1.1 一元二次方程（知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.1 一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：一元二次方程的定义 3 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 3 考点讲练3：一元二次方程的解 4 考点讲练4：一元二次方程的解的估算 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 8 新知精讲梳理 知识点01：一元二次方程的定义 一元二次方程是数学中的一个重要概念，它满足以下三个基本条件： 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，即不含有分式或根号（在根号内不含未知数）的项。 一元方程：方程中只含有一个未知数。 二次方程：未知数的最高次数是2。 具体来说，一个关于x的方程如果满足上述三个条件，则被称为一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0 其中，a、b、c是常数，且a ≠ 0。这是因为当a = 0时，方程退化为一元一次方程。在这个一般形式中： a 称为二次项系数。 b 称为一次项系数。 c 称为常数项。 知识点03：一元二次方程的解 一元二次方程的解是指使方程成立的未知数的值。根据判别式Δ（Delta）的定义，Δ = (b²- 4ac)，我们可以判断一元二次方程的解的情况： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解。 当Δ < 0时，方程没有实数解，但在复数范围内有两个解。 知识点04：一元二次方程解的估算（简要提及） 在实际应用中，有时我们不需要精确求解一元二次方程，而只需要估算其解的范围或大致值。这可以通过分析方程的系数、利用不等式的性质或结合图像等方法来实现。例如，通过观察方程的系数可以判断解的正负性，或者利用函数的图像（如抛物线）来估算解的位置。 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义 整式方程：学生容易忽略方程必须是整式方程的要求，即方程中不能含有分式或根号（根号内不含未知数）的项。 一元：必须确保方程中只含有一个未知数，多个未知数的方程不是一元二次方程。 二次：未知数的最高次数必须是2，如果最高次数不是2，则不是一元二次方程。 易错知识点02：一元二次方程的一般形式 二次项系数不为0：学生容易忽略(a eq 0)的条件，当(a = 0)时，方程退化为一元一次方程。 一般形式的转化：学生可能在将方程化为一般形式时出错，特别是当方程中有括号或需要进行移项、合并同类项等操作时。 易错知识点03：一元二次方程的解 判别式的应用：学生可能不熟悉或不会使用判别式(\Delta = b^2 - 4ac)来判断方程解的情况，导致无法准确判断方程是否有实数解以及解的个数。 解法的选择：对于不同形式的一元二次方程，学生可能不知道如何选择最合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），导致解题过程复杂或错误。 易错知识点04：一元二次方程的解的估算（非直接知识点，但提及易错点） 估算方法的选择：学生可能不知道或不会使用合适的方法来估算一元二次方程的解，如利用图像法、不等式法等。 估算的精度：学生可能在估算过程中忽略了精度问题，导致估算结果与实际解相差较大。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·重庆·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）请写出一个一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）方程化成一般式后，其二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．2，，0 D．2，， 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 【举一反三练3】（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【举一反三练3】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 考点讲练4：一元二次方程的解的估算 【精讲题】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）下列是一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 5．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 6．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则 ． 7．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为 ． 9．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 10．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 11． （23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值并求此方程的解． 12． （23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 培优题真题汇编练 14．（23-24八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 16．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 17．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 20．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 21．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 22．（20-21八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 24．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 25．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 26．（2023·安徽滁州·模拟预测）在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．    (1)用含，的代数式表示的长． (2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由． 27．（21-22九年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.1 一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：一元二次方程的定义 3 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 4 考点讲练3：一元二次方程的解 7 考点讲练4：一元二次方程的解的估算 9 中等题真题汇编练 11 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点01：一元二次方程的定义 一元二次方程是数学中的一个重要概念，它满足以下三个基本条件： 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，即不含有分式或根号（在根号内不含未知数）的项。 一元方程：方程中只含有一个未知数。 二次方程：未知数的最高次数是2。 具体来说，一个关于x的方程如果满足上述三个条件，则被称为一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0 其中，a、b、c是常数，且a ≠ 0。这是因为当a = 0时，方程退化为一元一次方程。在这个一般形式中： a 称为二次项系数。 b 称为一次项系数。 c 称为常数项。 知识点03：一元二次方程的解 一元二次方程的解是指使方程成立的未知数的值。根据判别式Δ（Delta）的定义，Δ = (b²- 4ac)，我们可以判断一元二次方程的解的情况： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解。 当Δ < 0时，方程没有实数解，但在复数范围内有两个解。 知识点04：一元二次方程解的估算（简要提及） 在实际应用中，有时我们不需要精确求解一元二次方程，而只需要估算其解的范围或大致值。这可以通过分析方程的系数、利用不等式的性质或结合图像等方法来实现。例如，通过观察方程的系数可以判断解的正负性，或者利用函数的图像（如抛物线）来估算解的位置。 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义 整式方程：学生容易忽略方程必须是整式方程的要求，即方程中不能含有分式或根号（根号内不含未知数）的项。 一元：必须确保方程中只含有一个未知数，多个未知数的方程不是一元二次方程。 二次：未知数的最高次数必须是2，如果最高次数不是2，则不是一元二次方程。 易错知识点02：一元二次方程的一般形式 二次项系数不为0：学生容易忽略(a eq 0)的条件，当(a = 0)时，方程退化为一元一次方程。 一般形式的转化：学生可能在将方程化为一般形式时出错，特别是当方程中有括号或需要进行移项、合并同类项等操作时。 易错知识点03：一元二次方程的解 判别式的应用：学生可能不熟悉或不会使用判别式(\Delta = b^2 - 4ac)来判断方程解的情况，导致无法准确判断方程是否有实数解以及解的个数。 解法的选择：对于不同形式的一元二次方程，学生可能不知道如何选择最合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），导致解题过程复杂或错误。 易错知识点04：一元二次方程的解的估算（非直接知识点，但提及易错点） 估算方法的选择：学生可能不知道或不会使用合适的方法来估算一元二次方程的解，如利用图像法、不等式法等。 估算的精度：学生可能在估算过程中忽略了精度问题，导致估算结果与实际解相差较大。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 【举一反三练2】（23-24八年级下·重庆·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，可求，由，即，可得． 【规范解答】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 【举一反三练3】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）请写出一个一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的概念“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”是解题关键．先确定方程的左边分解因式后，含有因式，再根据一元二次方程的定义求解即可得． 【规范解答】解：由题意，写出一个符合条件的一元二次方程为，即， 故答案为：． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）方程化成一般式后，其二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，常数项，即可得到答案． 【规范解答】解：∵将变换为， ∴二次项系数为：，一次项系数为：， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．2，，0 D．2，， 【答案】D 【思路点拨】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【规范解答】解：将方程化成一般形式， 可得， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了一元二方程的一般形式，熟练掌握一元二方程的一般形式是解题关键． 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式． 【答案】，， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键． 将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式． 【规范解答】解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【规范解答】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 【举一反三练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【规范解答】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 【举一反三练3】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． （2）根据方程的解的定义，代入解答即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键． 【规范解答】解：（1）令， 解不等式①，得，解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2）由（1）知不等式组的整数解为， 将代入中，得， 解得． 考点讲练4：一元二次方程的解的估算 【精讲题】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【规范解答】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【规范解答】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【规范解答】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 【举一反三练3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【规范解答】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）下列是一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，进行分析即可． 【规范解答】解：A、中，未知数的次数是1，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、中，未知数的次数是3，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A、当时，方程是一元一次方程，故本选项错误； B、方程是一元一次方程，故本选项错误； C、方程是一元三次方程，故本选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键． 先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为，从而可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴方程的一般形式为：． 故选：A． 4．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【规范解答】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：A． 5．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的根，将代入方程即可求出答案． 【规范解答】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为： 6．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】15 【思路点拨】此题考查了一元二次方程根的定义和求代数式的值，由m是关于x的方程的一个根得到，再整体代入变形后的代数式即可． 【规范解答】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案是15． 7．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【答案】 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为根据一元二次方程和一元一次方程的定义计算即可． 【规范解答】解：当关于x的方程是一元二次方程时，，则． 当关于x的方程是一元一次方程时，且，则． 故答案是：；． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 10．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 11．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值并求此方程的解． 【答案】；方程无解 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，解题的关键是不要忽略的条件． 根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程列出相应的关系式，求解即可得出的值，代入求出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：由题意，得 且， 解得：． ∴原一元二次方程为， 即， ∴，，， 则， ∴原方程无解． 12．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【思路点拨】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【规范解答】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【思路点拨】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【规范解答】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【考点评析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 培优题真题汇编练 14．（23-24八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 15．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【规范解答】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 16．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【规范解答】解： ， ， 故选：B． 17．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【规范解答】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义以及分式方程的求解方法是解题的关键 根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得解答． 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义． 根据题意得到，，代入即可求解． 【规范解答】∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 20．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【规范解答】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 21．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【规范解答】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 22．（20-21八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 【答案】0 【思路点拨】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案． 【规范解答】解：设这个相同的实数根为t， 把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0 相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（t2+t+1）＝0， ∵t2+t+1＝（t）20， ∴a+b+c＝0， 故答案是：0． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【思路点拨】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 24．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【考点评析】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 25．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案； （2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 化简得，， 这个一元二次方程为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 去分母得，， 若，则，于是方程有一根为0，不符合题意， ， 所求方程为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 26．（2023·安徽滁州·模拟预测）在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．    (1)用含，的代数式表示的长． (2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【思路点拨】（1）由勾股定理得到，由即可得到答案； （2）设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：，，， ， ； （2）线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根 【考点评析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 27．（21-22九年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路点拨】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点； （2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可； （3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可． 【规范解答】（1）解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”，且即 ①假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与矛盾 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上 ∴图象上不存在“反换点” 故①不符合题意； ②假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有 即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与相同 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故②符合题意； ③假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有① 将Q（－n，－m）代入，则有即② 将①代入②中得即 解得或（舍去） ∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故③符合题意； 故答案为：②③． （2）解：设，则，其中 ∴ 解得 ∴ 将代入得 解得 ∴的值为． （3）解：假设图象上存在“反换点” 则有 ①+②式得 ∴或（舍去） 将代入①中得 解得或 当时，，此时，，两点的中点坐标为； 当时，，此时，，两点的中点坐标为； ∴存在“反换点”，线段中点坐标为． 【考点评析】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$