2.6.1 余弦定理与正弦定理（第2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第2课时　正弦定理 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握正弦定理及其变形. 2.了解正弦定理的证明方法. 3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 名师点睛 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 过关自诊 1.[人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+ ,解这个三角形. 解 由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°. 由正弦定理,得 2.在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系?sin A与sin B呢? 提示 根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sin A>sin B. 知识点二　正弦定理的拓展 1.正弦定理与三角形外接圆的关系 以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则 利用此等式可进行边角转化 2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) 变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A. 变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 名师点睛 过关自诊 1.正弦定理主要解决哪几类三角形问题? 提示 (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R. 知识点三　三角形解的个数 1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解. 2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下: 用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象 类型 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 名师点睛 在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下: 过关自诊 1.已知三角形的两边及其中一边的对角,一定有解吗?如果不一定,可能有几个解? 提示 不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解. 2.不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120°; (2)a=7,b=14,A=150°; (3)a=9,b=10,A=60°. 解(1)因为A=120°为钝角,a=5>b=4, 所以三角形有一解. (2)因为A=150°为钝角,a=7<b=14, 所以三角形无解. (3)因为a=60°为锐角,a=9,b=10,bsin A=10× ,所以b>a>bsin A,所以三角形有两解. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知两角和一边解三角形 解 因为B=30°,C=105°, 所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 规律方法　已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 探究点二　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在△ABC中,已知下列条件,解三角形: 变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形. 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一的锐角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论. 探究点三　判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 规律方法　判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下: (1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径);② (2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有: 变式训练2在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 C 解析 因为sin2A+2sin2B=sin2C, 所以由正弦定理得a2+2b2=c2, 则a2+b2-c2=-b2<0, 故cos C<0,且C∈(0,π), 所以C为钝角,△ABC为钝角三角形.故选C. 探究点四　不解三角形判断三角形解的个数 【例4】 满足条件a=4,b=3 ,A=45°的三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.无数个 D.0个 B 规律方法　已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: (1)当A为锐角时, ①a<bsin A,无解; ②a=bsin A,一个解; ③bsin A<a<b,两个解; ④a≥b,一个解. (2)当A为直角或钝角时, ①a>b,一个解; ②a≤b,无解. 求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断. 变式训练3在△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(　　) D 解析 由B=45°,a=1,三角形有一解, 则b=asin B=sin 45°= ,或b≥a=1,故选D. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正弦定理; (2)正弦定理的变形推论及边角转化; (3)利用正弦定理解三角形. 2.方法归纳:化归转化、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:(1)已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.(2)易忽视三角形中角的隐含条件限制. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)在△ABC中,a=5 ,c=10,A=30°,则角B的值可以是(　　) A.105° B.15° C.45° D.135° AB 因为a<c,所以A<C,则C=45°或C=135°, 则角B=105°或B=15°. 故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则三边之比a∶b∶c 为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)三角形有一个角是60°,组成这个角的两边长分别为8和5,则(　　) A.三角形的另一边长为6 B.三角形的周长为20 C.三角形内切圆的面积为3π D.三角形外接圆的周长为 π BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的直径为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.[2023湖南常德临澧月考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 8.[2023江苏南京二模]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若bcos(A+B)=csin B,则角C的大小为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则△ABC的最大角与最小角的和是(　　) A.90° B.120° C.135° D.150° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知b=2 ,A=45°,求边c.显然缺少条件,若他打算补充a的大小;并使得c有两个解,则a的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 由题意可知三角形有两个解. 由图可知CD=bsin A=2 ×sin 45°=2. 若c有两解,以C为圆心,a为半径的圆弧与射线AD有两个交点,则CD<a<AC,即a∈(2,2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 (cos2C-cos2A) =(a-b)sin B,且△ABC外接圆的半径为 . (1)求C的大小; (2)若G是△ABC的重心,求△ACG面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . a== =, b=. =2R. 变式2:sin A=,sin B=,sin C=. 由正弦定理导出的结论:由等比性质和圆的性质可知,=2R.其中,R为△ABC外接圆的半径. 解已知B=30°,C=45°,c=1. 由正弦定理,得=2R, 所以b=, 2R=,得R=. 所以b=,△ABC外接圆的半径R=. 类型 角A为锐角 角A为钝角或直角 图形 =5 【例1】 在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.sin 105°= 由正弦定理,得, 解得a==4,c==2(). 变式训练1[人教A版教材习题]在△ABC中,已知cos A=,B=,b=,求a,c. 解 由cos A=,得sin A=.由正弦定理,得a=. sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 由正弦定理,得c=. (1)a=,b=2,A=30°; (2)a=2,b=,A=45°. sin 105°=,sin 15°= 解 (1)由正弦定理,得sin B=,因此B=45°或135°.当B=45°时,C=180°-30°-45°=105°,由正弦定理,得c=+1;当B=135°时,C=180°-30°-135°=15°,由正弦定理,得C=-1.故B=45°,C=105°,c=+1或B=135°,C=15°,c=-1. (2)由正弦定理,得sin B=. 因为b<a,所以B<A,所以B=30°(B=150°舍去). 于是C=180°-45°-30°=105°. 由正弦定理,得c=+1. 解 由正弦定理,得sin A=>1,则角A不存在,所以该三角形无解. 解 根据正弦定理,可设=2R, 其中R为△ABC外接圆的半径. 从而得sin A=,sin B=,sin C=. 因为bsin B=csin C,sin2A=sin2B+sin2C, 所以b·=c·, 所以b2=c2,a2=b2+c2,所以b=c,A=90°.所以△ABC为等腰直角三角形. . ①sin A=. 解析 因为bsin A=3=3<a<b,所以有2个解,即三角形有2个. A. B.(,+∞) C.∪(,+∞) D.∪[1,+∞) 1.在△ABC中,若sin A=,C=120°,BC=2,则AB=(　　) A.5 B. C.5 D.3 解析 由正弦定理得,即, 故,解得AB=5. 解析 因为a=5,c=10,A=30°, 所以由正弦定理可得,, 即,所以sin C=, 3.在△ABC中,a=2,c=3,∠C=,那么sin A= (　　) A. B. C. D. 解析 由正弦定理得⇒sin A=. A.3∶2∶1 B.2∶∶1 C.∶1 D.∶2∶1 解析 由余弦定理可得三角形的另一边长为=7,故A错误,B正确; 设这个三角形的内切圆半径为r,则(8+7+5)r=×8×5×sin 60°,则r=,则内切圆的面积为πr2=3π,故C正确. 设这个三角形的外接圆的半径为R,则2R=,则外接圆的周长为2πR=π,故D错误.故选BC. 解析 △ABC的外接圆的直径为2R=. (1)若C=,求A; (2)若A=,求b. (2)由a=1,c=,A=,∴sin C=, 又a<c,即A<C<π-A,故C=. 当C=时,B=,由勾股定理得,b=2; 当C=时,B=,此时三角形为等腰三角形,b=a=1, 所以b=1或2. 解 (1)由a=1,c=,C=,可得sin A=, 又a<c,即0<A<C,可得A=. A. B. C. D. (2,2) 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,A=,且△ABC的面积为. (1)求a的值; (2)若D为BC上一点,且　　　　　,求sin∠ADB的值.  从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 解(1)因为c=1,A=,S△ABC=bcsin A=,所以b=2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=7,解得a=. (2)若选①　当AD=1时, 在△ABC中,由正弦定理得,即,所以sin B=. 因为AD=AB=1,所以∠ADB=B,所以sin∠ADB=sin B, 所以sin∠ADB=. 若选②　当∠CAD=时, 在△ABC中,由余弦定理知, cos B=. 因为A=,所以∠DAB=, 所以B+∠ADB=,所以sin∠ADB=cos B, 所以sin∠ADB=. 解(1)由正弦定理=2,得a=2sin A,b=2sin B, c=2sin C, 因为2(cos2C-cos2A)=2(1-sin2C-1+sin2A)=2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B, 所以a2-c2=(a-b)b,所以cos C=,因为C∈(0,π),故C=. (2)由(1)得c=2sin C=3, 所以a2+b2-c2=ab≥2ab-9,得ab≤9, 当且仅当a=b=3时,等号成立. 如图所示: 连接BG,并延长BG交AC于D,则D是AC的中点,且DG=BD,过G作GF⊥AC于F,过B作BE⊥AC于E,则, 所以S△ACG=S△ABC=absin C=ab≤. 故△ACG面积的最大值为. $$