2.5.2 向量数量积的坐标表示、2.5.3 利用数量积计算长度与角度 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标表示求数量积、模和夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标表示,并能灵活运用. 3.会利用数量积计算长度与角度. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　向量数量积的坐标表示 数量积的坐标表示:已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=　　　　,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.  名师点睛 数量积的坐标形式的推导 在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j. 因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0, 所以a·b=x1x2+y1y2. x1x2+y1y2 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.(　　) (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(　　) (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件为x1y1-x2y2=0.(　　) 2.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). × × × 解 因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8, a2=22+(-1)2=5, b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 知识点二　向量的模与夹角的坐标表示 2.两向量的夹角公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, 特别地,a⊥b⇔　　　　　　　　　　.  x1x2+y1y2=0 名师点睛 投影数量的坐标表示 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(　　) (2)若A(1,0),B(0,-1),则 (3)若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0,则向量a与b的夹角为0°.(　　) (4)若向量a=(1,0),b ,则|a|=|b|.(　　) × √ × × 2.[2023浙江余姚]已知a=(1, ),b=(cos θ,sin θ),则|a+2b|的取值范围是　　　　　.  [0,4] 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数量积的坐标运算 角度1.数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c). 解 (1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16). 角度2.数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且 5 规律方法　数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. 变式训练1已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 探究点二　利用坐标运算解决模的问题 【例3】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量. 规律方法　1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则|a|2=a·a=x2+y2,于是有 2.与已知向量垂直或平行的单位向量 变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为(　　) C 探究点三　利用坐标运算解决夹角与垂直问题 【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小. 解 (1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3. 故b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ, 变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值. 规律方法　解决向量夹角问题的方法及注意事项 探究点四　向量的坐标运算在平面几何中的应用 【例5】 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明D,M,B三点共线. 证明 如图,以点E为坐标原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 规律方法　向量几何法和坐标法是解决此类问题的基本方法,在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中,利用建立直角坐标系,转化为坐标运算较为简单. 变式训练3已知在直角三角形ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,求 的取值范围. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量数量积的坐标表示; (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量); 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:两个向量夹角的余弦公式易记错;a⊥b与a∥b的坐标形式的充要条件易混淆. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(　　) A.|a|=b2 B.a·b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b AD 解析 |a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误, a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0, 所以(a-b)⊥b,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 B 解析 ∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1), 则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.-3 B.-2 C.2 D.3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.30° B.45° C.60° D.120° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列说法错误的是(　　) A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角 B.|a|的最小值为2 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[2021全国乙,文13]已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知三点A(1,2),B(0,1),C(-2,5),则△ABC的形状为　　　　　三角形.  直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a=(x+1, ),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的夹角为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a=(-1,2),b=(3,-1). (1)求a+2b的坐标与|a-b|; (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值. 解(1)a=(-1,2),b=(3,-1), 则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 10.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),a⊥c,b∥c,则|a+b|2=(　　) D 解析 由题意可得-x+1=0,-y-2×1=0,解得x=1,y=-2.所以a=(1,1),b=(2,-2),所以a+b=(3,-1), 所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知非零向量m,n满足|m|=2|n|,m,n夹角的余弦值是 ,若(tm+n)⊥n,则实数t的值是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2023北京西城期中]已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为坐标原点,则 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a=(2,1),|b|= ,a·b=2,那么向量a与b夹角的余弦值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4). (1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值; (2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4), 所以3a-b=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10), a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2). 因为(3a-b)∥(a+kb), 所以-10(3k+1)=0,解得k=- . (2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t), 因为(a-tb)⊥b, 所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=- . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 (1)求实数λ的值与点P的坐标; (2)求点Q的坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.向量的模与两点间的距离公式:设a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=||=　　　　　　 　　　.  cos θ=(|a||b|≠0). 由于向量b=(x2,y2)在向量a=(x1,y1)方向上的投影数量为|b|cos θ=(θ为a与b的夹角),从而向量b在向量a方向上的投影数量的坐标表示为.同理可得,向量a在向量b方向上的投影数量的坐标表示为|a|cos θ=. ||=.(　　) =() 解析 由于a=(1,),b=(cos θ,sin θ), 所以a+2b=(1+2cos θ,+2sin θ), 所以|a+2b|=, 当sinθ+=1时,|a+2b|max=4, 当sinθ+=-1时,|a+2b|min=0, 故|a+2b|的取值范围是[0,4]. DM=MC,BN=BC,则=___________________. 解析 以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),M(1,2),N(3,1),所以=(1,2),=(3,1),所以 =1×3+2×1=5. 解析 因为=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3), 所以=1×(-3)+1×3=0. 解 (1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|=. (2)因为a=(1,2),所以|a|=. 因此与a垂直的单位向量的坐标是±(-2,1), 即. (3)因为b=(3,-1),所以|b|=, 因此与b平行的单位向量的坐标是±·b, 即. |a|=. (1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是(±); (2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是(±). A.-1 B.2- C. D.2 解析 因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1) =(x,x+2),所以|a+b|=, 当x=-1时,|a+b|取最小值,最小值为. 则cos θ==-. 因为θ∈[0,π],所以θ=,即m,n的夹角为. 解 由已知得c=(4,-3), 所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3), 于是(c+td)·d=4t+8+t-3=5t+5,|d|=, |c+td|=, 因此可得,解得t=-3,或t=1,但当t=-3时,<0不合题意,舍去, 故t=1. (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再由cos θ=直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时,应注意角θ的取值范围是[0,π]. (2)由于0≤θ≤π,利用cos θ=来判断角θ时,要注意cos θ<0有两种情况,一是θ为钝角,二是θ=π;cos θ>0也有两种情况,一是θ为锐角,二是θ=0. 令||=1,则||=1,||=2.∵CE⊥AB,AD=DC,∴四边形AECD为正方形. ∴各点的坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).连接MB,MD. ∵M为CE的中点,∴M. ∴=(-1,1)-=(1,0)-. ∴=-,∴. 又∵有公共点M,∴D,M,B三点共线. 解 由AB=1,BC=2,∠BAC=90°,可得AC=. 如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(1,0),C(0,), 直线BC的方程为x+=1, 则直线AM的方程为y=x, 联立解得∴M. 由图可知,当P在线段BC上运动时,有最大值0,当P在线段AC,AB上运动时,随P点位置的变化而变化.设P(0,y)(0≤y≤), 则·(-1,y)=-y∈-,0.设P(x,0)(0≤x≤1),=·(x-1,0)=(x-1)∈-,0. 综上,的取值范围是-,0. (3)cos θ=(θ为非零向量a,b的夹角). 3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　) 解析 由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0), =(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. 4.已知向量=,=,则∠ABC= (　　) 解析 ∵||=1,||=1,∴cos∠ABC=,∴∠ABC=30°. C.与b共线的单位向量只有一个,为,- D.若|a|=2|b|,则k=2或-2 解析 若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则解得k<2,且k≠-2,A选项正确; |a|==2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确; |b|=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为 ,-或-,C选项错误; 因为|a|=2|b|=2,所以=2,解得k=±2,D选项错误. 故选CD. 解析 由a∥b,可得,解得λ=. 解析 =(-1,-1),=(-3,3),=(-2,4), 显然=-1×(-3)+(-1)×3=0, ∴,∴△ABC为直角三角形. 解析 a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2, 则x+1=-2,解得x=-3,故a+b=(-1,), 则cos<a+b,b>==-, 又<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=. 所以|a-b|==5. (2)a=(-1,2),a-b=(-4,3), 则a·(a-b)=10,|a|=, 故cos<a,a-b>=. A.5 B. C. D.10 A.- B.- C.- D. 解析 因为|m|=2|n|,且m,n夹角的余弦值是, 所以m·n=|m||n|=|n|2. 又(tm+n)⊥n, 所以(tm+n)·n=tm·n+|n|2=|n|2+|n|2=0. 因为|n|≠0,所以+1=0,所以t=-.故选A. 12.(多选)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　) A.- B. C. D. 解析 ∵=(2,3),=(1,k),∴=(-1,k-3). 若A=90°,则=2×1+3×k=0,∴k=-; 若B=90°,则=2×(-1)+3(k-3)=0, ∴k=; 若C=90°,则=1×(-1)+k(k-3)=0, ∴k=.故所求k的值为-. 的最小值为　　　　.  解析 已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点, 则·()=4+2cos θ, 又cos θ∈[-1,1], 则∈[2,6], 即的最小值为2. 解析 因为|a|=,所以向量a与b的夹角余弦值为cos<a,b>=. 16.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且=0. (3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围. 解(1)设P(14,y),则=(14,y),=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y), 解得λ=-,y=-7,∴点P的坐标为(14,-7). (2)设Q(a,b),则=(a,b),由(1)得=(12,-16), ∵=0,∴12a-16b=0,即3a-4b=0.① ∵点Q在边AB上,∴, 又=(4,-12),=(a-2,b-9), ∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.② 联立①②,解得a=4,b=3,∴点Q坐标为(4,3). (3)由(2)得=(4,3), ∵R为线段OQ上的一个动点,∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1, 则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t), ∴=(8-8t,6-6t), ∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1), 当t=0或1时,上式取得最大值0; 当t=时,上式取得最小值-.故·()的取值范围为-,0. $$