精品解析：山东省济宁市第七中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

初四年级第一学期数学限时作业 一、选择题（每小题3分） 1. 如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，，在⊙上，点是延长线上一点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，，，是正方形网格格点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，直径的长是（ ） A. 28寸 B. 30寸 C. 36寸 D. 34寸 7. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，3小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ） A. 60海里 B. 30海里 C. 45海里 D. 45海里 8. 已知二次函数的图像如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 10. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题3分） 11. 已知为锐角，且，则______． 12. 已知点 ，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为______． 13. 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，则塔高为_________m． 14. 如图，以为直径的半圆与，相切于E，C两点，C，D，B三点共线，若弧的长为，，则阴影部分的面积为 _______． 15. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是______． 三、解答题 16. （1）计算： （2）如图，已知中，，，求边的长． 17. 为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表： 已接种 未接种 合计 七年级 30 10 40 八年级 35 15 a 九年级 40 b 60 合计 105 c 150 （1）表中，______，______，______； （2）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人； （3）为更好地响应号召，某中学从最初接种4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好在同一年级的概率． 18. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米． （1）求点距水平面的高度； （2）求广告牌高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） 19. 某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月售出kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg． （1）当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润． （2）商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？ （3）当售价定多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 20. 如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点的纵坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点，，． （1）求直线的解析式； （2）若点是第二象限内反比例函数图象上一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图，A、B、C是半径为2的上三点，AB为直径，的平分线交圆于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E，延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的值． 22. 如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）求的正切值； （3）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初四年级第一学期数学限时作业 一、选择题（每小题3分） 1. 如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵该几何体上下部分均为圆柱体， ∴其左视图为矩形， 故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：． 3. 如图，点，，在⊙上，点是延长线上一点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点是优弧（不与，重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得． 【详解】设点是优弧（不与，重合上的一点，连接、， ∵， ∴， ∵四边形内接于⊙， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 4. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案． 【详解】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之和为0的情况有两种， 即两次记录的数字之和为0的概率是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解． 5. 如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值． 【详解】解：如图，作于， 设小正方形边长为1， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 的值是， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度． 6. 如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，直径的长是（ ） A. 28寸 B. 30寸 C. 36寸 D. 34寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接．设圆的半径是寸，在直角中，寸，，在直角中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长． 【详解】解：如图，连接． 设圆的半径是寸，在直角中，寸，寸， ∵， ∵，且， ∴， 则， 解得：． 则（寸）． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键． 7. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，3小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ） A. 60海里 B. 30海里 C. 45海里 D. 45海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出，根据等角对等边得出，求出AB即可． 【详解】解：∵根据题意得：， ∴， ∴， ∵（海里）， ∴（海里）， 即海岛B到灯塔C的距离是45海里． 故选：D． 【点睛】本题考查了与方向角有关的计算、等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出，题目比较典型，难度不大． 8. 已知二次函数的图像如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数的图像开口向下可知，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即，再由函数图像经过y轴正半轴可知，再根据两个图像有两个交点，利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：二次函的图像开口向下可知，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即，图像经过y轴正半轴可知， 由，可知，直经过一、二、四象限， 由可知，反比例函数图像经过第一、三象限， 故选项A、D错误； ∵对称轴， ∴． ∵图像过， ∴． ∴． ∴一次函数关系式为，双曲线为． 联立方程， 解得： ∴一次函数和反比例函数有2个交点． 故选项B错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 9. 如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于． ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，，，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据图象可知当时，，可判断③；由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，利用一元二次方程根的判别式，可判断④；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为 且 抛物线与轴交于正半轴， 故①不正确，②正确； ③当时，由图象可知， 故③不正确； ④由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根，∴ 故④正确； ⑤抛物线的对称轴为， ∴此时函数的最大值为， （m为任意实数） （m为任意实数）， 故⑤不正确， 综上所述，不正确的有①③⑤，有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数与坐标轴的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题根据． 二、填空题（每小题3分） 11. 已知为锐角，且，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】根据条件，可以推出，再根据特殊的三角函数值即可解出． 【详解】解： 故答案为：60． 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键． 12. 已知点 ，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，易得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求面积S的值． 【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 13. 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，则塔高为_________m． 【答案】 【解析】 【分析】用分别表示出，长，根据得方程求，进而求得长． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∵． ∴大楼高． 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14. 如图，以为直径的半圆与，相切于E，C两点，C，D，B三点共线，若弧的长为，，则阴影部分的面积为 _______． 【答案】－π 【解析】 【分析】连接，根据弧长公式求出，根据切线的性质得出和，解直角三角形求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，从而得到答案． 详解】解：连接， 设的度数为， 由题意得：， 解得：，即， ∴， ∵以为直径的半圆与，相切于E，C两点， ∴，， ∴， ∵ ∴，， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了圆的切线的性质、弧长公式的运用及解直角三角形等知识点，正确运用割补法求阴影部分的面积是解本题的关键． 15. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线是第一象限的角平分线，故解析式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形边长和的坐标，即可得直线的解析式为，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长……，以此类推得出规律，即可得到第2023个正方形的边长是 【详解】解：根据题意，，即直线是第一象限的角平分线，则解析式为， 联立，解得或，故， ∴，，即第1个正方形边长为， ∵， ∴直线的解析式中的系数与直线的解析式中系数相等，且经过， ∴直线的解析式为， 联立，解得或，故， ∴，，即第2个正方形边长为， ∵， ∴直线的解析式中的系数与直线的解析式中系数相等，且经过， ∴直线解析式为， 联立，解得或，故， ∴，，即第3个正方形边长为， … 按此规律类推，第个正方形的边长为， ∴第2023个正方形的边长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，利用方程组求得交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键． 三、解答题 16. （1）计算： （2）如图，已知中，，，求边的长． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）先求特殊角的三角函数值，再进行实数的运算即可； （2）过A作于E，利用锐角三角函数解直角三角形求得、、，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）作A作， 在中， =，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算、锐角三角函数、勾股定理，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键． 17. 为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表： 已接种 未接种 合计 七年级 30 10 40 八年级 35 15 a 九年级 40 b 60 合计 105 c 150 （1）表中，______，______，______； （2）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人； （3）为更好地响应号召，某中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好在同一年级的概率． 【答案】（1）50，20，45； （2）2400； （3）画树状图见解析，． 【解析】 【分析】（1）结合题意，由统计表中数据计算即可； （2）由该市初中七、八、九年级共有的人数乘以未接种的教师所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种可能结果，选中的两名教师恰好在同一年级的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计表中数据可知， ，，， 故答案为：50，20，45； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人）， 即未接种的教师约有2400人， 故答案为:2400； 【小问3详解】 把七年级1名教师记为A，八年级1名教师记为B，九年级2名教师记为C、D，画树状图如图： 共有12种等可能的结果，选中的两名教师恰好在同一年级的结果有2种， 选中的两名教师恰好在同一年级的概率P=． 【点睛】本题考查了数据统计表、抽样结果估计总体、列表法或树状图法求概率等知识，解题关键是读懂题意，弄清数据关系，并熟练掌握列举法求概率． 18. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米． （1）求点距水平面的高度； （2）求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） 【答案】（1）8米 （2）宣传牌高约米 【解析】 【分析】（1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过作的垂线，设垂足为．在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长然后根据即可求出宣传牌的高度． 【小问1详解】 解：中， ， ∴， ∴； 答：点距水平面的高度为8米． 【小问2详解】 过作于， 由（1）得：；， 中，， ∴． 中， ∵，， ∴ ． ∴ 答：宣传牌高约米． 【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 19. 某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月售出kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg． （1）当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润． （2）商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）销售单价定为60元时，月销售量为千克，销售利润为9000元 （2）销售单价应定为60元 （3）当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元． 【解析】 【分析】（1）根据月销售利润每千克的利润数量就可以表示出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，把代入解析式就可以求出销售利润，由售价与销售量的关系就可以求出月销售量； （2）当时，代入（1）的解析式求出结论即可； （3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论． 小问1详解】 解：设销售单价为x，由题意，得， ． 当元时，月销售量为：(千克)； 销售利润为：（元）． 答：销售单价定为60元时，月销售量为千克，销售利润为9000元； 【小问2详解】 解：由题意，得 ， 解得：，． 为了让顾客得到更多实惠舍去，取， 答：销售单价应定为60元； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴y有最大值． ∴当时．y最大元． 答：当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，一元二次方程的应用，解答时求出函数的解析式是关键． 20. 如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点纵坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点，，． （1）求直线的解析式； （2）若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据三角函数的性质，得点，将点代入，得 ；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）连接、、，结合的结论，得点；结合题意得；把代入 ，得点；设点的坐标为，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案． 【小问1详解】 如图，过点作轴于点， ，， ，， 点， 双曲线的解析式为 ， 把，分别代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为 ； 【小问2详解】 如图，连接、、 把代入，得， 点， ， ， 把代入 ，得 ， 点 设点的坐标为， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 根据函数图象，结合点、点， 或． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程，已知正切求边长，解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解． 21. 如图，A、B、C是半径为2的上三点，AB为直径，的平分线交圆于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E，延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由知，由平分知，据此可得，继而求得，根据即可得证； （2）根据，得到，从而得到，再由平分得到，最后求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， 又平分， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的定义、平行线分的性质和判定、求角的余弦、特殊角的三角函数值等几何知识，灵活运用相关的几何知识是解题的关键． 22. 如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）求的正切值； （3）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）过点作点，交于点，过点作轴于点，证出，设，则，证出，求出，求出； （3）过点作于点，交于点，过点作轴于点，根据AAS证出，求出点，求出直线MC的解析式，列方程组求出点坐标即可． 【小问1详解】 (1)解：把点，代入，得 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，过点作点，交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点，交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ (AAS)， ∴，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、点坐标代入，得， 解得 ， ∴直线的解析式， 联立直线和抛物线的解析式，得， 解得(舍去)或， ∴点坐标． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$