2.6.1 余弦定理与正弦定理（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握余弦定理及其变形. 2.掌握余弦定理的证明过程. 3.能够利用余弦定理解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　余弦定理及其变形 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 2.余弦定理的变形 名师点睛 1.对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立. (2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求三角形的第三边.实际上,若已知其中的任意三个量,都可以求出第四个量. 2.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cos C=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则 a2+b2<c2⇔△ABC是钝角三角形,且角C为钝角; a2+b2=c2⇔△ABC是直角三角形,且角C为直角; a2+b2>c2⇔△ABC是锐角三角形,且角C为锐角. 3.对余弦定理的变形的理解 (1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形. (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)应用余弦定理的变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角. (4)余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.(　　) (2)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一.(　　) (3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.(　　) (4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角.(　　) (5)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则△ABC为锐角三角形.(　　) √ × √ × × 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2= ac,则角B的值 为(　　) A 3.在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是　　　　.  120°　 4.[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C= ,求c. 知识点二　三角形的面积公式 1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则 S△ABC= aha=　　　　=　　　　.  2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则 S△ABC= absin C=　　 　=　　 　　.  名师点睛 三角形面积公式的其他形式 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)求三角形的面积时,每条边都可以作为底.(　　) (2)直角三角形只要已知斜边就能求出面积.(　　) (3)已知三角形的三边不能求出三角形的面积.(　　) 2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,则△ABC的面积为　　　　　.  √ × × 3.在△ABC中,AB= ,D为BC的中点,AD=1,∠BAD=30°,则△ABC的面积S△ABC=　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知两边及一角解三角形 【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30°,求a; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A,角C和边a. 规律方法　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. 变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B= ,则AC=　　　.  (2)在△ABC中,cos A= ,a=4,b=3,则c=　　　.  5 探究点二　已知三边解三角形 变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为 ”,求其最大角与最小角之和. 规律方法　已知三角形的三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的变形求出两个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角. 探究点三　利用余弦定理判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC的形状. 解 由余弦定理可得 等式两边同乘2abc得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2), 整理化简得a4+b4-2a2b2=c4,所以(a2-b2)2=c4. 因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2. 即a2=b2+c2或b2=a2+c2,故△ABC为直角三角形. 规律方法　1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论: (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2. (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. (4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= . 变式训练2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B +abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)  直角 探究点四　有关三角形的面积问题 【例4】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc. (1)求角A的大小; (2)若a=1,求△ABC面积的最大值. 规律方法　1.求解三角形面积的公式较多, 2.解三角形时应注意对三角形解的个数的讨论,防止遗漏. 变式训练3在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知 本节要点归纳 1.知识清单: (1)余弦定理; (2)余弦定理解决的两类解三角形问题; (3)余弦定理的简单应用. 2.方法归纳:化归转化、数形结合. 3.常见误区:不能正确定位余弦定理解决的两类问题;易忽视三角形中的隐含条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,a=bcos C,则△ABC形状一定 是(　　) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 D 则a2+c2=b2,所以△ABC为直角三角形. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C等于(　　) A.90° B.120° C.135° D.150° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,则三角形最大角为　　　　　度.  120 解析 因为a=7,b=3,c=5,所以三角形中最大角为角A, 因为0°<A<180°, 所以A=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.在△ABC中,a=3,b= ,B=60°,则c=　　　　,△ABC的面积为　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 6.[2023贵州凯里期末]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为 ,A=60°,b2+c2=3bc,则a=(　　) A.2 B.2 C.4 D.16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A= ,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.[2023天津静海校级月考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为　　　　.  解析 由余弦定理可得,a2+b2-c2=2abcos C, ∵(a2+b2-c2)tan C=ab, ∴2absin C=ab,解得sin C= . ∵C∈(0,π), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(多选)三角形有一个角是60°,组成这个角的两边长分别为8和5,则(　　) A.三角形的周长为20 B.三角形的另一边长为6 C.三角形内切圆的面积为3π D.三角形外接圆的周长为 π AC C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个: (1)请指出这三个条件,并说明理由; (2)求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下: 若△ABC同时满足①②,则A+B>π,显然不成立. 所以△ABC只能同时满足③,④. 所以a>b,所以A>B, 故△ABC不满足②. 故△ABC满足①③④. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即72=32+c2-2×3×c× .解得c=8或c=-5(舍去). cos A=, cos B=, cos C=. A. B. C. D. 解析 由余弦定理知cos B=, 又0<B<π,故B=. 解析 设中间角为θ,由于8>7>5,故角θ的对边长为7,由余弦定理,得cos θ=.所以θ=60°,故最大角与最小角的和为180°-60°=120°. 解 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=25+4-2×5×2×=19,所以c=. 　bcsin A bhb 　chc acsin B (1)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径; (2)S△ABC=,其中p=. 解析 S△ABC=bcsin A=×1×2×sin 150°=. 　 解析 因为AB=,AD=1,∠BAD=30°, 所以S△ABD=×1×sin 30°=. 又点D是BC的中点, 所以S△ABC=2S△ABD=. 解 (1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3,所以a=. (2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,则32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,A=30°,C=120°;当a=6时,由余弦定理,得cos A==0. 所以A=90°,所以C=60°. 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即16=9+c2-6×c,整理得5c2-18c-35=0,解得c=5,或c=-(舍去),故c=5. 3 解析 由tan B=,得cos B=.由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×=18,所以AC=3. 【例2】 (1)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C; 解 根据余弦定理,cos A=. ∵A∈(0,π),∴A=. cos C=, ∵C∈(0,π),∴C=.∴B=π-A-C=π-, ∴A=,B=,C=. (2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求各内角的度数. 解 由a∶b∶c=2∶∶(+1),则令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0). 由余弦定理,得cos A=,cos B=,又因为0°<A<180°,0°<B<180°,所以A=45°,B=60°.所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 2,+1 解 因为+1>>2,所以最大角与最小角所对的边长分别为+1,2.设长为的边所对的角为θ,由余弦定理,得cos θ=,所以θ=60°,故最大角与最小角之和为180°-60°=120°. a·+b·=c·, 解析 由余弦定理,得c2=bc·+ca·+ab·, 整理,得c2=, 即a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形. 解 (1)因为b2+c2-a2=bc,所以cos A=. 因为0<A<π,所以A=. (2)由已知得bc=b2+c2-a2≥2bc-a2, 所以bc≤a2,当且仅当b=c=a时,等号成立. 因为sin A=sin,a=1, 所以S△ABC=sin A≤, 故所求△ABC面积的最大值为. S=acsin B应用范围较广. sin B=.证明:. 证明 因为sin B=, 所以sin B=,又sin B≠0, 所以b2-c2=ac, 所以=a+c=. 即. 1.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=,b=1,C=,则a=(　　) A. B.2 C. D.3 解析 由余弦定理得, cos C==-,整理可得a2+a-6=0, 解得a=2或a=-3(舍).故选B. 解析 由a=bcos C,运用余弦定理可得a=b·,即2a2=a2+b2-c2, 解析 由余弦定理得cos B=.又0°<B<180°,所以B=60°,所以A+C=120°. 所以cos A==-. 3 解析 由余弦定理,得9+c2-2×3c×=13,解得c=4或c=-1(舍);由三角形的面积公式,得S=acsin B=×3×4×=3. 解析 △ABC的面积为,A=60°, 则S△ABC=bcsin A=bc=,所以bc=4,b2+c2=12, 所以a2=b2+c2-2bccos A=12-2×4×=8,解得a=2或a=-2(舍去).故选B. 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为(　　) A. B.16 C. D.32 　 ∴C=. ①A=;②cos B=-;③a=7;④b=3. 因为cos B=-<-,且B∈(0,π),所以B>. 所以△ABC的面积S=bcsin A=6. $$