2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题. 2.掌握用向量解决平面几何问题的方法,培养向量运算能力和推理论证能力. 3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　向量在几何中的应用 由于向量的运算有着鲜明的几何背景,几何图形的许多变化和性质,如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示. 名师点睛 向量方法可以运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等、点共线、求夹角等问题,其基本方法有: (2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(或x1y2-x2y1=0). (1)证明线段相等,常运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.如要证两线段AB=CD,可转化为证明 (4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线(或线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·b=0(或x1x2+y1y2=0). (5)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 ,例如,用公式S= absin C求三角形的面积时,可利用夹角公式,求出sin C. (6)向量的坐标表示也可解决一些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,通过建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) × × 2.[人教A版教材例题]如图,DE是△ABC的中位线,用向量方法证明: DE∥BC,DE= BC. 知识点二　向量在物理中的应用举例 1.力与向量 力与向量的异同. (1)相同点:力和向量都既要考虑　　　　又要考虑　　　.  (2)不同点:向量与起点无关,力与作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不同的. 2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是　　　　.  (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加亦用到向量的合成. (3)功可以看作力F与物体在F的方向上所产生的位移s的数量积. 大小 方向 向量 名师点睛 向量在物理中的应用 (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学习的自由向量不同,在不考虑作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则,求两个力的合力. (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用向量的平行四边形法则,求两个速度的合速度. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)求力F1和F2的合力时可按照向量加法的平行四边形法则.(　　) (2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(　　) (3)作用在物体上的作用力与反作用力是一对相反向量.(　　) (4)功是力F与位移s的数量积,力做功一定是正数.(　　) 2.向量与力有什么相同点和不同点? √ √ √ × 提示 向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量起点平移到同一作用点上. 3.向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系? 提示 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”.向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量在平面几何中的应用 角度1.平行或共线问题 【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,已知DE= AB,DF= DB,求证:A,E,F三点共线. 规律方法　证明A,B,C三点共线的步骤 (1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线. (2)说明两向量有公共点. (3)下结论,即A,B,C三点共线. 变式训练1[人教A版教材习题]如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值. 角度2.垂直问题 【例2】 如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 规律方法　由向量证明平面几何中AB⊥CD的方法 变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证: AF⊥DE. 角度3.长度问题 【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 规律方法　在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中运用整体代入方法可使问题得到简捷、明了的解决. 变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为(　　) B 角度4.夹角问题 【例4】 已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小. 变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 规律方法　利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题也有两种思路,一是利用向量的基求解,二是利用坐标求解.在求解过程中,务必注意向量的方向. 探究点二　向量在物理中的应用 角度1.向量的线性运算在物理中的应用 【例5】 帆船比赛是借助风帆推动船在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h),设帆船行驶的速度为v, 则v=v1+v2. 由题意,可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10 ),向量v2=(20,0),则帆船的行驶速度 规律方法　 运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形再解决问题. 变式训练4已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) A 角度2.向量的数量积在物理中的应用 【例6】 已知两个力F1和F2,若F1=(1,1),F2=(-3,0),则F1,F2的夹角为　 　.  规律方法　向量在力学中的应用一般涉及力的合成与分解,应充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.正确作图是解决该类问题的前提. 变式训练5如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为 ,求F3的大小. 解 因为F1,F2,F3三个力处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2), 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量在几何中的应用; (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳:化归与转化、数形结合. 3.常见误区:(1)解决几何问题时,要注意选择恰当的一组基,不然容易引起计算的复杂;(2)功的正负问题及与数量积的对应关系. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足 则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是( 　) A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 BD 解析 根据向量将船速v分解,当v垂直于河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A.2 B.-2 C.4 D.-4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,流速大小为20 km/h,若不考虑其他因素,求帆船行驶的速度大小与方向.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 如图所示,建立平面直角坐标系(x轴的正方向为东,y轴的正方向为北).风力的方向为北偏东30°,速度大小为|v1|=20 km/h,水流的方向为正东,速度大小为|v2|=20 km/h,帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.由题意可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10 ),向量v2=(20,0), ∵α为锐角,∴α=30°. 故帆船向北偏东60°方向行驶,速度大小为20 km/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图所示,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q,且P,Q用轻线相连.现用恒力F沿 方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的 拉力的大小为　　　　　.  解析 对受力进行分析,依题意,重力可以忽略不计,记Q受轻线的拉力为T,由于两环稳定时受力平衡,只能是轻线与OA杆垂直,即轻线与OB的夹角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重(单位:kg)约为多少?(参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2, ≈1.732) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图,记F为F1与F2的合力,则有|G|=|F|,其中|G|=mg,m(单位:kg)为学生的体重, 因为|F1|=|F2|=360 N,F1与F2的夹角为60°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.已知某河流河水自西向东流速大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2. (1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 |v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图① 图② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图③ . (3)要证A,B,C三点共线,只要证明存在唯一一个实数λ≠0,使=λ,或若=a,=b,=c,存在一个实数t≠0,使c=ta+(1-t)b. cos θ= (1)若△ABC为直角三角形,则=0.(　　) (2)若向量,则AB∥CD.(　　) 证明 因为DE是△ABC的中位线,所以,从而).又,所以. 于是DE∥BC,DE=BC. 证明 因为DE=AB,DF=DB, 所以. 于是=-, 因此, 又因为有公共点F,所以A,E,F三点共线. 解 因为O是BC的中点,所以).又因为=m=n, 所以. 因为M,O,N三点共线,所以=1,即m+n=2. 证明 设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设=λ(0≤λ≤1). 则-λ-λ()=(1-λ)-λ. 又因为=(1-λ)-λ, 所以=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2-(1-λ)λ-λ(1-λ)+λ2=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0, 因此,故PA⊥EF. (1)①选择一组向量作基;②用基表示的值为0;④给出几何结论AB⊥CD. (2)先求=(x2,y2),再证明x1x2+y1y2的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD. 证明 设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0,又因为=-a+=b+, 所以=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0.故,即AF⊥DE. 解 设=a,=b,则=a-b,=a+b, 而||=|a-b|==2,即2a·b=1, 又因为||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b. 所以||2=6,所以||=,即对角线AC的长为. A.7 B. C. D.19 解析 因为, 所以=()2=-2=9-2×3×2×cos 60°+4=7, 所以||=,即BC的长为. 解 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(,1),E(,1),=(,1), =2. cos∠EAC=. 因为0<∠EAC<,所以∠EAC=. 解 假设在BC上存在点M,使得∠EAM=45°,不妨设M(,y0)(0≤y0≤1),则=(,y0). 因为,而∠EAM=45°,所以cos<>=,整理得+6y0-3=0,解得y0=-3+2或y0=-3-2, 由于-3+2∈[0,1],-3-2∉[0,1], 因此在BC上存在点M(,-3+2),使得∠EAM=45°. v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10), 所以|v|==20(km/h). 因为cos α=(α为v和v2的夹角,α为锐角), 所以α=30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 km/h. 解析 F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则+F=(1,1)+(8,0)=(9,1). 　 解析 设F1,F2的夹角为θ,cos θ=, 因为θ∈[0,π],所以θ=. 所以|F3|=|F1+F2|=. ||-|-2|=0, 解析 因为P是△ABC所在平面内一点,且||-|-2|=0, 所以||-|()+()|=0, 即||=||, 所以||=||,两边平方并化简得=0,所以, 所以∠A=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形. 故选AD. A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N 解析 如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力. 由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20 N, 所以|F1|=|F2|=10 N. 当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形, 此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10 N. 4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m 为(　　) 5.点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　) 则v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10), ∴|v|==20(km/h), tan α=. 7.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,若共线,则(　　) A.) B.) C. D.=2() 解析 设=m(). 因为=m(), 所以=m(), 所以=(m-1)+m(), 取BC边的中点D,连接OD,则OD⊥BC, 所以=2=0. 又因为AH⊥BC,所以=0. 所以=(m-1)+2m=0, 所以0=(m-1). 又因为不恒为0, 所以必有m-1=0,解得m=1. 所以. 故选C. 8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　) A.　 B.2 C.3 D.2 设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以=(2,-a),=(4,a). 因为,所以=0, 所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8, 所以a=2,所以=(2,-2), 所以||==2. 　 -θ,故|T|=. 所以|F|=|F1+F2|==360 N. 又g取10 m/s2,所以10m=360,m=36, 把≈1.732代入,可得m≈62.故该学生体重约为62 kg. 解如图①,设=v0,=v1,=v2, 则由题意知v2=v0+v1,||=1, 根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形. (1)由此人朝正南方向游,得四边形OACB为矩形,且||=AC=,如图②所示,则在直角三角形OAC中,|v2|=OC==2(m/s). 因为tan∠AOC=,且α=∠AOC∈, 所以α=. 故他实际前进方向与水流方向的夹角α为,v2的大小为2 m/s. (2)由题意知∠OCB=,且|v2|=OC=,BC=1,如图③所示, 则在直角三角形OBC中,|v1|=OB==2. 因为tan∠BOC=,∠BOC∈, 所以∠BOC=, 则β=∠BOA=. 故他游泳的方向与水流方向的夹角β为,v1的大小为2 m/s. $$