3.2 实数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

3.2 实数 【考点1 无理数】 【考点2 实数的相关概念及分类】 【考点3 实数的性质】 【考点4 实数与数轴】 【考点5 实数的大小比较】 【考点6 估算无理数大小】 【考点7 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 知识点1：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【考点1 无理数】 【典例1】（2023秋•肃州区校级期末）下列实数，|﹣3|，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023秋•桐乡市期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．1.732 D．2π 【变式1-2】（2023秋•酒泉期末）下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】（2022秋•阜宁县期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．1.5 C．面积为2的正方形的边长 D．3.1415926 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点2 实数的相关概念及分类 【典例2】（2023春•宁国市期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【变式2-1】（2023秋•沈丘县期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•文成县期中）在实数9.3，﹣1，，中，属于整数的是（　　） A．9.3 B．﹣1 C． D． 【变式2-3】（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点3 实数的性质】 【典例3】（2023秋•威远县校级期中）的相反数是 　　，的绝对值是 　　． 【变式3-1】（2023•西峡县二模）下列各数中，绝对值最大的数是 （　　） A．3 B．0 C． D． 【变式3-2】（2023春•西青区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋•哈尔滨期末）实数﹣1的相反数是　　． 【考点4 实数与数轴】 【典例4】（2023秋•桐乡市期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式4-1】（2023秋•沈河区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（　　） A．﹣3.2 B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•兰州期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 　 ． 【变式4-3】（2023秋•昌平区期末）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　 　． 【考点5 实数的大小比较】 【典例5】（2023秋•深圳期末）比较大小： 　　．（填“＞”或“＜”）． 【变式5-1】（2023秋•榆阳区期末）下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D．﹣3 【变式5-2】（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　） A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0 【变式5-2】（2022秋•唐山期末）若M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法比较 【考点6 估算无理数大小】 【典例6】（2023秋•长春期末）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式6-1】（2023秋•龙岗区期末）估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式6-2】（2023秋•金凤区校级期末）整数a，满足，则a＝　2　． 【变式6-3】（2023春•路桥区期末）估算﹣1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点7 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【典例7】（2023秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 【变式7-1】（2023秋•六盘水期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023秋•南关区校级期中）的小数部分是（　　） A．﹣1 B． C． D． 【变式7-3】（2023秋•南皮县期中）设的小数部分是m，的整数部分是n，则（m+1）n的值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 一、单选题 1．在，，，四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 3．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 5．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 7．一个正方形的面积为21，估计这个正方形的边长在 （    ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 二、填空题 8．化简的结果是 ． 9．面积为5的正方形的边长的取值范围介于整数 和 之间． 10．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 11．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 三、解答题 13．如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 14．我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 实数 【考点1 无理数】 【考点2 实数的相关概念及分类】 【考点3 实数的性质】 【考点4 实数与数轴】 【考点5 实数的大小比较】 【考点6 估算无理数大小】 【考点7 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 知识点1：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【考点1 无理数】 【典例1】（2023秋•肃州区校级期末）下列实数，|﹣3|，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：是分数，属于有理数； |﹣3|＝3，＝2，＝﹣2，是整数，属于有理数； 0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数； 故在实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有﹣，，共2个． 故选：B． 【变式1-1】（2023秋•桐乡市期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．1.732 D．2π 【答案】D 【解答】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．，是整数，属于有理数，故不符合题意； C．1.732是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D．2π是无理数，故符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2023秋•酒泉期末）下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：＝2， 在所列实数中，无理数有，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，共有3个， 故选：B． 【变式1-3】（2022秋•阜宁县期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．1.5 C．面积为2的正方形的边长 D．3.1415926 【答案】C 【解答】解：是分数，1.5、3.1415926是有限小数，均为有理数，故A、B、D不符合要求； 面积为2的正方形的边长为，是无理数，故C符合要求； 故选：C． 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点2 实数的相关概念及分类 【典例2】（2023春•宁国市期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【答案】C 【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误； （B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误； （D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误； 故选：C． 【变式2-1】（2023秋•沈丘县期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：是有理数，故选项A符合题意； ，，是无理数，故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（2023秋•文成县期中）在实数9.3，﹣1，，中，属于整数的是（　　） A．9.3 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：， 整数是：﹣1， 故选：B． 【变式2-3】（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意； （2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意； （3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意； （5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意； 故选：A． 【考点3 实数的性质】 【典例3】（2023秋•威远县校级期中）的相反数是 　2﹣　，的绝对值是 　2﹣　． 【答案】2﹣，2﹣． 【解答】解：﹣2的相反数是2﹣，的绝对值是2﹣， 故答案为：2﹣，2﹣． 【变式3-1】（2023•西峡县二模）下列各数中，绝对值最大的数是 （　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵|3|＝3，|0|＝0，|﹣|＝，|﹣|＝， ∴＞3＞＞0， 故选：D． 【变式3-2】（2023春•西青区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵≈1.414， ∴1.5﹣＞0． ∴1.5﹣的绝对值是它本身． 故选：A． 【变式3-3】（2023秋•哈尔滨期末）实数﹣1的相反数是　1﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：﹣1的相反数是1﹣， 故答案为：1﹣． 【考点4 实数与数轴】 【典例4】（2023秋•桐乡市期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是B点， 故选：B． 【变式4-1】（2023秋•沈河区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（　　） A．﹣3.2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE， ∴AD＝AE＝， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为1+． 故选：D． 【变式4-2】（2023秋•兰州期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 　　． 【答案】． 【解答】解：由勾股定理得正方形对角线BC的长度为：， ∴BC＝BM＝， ∴OM＝， 又∵点M在原点O的左侧， ∴点M表示的数为：， 故答案为：． 【变式4-3】（2023秋•昌平区期末）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意得，2mπ＝π， ∴m＝， 故答案为：． 【考点5 实数的大小比较】 【典例5】（2023秋•深圳期末）比较大小： 　＜　．（填“＞”或“＜”）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为﹣ ＝ ＝ 因为2﹣＝﹣＜0， 所以＜0 即＜ 故答案为：＜ 【变式5-1】（2023秋•榆阳区期末）下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B．2 C．0 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵﹣3＜0＜＜2， ∴四个实数中最大的是2； 故选：B． 【变式5-2】（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　） A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0 【答案】A 【解答】解：∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， ∴﹣π＜﹣3.14， ∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜． 故选：A． 【变式5-2】（2022秋•唐山期末）若M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法比较 【答案】A 【解答】解：﹣＝＝， ∵10＞9， ∴＞3， ∴﹣3＞0， ∴＞0， ∴＞． ∴M＞N． 故选：A． 【考点6 估算无理数大小】 【典例6】（2023秋•长春期末）估算的值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【解答】解：∵3＜＜4， ∴5＜+2＜6， 即+2在5和6之间， 故选：C． 【变式6-1】（2023秋•龙岗区期末）估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜15＜16， ∴3＜＜4， 故选：B． 【变式6-2】（2023秋•金凤区校级期末）整数a，满足，则a＝　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵， ∵a为整数且， ∴， 故答案为：2 【变式6-3】（2023春•路桥区期末）估算﹣1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， 则2＜﹣1＜3， 故选：B 【考点7 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 【典例7】（2023秋•驿城区期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴ ∴， 故选：A． 【变式7-1】（2023秋•六盘水期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵＜＜，即3＜＜4， ∴﹣4＜﹣＜﹣3， ∴3＜7﹣＜4， ∴7﹣的整数部分a＝3，小数部分b＝7﹣﹣3＝4﹣， ∴2a﹣b＝6﹣4+＝2+． 故选：D． 【变式7-2】（2023秋•南关区校级期中）的小数部分是（　　） A．﹣1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是﹣3， 故选：C． 【变式7-3】（2023秋•南皮县期中）设的小数部分是m，的整数部分是n，则（m+1）n的值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3， ∴m＝，n＝2， ∴（m+1）n＝（+1）2＝3． 故选：A 一、单选题 1．在，，，四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是理解：①有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；②无限不循环小数是无理数．据此判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．是小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 3．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到 ，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解： ，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 5．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案． 【详解】解：由数轴上与的位置可知：，故选项A错误； 因为，，所以，故选项B错误； 因为，，所以，则，故选项C错误； 因为，则，故选项D正确； 故选：D． 6．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的含义和无理数的估算．判断出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【详解】∵， ∵ ∴， ∴表示实数a的点会落在数轴的段④上． 故选：D． 7．一个正方形的面积为21，估计这个正方形的边长在 （    ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】D 【分析】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识．运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解： ． ， 这个正方形的边长在4和5之间， 故选：D. 二、填空题 8．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先实数大小比较，后根据绝对值化简原则解答即可． 本题考查了实数大小比较，绝对值的化简，熟练掌握大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．面积为5的正方形的边长的取值范围介于整数 和 之间． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据正方形的面积公式得出正方形的边长是，再结合得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：正方形的边长是， ∵， ∴，即， ∴的边长的取值范围介于整数和之间， 故答案为：，． 10．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．先估算出的整数部分，然后可求得a的值，在估算出的整数部分，可求得b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 11．如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合思想，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据点B和点C关于点A对称，即可求得，再根据两点间距离计算即可． 【详解】解：∵点B和点C关于点A对称， ∴， ∴点C表示的数是：． 故答案为：． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查无理数的估算、求一个数的算术平方根，熟练掌握网格中割补法求图形面积的方法以及算术平方根的定义是解答的关键． （1）根据网格特点，由大正方形的面积减去阴影周围四个直角三角形的面积可求求解； （2）根据无理数的估算求得x、y值，再根据算术平方根的定义代值求解即可． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积． （2）解：由（1）得阴影正方形的面积为13， ∴阴影正方形的边长为 的整数部分是， ， 的整数部分是3， ∴． ， 的算术平方根为． 14．我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键． （1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可； （3）先估算出的取值范围，再确定、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为； （2）解：∵， ， ， ∴的整数部分为3，小数部分为； ， ， ∴的整数部分为5，小数部分为， ， 故答案为：1； （3）解：， ， ， ∴的整数部分为，小数部分为， ， ∴9的平方根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$