专题3.3 立方根（五大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

专题3.3 立方根（五大考点） 【考点1 立方根的概念】 【考点2 立方根的性质】 【考点3 立方根的实际应用】 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 【考点1 立方根的概念】 1．下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 3．的立方根是（    ） A．2 B． C． D． 4．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 5．若，则 ；若，则 ． 6．已知与相等，则b的值为 ． 【考点2 立方根的性质】 7．如果  ，那么 ． 8． ． 9．计算： ． 10．计算 ． 11．方程的解为 ． 12．数轴上表示的点与原点的距离是 ． 13．计算 ． 14．若，，则的平方根是 ． 【考点3 立方根的实际应用】 15．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 16．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长． 17．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 18．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 19．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 20．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 21．已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 22．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正方体木块的棱长． 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 23．已知：的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 24．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 25．已知实数x、y满足． (1)求x、y的值； (2)求的立方根． 26．已知一个正数m的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求a，b，m的值； (2)求的算术平方根． 27．已知和分别是的两个平方根，是的立方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根和算术平方根． 28．已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 29．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 30．已知：，则 ． 31．已知，，则 ． 32．如果，那么 ． 33．，，，则 ； 34．已知 ，，，则 35．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则  ，请根据上面的材料可得 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 立方根（五大考点） 【考点1 立方根的概念】 【考点2 立方根的性质】 【考点3 立方根的实际应用】 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 【考点1 立方根的概念】 1．下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根，解题的关键是理解和掌握平方根和立方根的定义．据此分析即可． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是，，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．是的立方根，原说法不正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； D．当时，，此时有平方根，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，算术平方根与立方根； 根据相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.2与不是相反数，不符合题意； B.∵， ∴与是相反数，符合题意； C.∵ ∴与不是相反数，不符合题意； D.无意义，与不是相反数，不符合题意； 故选：B． 3．的立方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义，求解即可． 【详解】解：的立方根是； 故选B． 4．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 5．若，则 ；若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了根据立方根，平方根的计算求方程的解，掌握立方根，平方根的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的解为； ∵， ∴的解为； 故答案为： ． 6．已知与相等，则b的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及立方根，根据题意得到，解方程即可． 【详解】解：∵与相等 ∴， ∴． 故答案为：6． 【考点2 立方根的性质】 7．如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 8． ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根与绝对值；先由立方根的定义求得立方根，再求出其绝对值即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 根据求一个数的立方根求解即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 11．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用立方根解方程，根据立方根的定义，解方程即可． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 12．数轴上表示的点与原点的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查实数与数轴，先化简，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是； 故答案为：3． 13．计算 ． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义及立方根的定义可知的算术平方根是，的立方根是，再根据有理数的加法运算法则解答即可．本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，有理数的加法运算法则，理解算术平方根的定义，立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：． 14．若，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，求一个数的平方根，理解相关概念是解题关键． 根据算术平方根，立方根的性质可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【考点3 立方根的实际应用】 15．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 【答案】一个月造成的水流矢量至少是；这个水池至少挖深 【分析】此题考查了立方根， 熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据水龙头与抽水马桶浪费的水量之和计算即可；设底面半径为，水池深，根据圆柱体体积公式列出方程，求出方程的解得到的值，即为所求． 【详解】解：根据题意得：， 一个月造成的水流矢量至少是； 设底面半径为，则水池深， 根据题意得：，即， ， 解得：． 则这个水池至少深． 16．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，解题关键是根据立方根的定义求出正方体的棱长． 【详解】解：第一个正方体纸盒的体积为， ∴第二个正方体纸盒的体积为， ∴第二个正方体纸盒的棱长为． 17．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 18．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 19．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根、勾股定理的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此即可求出边长即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 20．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． 21．已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3 (2)cm 【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根． （1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可． 【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：， 解得：或（舍去），即棱长为cm， 体积为(cm3)， 答：正方体的棱长为cm，体积为cm3； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：， 解得：， 所以每个小正方体的棱长为cm． 答：每个小正方体的棱长为cm． 22．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正方体木块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键； （1）根据正方体体积等于棱长棱长棱长，即可解答； （2）设每个小正方体棱长为，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可； 【详解】（1） ， 大正方体木块的棱长 （2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得： 解得：， 截得的每个小正方体木块的棱长． 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 23．已知：的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了平方根与立方根的概念，求算术平方根； （1）由平方根的概念知，，则可求得a的值；由立方根的概念知，，则可求得b的值； （2）把（1）中求得a、b的值代入，可求得其值，即可求得其算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根为2， ， 解得：； （2）由（1）得，， ， 它的算术平方根为7． 24．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． （2）解：，， ， ∴的立方根是． 25．已知实数x、y满足． (1)求x、y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查非负数的性质，绝对值，立方根，关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0． （1）由绝对值的非负性和算术平方根的非负性可得，，再解方程即可； （2）由立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， （2）解： ， 的立方根是4． 26．已知一个正数m的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求a，b，m的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键 （1）根据正数的两个不同的平方根是和，根据平方根的性质，列出方程解出a，继而可求出m；再根据的立方根为，列出方程解出b； （2）把，代入计算出代数式的值，然后求它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：因为一个正数m的两个不同的平方根是和 所以 解得：； ∴ ∴； 因为的立方根是 所以 解得：． （2）解：由上一问结论可知，， 则， ∵9的算术平方根为3． ∴的算术平方根为3． 27．已知和分别是的两个平方根，是的立方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根和算术平方根． 【答案】(1)；；； (2)；． 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据平方根是一对相反数的概念可得到，运算出，把代入后平方即可得到的值，即可运算出； （2）把（1）中算出的代入后，即可运算平方根和算术平方根． 【详解】（1）解：∵和分别是a的两个平方根， ∴ 解得： ∴ ∴ 解得： （2）由（1）可得： ∴ ∴的算术平方根为：；算术平方根为：． 28．已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 29．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是4 【分析】本题考查的是平方根与立方根的综合应用，无理数的整数部分的含义，根据平方根与立方根可得，，再结合整数部分可得，从而可得答案； 【详解】解：正数x的两个不等的平方根分别是和， ，解得， 的立方根为， ，解得， c是的整数部分， ， ， 的算术平方根是4； 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 30．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 31．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 【详解】解: ∵， ∴． 故答案为：． 32．如果，那么 ． 【答案】0.2872 【分析】根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：0.2872． 【点睛】此题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 33．，，，则 ； 【答案】 【分析】将根号下的小数转化为分数，再计算立方根，结合题目给的关系式即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根的性质，比较简单． 34．已知 ，，，则 【答案】10a 【分析】根据被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍进行解答即可． 【详解】解:∵ ∴2.018=a3 ∴（10a）3=1000 a3=1000×2.018=2018 ∴． 故答案为10a． 【点睛】本题考查了立方根的性质，掌握被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍成为解答本题的关键． 35．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则  ，请根据上面的材料可得 ． 【答案】 【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根. 【详解】由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由59319的个位上的数是9，就能确定的个位上的数是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27、43＝64，由此可确定的十位上的数是3．所以，＝39． 故答案为：39 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$