B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确； C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确； D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确． 故选A． 考点：1.概率公式；2.全面调查与抽样调查；3.标准差；4.随机事件． 基础夯实 1．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．标准大气压下，水的沸点是 B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环 C．北京某日的最高气温为 D．用长，，的三根木棍首尾相接做成一个三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件，解答本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 利用随机事件，必然事件和不可能事件的概念逐一判断即可解题． 【规范解答】解：A．标准大气压下，水的沸点为，是必然事件； B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件； C．北京某日的最高气温为，是随机事件； D．用长为，，三根木棒做成一个三角形，是不可能事件； 故选D． 2．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（    ） A．可能性很大的事情是必然发生的 B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的 C．打开电视机，它正在播广告是随机事件 D．爸爸买彩票又没中奖，我劝他坚持，因为他从未中过奖，所以他现在中奖的机会比以前大了 【答案】C 【思路引导】本题考查了随机事件可能性大小的判断，可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据随机事件可能性大小判断即可． 【规范解答】解：A．可能性很大也不一定确定发生，故原说法错误；可能性很小的事情也有可能发生，故原说法错误； B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是可能发生的，故原说法错误； C．打开电视机，它正在播广告是随机事件，说法正确； D．爸爸买彩票又没有中奖，我劝他要坚持，无论他是否中过奖，他现在中奖的概率和以前中奖的概率是一样的，故原说法错误． 3．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【规范解答】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【考点评析】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 4．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：泰州的夏天下雪．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得解． 【规范解答】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1； 事件C：泰州的夏天下雪是不可能事件，P（C）=0， 所以，P（C）＜P（A）＜P（B）． 故选：B． 【考点评析】本题考查了概率的意义，必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1． 5．（22-23七年级上·北京海淀·期末）小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，告诉了儿子小黑数字，女儿小白花色，以下是、两个人的对话： A：我不知道这张牌 B：我早知道你不知道 A：我现在知道这张牌了 B：我也知道了． 请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 ． 【答案】方块 【思路引导】根据题目条件，进行推理，逐一排除，即可． 【规范解答】∵我不知道这张牌可知：在所有牌中，这张牌为数字且不同花色的不止一张； ∴仅剩与 ， ∵我早知道你不知道可知，牌的花色为方块， ∴只能是方块， 故答案为：方块． 【考点评析】本题考查了概率的知识，灵活运用排除法是解题的关键． 6．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【答案】5 【思路引导】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【规范解答】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 7．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有数字7的区域内；②指针落在标有偶数数字的区域内；③指针落在标有3的倍数数字的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为 ． 【答案】①③② 【思路引导】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可． 【规范解答】解：①指针落在标有7的区域内的概率是； ②∵1至8内偶数有2，4，6，8共4个 ∴指针落在标有偶数的区域内的概率是； ③∵1至8内3的倍数有3和6共2个， 指针落在标有3的倍数的区域内的概率是； 将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：①③②， 故答案为：①③②． 【考点评析】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 8．（20-21九年级·全国·课后作业）在每个事件的括号里填上“必然”、“随机”、“不可能”等词语． ①如果，那么．（    ） ②如果，那么，．（    ） ③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的．（    ） ④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6．（    ） 【答案】①必然；②不可能；③随机；④随机 【思路引导】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件； 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【规范解答】①如果，那么，是必然事件；故答案为：必然 ②如果，那么，，是不可能事件， ，那么；故答案为：不可能 ③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的，是随机事件；故答案为：随机； ④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6，是随机事件．故答案为：随机 【考点评析】本题考查了确定事件和随机事件，根据相关知识判断事件的发生的可能性大小是解题的关键． 9．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 【答案】（1）①②③；（2）答案见解析． 【思路引导】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【规范解答】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误； ②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①②③． （2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【考点评析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．（19-20九年级上·山东东营·期中）为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16 第4组 40≤x＜45 a 第5组 45≤x＜50 10    请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整； （2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 【答案】（1）a=10；把频数分布方图补充完整图见解析；（2）小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P=． 【思路引导】（1）用总人数减去各组人数即可求解；（2）用树状图表示出可能的情况即可求解. 【规范解答】（1）表中a的值是：a=50-6-8-16-10=10； 根据题意画图如下：      （2）用A表示小宇B表示小强，C、D表示其他两名同学， 根据题意画树状图如下：    从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P==． 【考点评析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知统计调查的知识及树状图的画法. 培优拔高 11．（24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【规范解答】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中、属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球 C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰 【答案】C 【思路引导】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟知这三类事件的区别是解题的关键． 根据这三类事件的定义，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A．打开电视机，正在直播足球比赛是随机事件，故本选项不符合题意； B．在只装有2个玻球的袋中摸出一个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意； C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7是不可能事件，故本选项符合题意； D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰是必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 13．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．刻舟求剑 B．从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C．方程在实数范围内有解 D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【规范解答】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； B、从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意； C、方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意； D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 14．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【思路引导】正确的推理判断即可求解． 【规范解答】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【考点评析】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 15．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【规范解答】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，， ，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 16．（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【思路引导】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【规范解答】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 17．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数x运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为 ． 【答案】 【思路引导】通过计算，比较MA+AC与NA+AC的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论． 【规范解答】解：∵MA=2，NA=2，AC=4， ∴MA+AC＜NA+AC ∴若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运， 故答案为：M； ∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1）， ∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2， ∵，，则a=3c，b=2c． 当按N-A-B-C运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×3c+2c=（8+12）c≈24.97c； 当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4c=24c； 当按N-B-C-A线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4×3c=32c， ∵24c＜24.97c＜32c， ∴当按N-B-A-C线路运输时，总的“吨千米数”最小为． 故答案为：240． 【考点评析】本题主要考查了方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键． 18．（2022·北京东城·模拟预测）容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③/③① 【思路引导】假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果． 【规范解答】解：（1）最后剩下的可能是A粒子． 10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子； 9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子． （2）最后剩下的可能是C粒子． 10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子． （3）最后剩下的不可能是B粒子． A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况： A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：（B少1个，A、C总数不变）； C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）； A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）， 可以发现如下规律： ①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次， 由于开始B粒子共有8颗， 所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个， 所以，最后剩下的不可能是B粒子． ②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的． 所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C． 故答案为：①③． 【考点评析】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键． 19．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【思路引导】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【规范解答】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【考点评析】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 20．如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 【答案】(1)；(2)；(3)②、③、①、④. 【思路引导】（1）共3红2黄1绿相等的六部分，④指针不指向黄色的可能性大小为； （2）共3红2黄1绿相等的六部分，②指针指向绿色的概率为； （3）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【规范解答】解：(1) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴④指针不指向黄色的可能性大小为， 则④事件发生的可能性大小是； (2) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴②指针指向绿色的概率为， 则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； (3) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为，③指针指向黄色的概率为， 将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④ . 【考点评析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$