2.4.1 平面向量基本定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 4.1　平面向量基本定理 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基. 2.掌握平面向量基本定理. 3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在　　　的一对实数λ1,λ2,使a=　　 　　.我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.  若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为　　　　　.在正交基下向量的线性表示称为　　　　　.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为　 　　　.  唯一 λ1e1+λ2e2 正交基 正交分解　 标准正交基 名师点睛 1.0不能与另外一个向量构成一组基,因为0与任一向量共线. 2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何向量都可以用这一组基唯一表示. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.(　　) (2)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.(　　) (3)若e1,e2不共线,则2e1与3e2也可作为一组基.(　　) (4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　) 2.两个单位向量能作为一组基吗? × × √ √ 提示 不共线的两个单位向量能作为一组基. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对平面向量基本定理的理解 【例1】 给出下列说法: ①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R); ②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示; ③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式. 其中不正确的说法的序号是　　　　　.  ①②③ 规律方法　平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内两个不共线的向量线性表示,且表示方法是唯一的. 变式训练1已知{a,b}是一组基,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y=　　　　　.  3 探究点二　用基表示向量 变式探究 将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值. 规律方法　用一组基表示向量的注意事项 平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点: (1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基; (2)注意平面向量基本定理的应用; (3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的; (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系; (5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧. 探究点三　平面向量基本定理的应用 【例3】 在△ABC中, 规律方法　在平面几何中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若点M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的: 变式训练2 如图,在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若 ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　　.  本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量基本定理; (2)用基表示向量; (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳:列方程(组). 3.常见误区:必须是不共线的两个向量才能构成一组基. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.(多选)若{e1,e2}是平面内的一组基,则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是(　　) A.{e1-e2,e2-e1} C.{2e2-3e1,6e1-4e2} D.{e1+e2,e1+3e2} ABC 解析 选项A中,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2,e2-e1为共线向量;选项B中,2e1-e2 =2(e1- e2),也为共线向量;选项C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线向量.根据不共线的向量可以作为一组基,知只有选项D中的两向量可作为基. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.如图,在6×6的方格中,已知向量a,b,c的起点和终点均在格点,且满足向量a=xb+yc(x,y∈R),那么x-y=(　　) A.0 B.-2 C.1 D.2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)如果{e1,e2}是平面α内的一组基,那么下列说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.对平面α中任意向量a都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 AB 解析 e1与e2不共线,显然A正确;B正确,平面中的任意向量都可以用一组基表示;C错,在平面α内任意向量与λ1e1+λ2e2的形式一一对应,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基,且 a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为　　　　　.  -8 解析 因为a,b不能作为一组基, 所以存在实数λ,使得a=λb, 即3e1-4e2=λ(6e1+ke2), 则6λ=3,且kλ=-4, 解得λ= ,k=-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知向量a在基{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基{e1+e2,e1-e2}下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　　　,μ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.AB边的中点 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的, 所以p=0,q=0,p+q=0.因为p+q+r=0, 故有p=q=r=0. 3.如图,在平行四边形OADB中,设向量=a,=b,点M,N是对角线AB上的两点,且BM=MN=BA,试用a,b表示. 解 ∵四边形OADB是平行四边形,向量=a,=b,点M,N是对角线AB上的两点,且BM=MN=BA, ∴)+a+b, )=a+b. 解析 因为{a,b}是一组基,所以a与b不共线, 由平面向量基本定理得所以 所以x-y=3. 【例2】 如图所示,在△OAB中,=a,=b,点M是AB上靠近B的一个三等分点,点N是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求. 解 )=a+b. 因为共线,故可设=ta+b. 又共线,可设=s+s+s() =(1-s)a+sb, 所以解得所以a+b. 解 a-b, )=a+b, 因为点O,P,M和点B,P,N分别共线, 所以存在实数λ,μ使=λa-λb,=μa+b, 所以=()a+(+λ)b, 又=b,所以解得所以,即BP∶PN=4∶1. (1)若D是BC边的中点,求证:). (2)若点M满足=0,求证:点M是△ABC的重心. 证明 (1)因为D是BC边中点,所以,于是)=. (2)如图,设E是AB边的中点. 因为=0,所以=-, 又=2, 所以=-2,于是M,C,E三点共线,即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,点M是△ABC的重心. (1)=0; (2)=0; (3)=0; (4)=0. =λ+μ 　 解析 设=a,=b, 则a+b,=a+b, 又∵=a+b,∴),即λ=μ=, ∴λ+μ=. B. 3.[2023广东韶关]在△ABC中,,P是BN上一点,若 =t,则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 5.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　　.  解析 因为,即,所以2. 又E为线段BC的中点,所以) =)=,所以λ=,μ=,则λ+μ=. - 解析 a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2)=(λ+μ)e1+(λ-μ)e2=2e1+3e2,则 解得 8.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧上的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 9.在△ABC中,∠C=3∠B,∠A=2∠B,AT平分∠CAB交BC于点T,若=λ+μ,则λ2+μ2=(　　) A. B. C. D. 10.已知O是△ABC的重心,动点P满足+2),则点P一定为(　　) 解析 ∵O是△ABC的重心, ∴=0, ∴(-+2)=, ∴点P是线段OC的中点, 即AB边中线的三等分点(非重心). 11.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量=　　　　,=　　　　.  b+a a-b　 解析 在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC, 所以=b+a, =a+b-b=a-b. 12.已知在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y=x,其中x,y∈R,且均不为0.若,则=　　　　　.  =x-y, 由,可设=λ(λ∈R), 即x-y=λ()=λ(-)=-+λ, 所以. 13.[2023湖北襄阳]如图所示,△ABC中,F为BC边上一点,2,若=a,=b, (1)用向量a,b表示; (2)3,连接DF并延长,交AC于点E,若=λ,=μ,求λ和μ的值. 解 (1)因为2,所以2()=,即3=2, 所以a+b. (2)若=λ,=μ,则=μ=λ, 所以=λ(), =(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb. 由于a+b, 所以4(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=. 14.已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0. 证明 由题意可得r=-(p+q). 所以p+q-(p+q)=0, 即p()=q(),p=q, 所以p+q=0=0·+0·. $$