第2章 §4 4.2 平面向量及运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面向量及运算的坐标表示核心知识点，从向量几何表示过渡到坐标表示（正交分解），系统梳理运算（和、差、数乘）的坐标法则及共线的坐标条件，构建从几何到代数的知识支架。 通过斜面上木块受力情境导入培养数学眼光，例题推导（如向量坐标运算、共线参数求解）发展数学思维，坐标表示实现几何问题代数化体现数学语言。课中例题与跟踪训练辅助教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺。

4．2　平面向量及运算的坐标表示 新课导入 学习目标 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示． 2．掌握两个向量和、差及向量数乘的坐标运算法则． 3．通过实例理解坐标表示的平面向量共线的条件，并能够解决有关向量共线、直线平行及三点共线等问题． 一　平面向量的坐标表示 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2. 思考　这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？ 提示：重力G竖直向下，下滑力F1沿斜面向下，木块对斜面的压力F2垂直于斜面向下；三个力之间的关系是G＝F1＋F2. [知识梳理] 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝x i＋yj.因此，a＝x i＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． [例1] (1)(多选)(对接教材例3)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j C．＝－5i＋j D．＝5i－j (2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________． 【解析】　(1)由题图可知，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故ACD正确． (2)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4×cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4×sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6). 【答案】　(1)ACD　(2)(2，6) 向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为代数运算．求平面向量的坐标时，应注意以下两点： (1)(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区别，常说点(x，y)和向量(x，y). (2)在向量的坐标表示中含有等号，即a＝(x，y)，不能写成a(x，y). [跟踪训练1] (1)如图，{e1，e2}是平面内的一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－3，－1) 解析：选A．因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).故选A． (2)已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为________． 解析：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4，3). 因为＝＋＝－＋＝－4i＋3j，所以＝(－4，3). 答案：(4，3)，(－4，3) 二　平面向量运算的坐标表示 [知识梳理] 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，可得a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2．设a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝(λx1，λy1)，即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． 3．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 4．设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标为. [例2] 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c的坐标； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值． 【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)， 所以解得 向量坐标运算的法则 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [跟踪训练2] 已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R). (1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上； (2)设点P在第三象限，求实数λ的取值范围． 解：设P(x，y)，则＝(x－2，y－3). 因为＝＋λ＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 所以所以 所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ). (1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝，所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上． (2)因为点P在第三象限， 所以解得λ＜－1. 所以实数λ的取值范围是(－∞，－1). 三　平面向量平行的坐标表示 [知识梳理] 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 角度1　利用向量共线求参数 [例3] 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【解】　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4). 方法一：当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－(a－3b). 因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向． 方法二：因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 此时ka＋b＝＝－(a－3b).所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 母题探究1　例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)，改成a＝(1，2)，b＝(1，m)，若a与a＋b共线，则实数m＝________． 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(1，m)，所以向量a＋b＝(2，2＋m)，因为a与a＋b共线，所以1×(2＋m)－2×2＝0，解得m＝2. 答案：2 母题探究2　例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)保持不变，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，则m＝________． 解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，2)，所以＝2a＋3b＝(－7，10)，＝a＋mb＝(1－3m，2＋2m)，因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－7×(2＋2m)－10×(1－3m)＝0，解得m＝. 答案： 由向量共线求参数值的步骤 [跟踪训练3] (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　) A．－1或 B．1或－ C．－1 D． 解析：选D．非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2×(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，解得m＝.故选D． (2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 解析：因为a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，所以sin α－3cos α＝0，即tan α＝，又0<α<，故α＝. 答案： 角度2　证明向量共线 [例4] (1)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ (2)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：与共线． 【解】　(1)＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3).＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 方法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，所以与共线且方向相反． 方法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反． (2)证明：因为＝－＝(4，8)，＝－＝(6，12)，所以4×12－6×8＝0，即与共线． 用坐标证明向量共线：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0. [跟踪训练4] (1)设a＝，b＝，则“＝”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．若＝，则x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0，故a∥b，充分性成立，不妨设a＝，b＝，此时a∥b，但不满足＝，故必要性不成立，所以“＝”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A． (2)(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基的是(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 解析：选ABC．能作为平面内向量的基，须使两向量a与b不平行，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，故只需选项中的两向量的坐标满足a1b2－a2b1≠0即可作为一组基．对于A项，因为×6－3×4＝－24≠0，所以a与b不平行，故A符合；对于B项，2×2－3×3＝－5≠0，所以a与b不平行，故B符合；对于C项，1×14－×7＝28≠0，所以a与b不平行，故C符合；对于D项，×－2×6＝12－12＝0，所以a∥b，故D不符合．故选ABC． 1．(教材P104T2改编)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：选A．因为3a－2b＋c＝0，所以c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12).故选A． 2．(教材P105练习T5改编)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　　) A．(0，2) B． C．(1，－2) D．(－1，3) 解析：选B．2a＋b＝2(2，－1)＋(－1，3)＝(3，1)，因为3×2≠0×1，3×＝2×1，3×(－2)≠12，3×3≠－1×1，故B选项中的向量满足条件，故选B． 3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝____________． 解析：λa＋b＝(－λ＋2，2λ)，因为(λa＋b)∥c，所以－1×(－λ＋2)＝1×2λ，解得λ＝－2. 答案：－2 4．(2025·宿州期中)在▱ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则的坐标为__________． 解析：因为＝(1，3)，＝(2，4)，所以＝＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝(－3，－5). 答案：(－3，－5) 1．已学习：平面向量的坐标表示、平面向量运算的坐标表示、两个向量共线(平行)的坐标表示． 2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同． 3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标； (2)两个向量共线的坐标表示的公式易记错． 学科网（北京）股份有限公司 $