2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 4.2　平面向量及运算的坐标表示 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标. 2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算. 3.掌握用坐标表示两向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为　　　　　　.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作 唯一性 因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y). 标准正交基 名师点睛 1.在正交基下向量的线性表示称为正交分解. 2.向量与坐标的关系: 3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任意一个确定的向量的坐标是唯一的.(　　) (2)与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量坐标分别为i=(1,0),j=(0,1).(　) (3)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　) (4)相等向量的坐标相同.(　　) (5)向量的平移会影响向量的坐标.(　　) 2.正交分解与平面向量基本定理有何联系? √ √ √ √ × 提示 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的两个向量互相垂直). 知识点二　平面向量运算的坐标表示 1.加法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　 　　　　,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.  2.减法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=　 　　　,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.  3.数乘:设a=(x1,y1),λ∈R,则λa=　　　　,即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.  4.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 =　 　　　,即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.  (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1) 5.中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则 名师点睛 1.进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算. 2.进行平面向量坐标运算时,先掌握向量坐标与向量起点、终点坐标的关系. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a=(1,2),b=(-2,-1),则2a+b=(0,3).(　　) (2)在平面直角坐标系内,若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量 =(x1-x2,y1-y2).(　　) √ × 2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 =(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) D 3.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=　　　　　. 7 知识点三　平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是　　　　　　.  x1y2-x2y1=0 名师点睛 1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同. 2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y1-x2y2=0.(　　) (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则 .(　　) × × 2.[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求平面向量的坐标 【例1】 (1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标. 解 因为a=3i+4j,b=-i+j, 所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j, a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j. 又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3). (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量 的坐标. 规律方法　1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标为(x,y). 2.向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. 3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算. 探究点二　平面向量的坐标运算 【例2】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+ c; 规律方法　进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知向量起点和终点的坐标,可以求出该向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标. 变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于(　　) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b B 探究点三　平面向量平行的条件及应用 【例3】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 解 (方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ, 使ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4), (方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). ∵ka+b与a-3b平行, 规律方法　1.由向量共线求参数值的方法: 2.a∥b(b≠0)的充要条件有两种表达方式: (1)a∥b⇔a=λb(λ∈R); (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 变式训练3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断 是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量的坐标表示; (2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示; (3)两个向量共线的坐标表示. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 D 解析 因为c=λ1a+λ2b, 所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　) A.c=3a-2b B.c=-3a+2b C.c=-2a+3b D.c=2a-3b A 解析 如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1, 则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3), 所以c=3a-2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[2023重庆开州]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=(　　) A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16) A 解析 ∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4, ∴b=(-2,-4), ∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8). 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.(1,2) B.(-1,-2) C.(3,6) D.(-3,-5) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),D(0,0),下列结论正确的是(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知a=(2,4),b=(-1,1),则2a-3b=　　　　　.  (7,5) 解析 2a-3b=2(2,4)-3(-1,1)=(4+3,8-3)=(7,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y). (1)若a+b+c=0,求实数x,y的值; (2)若非零向量c与a-b共线,求 的值. 解(1)由题意可知c=-(a+b), ∴c=-(1,4)=(-1,-4),即x=-1,y=-4. (2)由题意得a-b=(3,-2), ∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解由①②组成的方程组,得x=3,y=3, 所以点P的坐标为(3,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示. (1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立; (2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标; (3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2), 又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2), 所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2), 所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b). (2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1). =a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj.  设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的. a-b 解析 a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2). 解析 p=ma+nb=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),则解得∴m+n=7. 解 设a=(x,y),则 解得 所以a=,或a=-,-. 解 因为B(7,6),C(1,8), 由中点坐标公式,得D,即D(4,7). 又A(4,6),所以=(3,0),=(0,1),=(-6,2). 变式训练1如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°, ∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形. 求:(1)向量a,b的坐标; (2)向量的坐标; (3)点B的坐标. 解 (1)如图,作AM⊥x轴于点M,则OM=OA·cos 45°=4×=2, AM=OA·sin 45°=4×=2. ∴A(2,2),故a=(2,2). ∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°, ∴∠COy=30°. 又∵OC=AB=3, ∴C,∴, 即b=. (2)=-. (3)=(2,2)+. ∴B的坐标为. 解 因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6), 所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10), 3a-2b+c=3(1,2)-2(3,-4)+(-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17). (2)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, 2. 解 因为A(4,6),B(7,5),C(1,8), 所以=(7,5)-(4,6)=(3,-1); =(1,8)-(4,6)=(-3,2). 所以=(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 2=2(3,-1)+(-3,2)=. 解析 设c=ma+nb,则(4,2)=m(1,1)+n(-1,1)=(m-n,m+n),所以解得所以c=3a-b. (2)[人教A版教材习题]已知点A(1,1),B(-1,5),且=2 =-,求点C,D,E的坐标. 解 设O为坐标原点,则=(1,1),=(-2,4). =(-1,2),=2=(-4,8),=-=(1,-2). 因为=(0,3),所以点C的坐标为(0,3). 因为=(-3,9),所以点D的坐标为(-3,9). 因为=(2,-1),所以点E的坐标为(2,-1). ∴解得k=λ=-.∴当k=-时,ka+b与a-3b平行, 这时ka+b=-(a-3b). ∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向. ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-. 此时ka+b=--3,-+2=-(a-3b). ∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向. 解 =(0,4)-(2,1)=(-2,3), =(5,-3)-(1,3)=(4,-6). ∵(-2)×(-6)-3×4=0, 且(-2)×4<0,∴共线且方向相反. 所以解得λ1=-1,λ2=2. 设向量c=ma+nb,则解得 4.已知点A(0,1),B(1,2),向量=(2,3),则向量=(　　) 解析 设点C(x,y),所以=(x,y-1)=(2,3),即解得于是得点C(2,4),因此,=(1,2).故选A. A. B. C.-2 D.+2 解析 A中,=(-2,1),=(4,0),=(-2,-1), ∴.故不正确; B中,=(2,1),=(-2,1),=(0,2),,故正确; C中,=(-4,0),=(0,2),=(2,1), ∴-2,故正确; D中,=(2,1),=(0,2),=(-2,1), ∴+2,故不正确. 7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　.  解析 因为A,B,C三点共线,所以共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2), 所以解得λ=,a+. 即=-. 9.(多选)[2023江西上饶高二开学考试]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1), =(1,μ),那么(　　) A.=(λ-1,1-μ) B.若,则λ=2,μ= C.若A是BD中点,则B,C两点重合 D.若点B,C,D共线,则μ=1 解析 A选项,=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A选项正确; B选项,若,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,B选项错误; C选项,若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1, 所以=(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确; D选项,由于B,C,D三点共线,所以, =(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1), 则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,所以D选项错误.故选AC. 10.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　) A.- B.,-C.(-1,) D.- 解析 因为=()所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为(-),故的坐标是(-),故选D. 11.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k的值为(　　) A.-2 B. C.1 D.-1 解析 因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1. 12.已知向量=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为　　　　　.  　 解析 由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又,所以-4(-a+2)=-2(b+2), 整理得2a+b=2,所以(2a+b)=3+≥3+2 =,当且仅当,即a=1-,b=-1时,等号成立. 解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t), 则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0, 解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3), 所以点P的坐标为(3,3). (方法二)设P(x,y),则=(x,y), 因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0.① 又=(x-2,y-6), =(2,-6),且向量共线, (3)解设向量c=(x3,y3),则 解得所以c=(1,3). $$