1.2一元二次方程的解法（基础篇）讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的核心思路，结合思维导图构建知识脉络，从解法原理到判别式应用再到分式方程拓展，形成层层递进的学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，分模块设置选择与解答题，强化运算能力与推理意识。思维导图助力抽象知识可视化，判别式应用与分式方程结合培养模型意识，课中便于教师模块教学，课后学生可针对性练习查漏补缺。

1.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用配方法求解一元二次方程 　　思路：将方程转化为的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。 　　我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 用公式法求解一元二次方程 　　对于一元二次方程，当-4ac≥0时，它的根是： 　　上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 　　对于+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，当-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。当-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当-4ac<0时，方程没有实数根。 用因式分解法求解一元二次方程 　　当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。 型 习 练 题 直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过移项和开平方求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 3．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 4．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 5．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 配方法 6．一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握配方法的计算方法是关键． 使用配方法求解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方，将方程变形为完全平方式． 【详解】解： ， 常数项移到等式右边得， ， 添加一次项系数一半的平方得， ， ∴ ， 故选：C． 7．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到等号右边，把含未知数的项凑成完全平方式，再进行因式分解． 【详解】解：， ， 两边加上： 即， 配方正确的是， 故选：B． 8．如表是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（   ） 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 配方法中，在等式左边加上一次项系数一半的平方时，右边也必须加上相同的数以保持等式平衡，小文在第二步中只在左边加4，右边未加，因此出错． 【详解】解：配方法要求等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即， 则第二步正确应为， 但小文写为，右边未加4， 因此，第二步开始出错， 故选：B． 9．一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法的基本操作，关键是通过添加常数项完成平方．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加4得 ， 即 ． 故选：D． 10．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 公式法 11．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 12．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式． 通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定公式中的系数a、b、c，从而匹配对应方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且给定公式为， ∴，， 因此，方程为， 故选：C． 13．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 14．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 15．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 因式分解法 16．关于x的一元二次方程的解为（） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的基本解法，通过提取公因式进行因式分解，再根据零乘积性质得出根的值．注意选项中的符号差异，避免误选． 通过因式分解法求解一元二次方程，利用零乘积性质求根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴方程的解为． 故选：D． 17．一元二次方程 的根为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，掌握因式分解法解方程是解题的关键．将方程化为标准形式后因式分解，即可求得根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即根为 ，， 故选：D． 18．若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 19．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法求解方程，利用零乘积性质得出解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 , ， 故选B． 20．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解二次方程，直接求解得到根，并验证选项． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴或， ∴或． 故选：A． 根据判别式判断方程根的情况 21．一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：方程中，，，， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴ 方程无实数根． 故选：A． 22．已知关于的方程，则下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 23．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过判别式判断根的情况． 对于一元二次方程，根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算各选项的即可判断． 【详解】解：A、，，因为，所以方程无实数根； B、，因为，所以方程无实数根； C、，因为，所以方程有两个不相等的实数根； D、，因为，所以方程有两个相等的实数根． 故选：C． 24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式等知识，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；有两个不相等的实数根需判别式大于零，联立求解． 【详解】解：∵ 方程为一元二次方程， ∴ ， ∵ 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ，即 ， 综上，且． 故选：D． 25．下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 通过计算每个二次方程的判别式（），若，则方程无实数根． 【详解】解：A、在中，， ∴ ， ∴方程无实数根，符合题意； B、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； C、在中，， ， ∴方程有实数根，不符合题意； D、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； 故选A． 解分式方程 26．解关于的方程：． 【答案】， ， 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，再分情况计算即可． 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 27．． 【答案】 ，，， ． 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，首先把方程整理成：，设，则原方程可以转化为：，解一元二次方程求出的值，根据的值得到关于的分式方程，继续解分式方程即可求出原方程的解． 【详解】解：， 分组可得：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 可得：， 设， 可得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，， 经检验：，均为原分式方程的解； 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 经检验：， 均为原分式方程的解； 综上所述，原分式方程的解为：，，， ． 28．解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． （1）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答； （2）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ， 当时，， 所以原分式方程无解． 29．解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，且解后必须检验． 先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对得到的解进行检验（确保分母不为0），舍去增根，保留有效解． 【详解】 解：方程两边同时乘得， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ， 检验 当时 ，当时 ， 是分式方程的解，是增根， 分式方程的解为． 30．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用配方法求解一元二次方程 　　思路：将方程转化为的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。 　　我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 用公式法求解一元二次方程 　　对于一元二次方程，当-4ac≥0时，它的根是： 　　上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 　　对于+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，当-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。当-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当-4ac<0时，方程没有实数根。 用因式分解法求解一元二次方程 　　当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。 型 习 练 题 直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 4．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 5．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 配方法 6．一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如表是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（   ） 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 9．一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 10．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 公式法 11．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 12．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 13．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 14．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 15．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 因式分解法 16．关于x的一元二次方程的解为（） A． B． C．， D．， 17．一元二次方程 的根为（     ） A． B． C． D． 18．若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 19．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 20．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 根据判别式判断方程根的情况 21．一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 22．已知关于的方程，则下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 23．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 25．下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 解分式方程 26．解关于的方程：． 27．． 28．解分式方程 (1) (2) 29．解方程：． 30．解方程： 学科网（北京）股份有限公司 $