广东省江门市新会区尚雅学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（B卷）

2023-2024学年广东省江门市新会区尚雅学校八年级（下）期末数学试卷（B卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数1，0，|﹣π|，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C．|﹣π| D． 2．（3分）在体育中考模拟测试中，九年级某班的7名女生仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：52，54，55，46，52，53，52．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．52，54 B．53，54 C．52，52 D．52，56 3．（3分）如图，某技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点A，B，D对应的刻度分别为1，7，4．若∠ADC＝120°，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（　　） A．小明去时的速度为6千米/小时 B．小明在超市停留了10分钟 C．小明去时花的时间大于回家所花的时间 D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路 5．（3分）若方程x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 7．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 8．（3分）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（　　） A．（30+x）（100﹣10x）＝3640 B．（30+x）（100+10x）＝3640 C．（30﹣x）（100+10x）＝3640 D．（30﹣x）（100﹣10x）＝3640 9．（3分）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM+PN＝BD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　． 12．（3分）若m是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则2m2+8m＝　 　． 13．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为 　 　． 14．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是 　 　． 15．（3分）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　 　． 16．（3分）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　 　． 三、解答题（一）（共2小题，每小题4分，共8分） 17．（4分）计算：． 18．（4分）解方程：2x2+4x﹣30＝0． 四、解答题（二）（共3小题，第19、20题每题6分，第21题8分） 19．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x． （1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）判断点A（﹣1，6）是否在此二次函数的图象上． 20．（6分）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　 　分米，挂画的宽可表示为　 　分米，列出的方程为　 　． （2）根据你所列的方程求出x的值． 21．（8分）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七八年级测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． （3）如果把x≥85的记为“优秀”，把70≤x＜85的记为“合格”，学校规定两项成绩按6：4计算．通过计算比较哪个年级得分较高？ 四、解答题（三）（共4小题，第22、23题每题10分，第24、25题每题12分） 22．（10分）随着自媒体的快速发展，出现了抖音等多种平台的直播带货销售模式．某水果电商对甲、乙两种水果进行网上销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲种水果的销售额y（元）与x（千克）之间的函数关系如图所示． （1）求甲种水果打折前的销售单价和乙种水果的销售单价． （2）求y与x之间的函数表达式． （3）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值是多少？ 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点． （1）请过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，（保留作图痕迹，不要求写作法），则CE与AD的数量关系为 　 　； （2）当D在AB中点时，连接CD和BE，判断四边形BECD的形状，并说明理由； （3）若D为AB中点，则当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？ 24．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，|0﹣1|＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于x的方程2x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“邻近根方程”，求3b2﹣4c2的最大值． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请你直接写出点N，M的坐标； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 　 　，重叠部分的面积是 　 　； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年广东省江门市新会区尚雅学校八年级（下）期末数学试卷（B卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数1，0，|﹣π|，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C．|﹣π| D． 【分析】根据绝对值的定义将|﹣π|化为π≈3.14，根据二次根式的性质将化为2，最后根据实数大小比较的方法进行比较即可得出答案． 【解答】解：∵|﹣π|＝π≈3.14，＝2， ∴0＜1＜＜|﹣π|， 即|﹣π|最大， 故选：C． 2．（3分）在体育中考模拟测试中，九年级某班的7名女生仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：52，54，55，46，52，53，52．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．52，54 B．53，54 C．52，52 D．52，56 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：因为这组数据中，52出现次数最多，所以众数是52， 将这组数据从小到大排列：46，52，52，52，53，54，55，则中位数为52， 故选：C． 3．（3分）如图，某技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点A，B，D对应的刻度分别为1，7，4．若∠ADC＝120°，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出AD＝BD＝3，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝BD＝3，进而证明△BCD是等边三角形，得BC＝BD＝3，然后由勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：∵点A，B，D对应的刻度分别为1，7，4， ∴AB＝7﹣1＝6，AD＝4﹣1＝3，BD＝7﹣4＝3， ∴AD＝BD， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝BD＝3， ∵∠ADC＝120°， ∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝3， ∴AC＝＝＝3， 故选：D． 4．（3分）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（　　） A．小明去时的速度为6千米/小时 B．小明在超市停留了10分钟 C．小明去时花的时间大于回家所花的时间 D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路 【分析】A．去时的路程为2千米，时间为20分钟，根据“速度＝路程÷时间”即可判断；B．在超市停留的时间段为函数图象水平的一段，以此即可判断；C．根据图象可知，小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为（40﹣30）分钟，再计较大小即可判断；D．函数图象表示的是距离和时间的关系，因此不能判断出小明去时走下坡路，回家时走上坡路． 【解答】解：A．∵小明去时的路程为2千米，时间为20分钟＝小时， ∴小明去时的为2÷＝6（千米/小时），故A选项正确，不符合题意； B．小明在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项正确，不符合题意； C．小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟）， ∵20＞10， ∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项正确，不符合题意； D．∵函数图象表示的是距离和时间的关系， ∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．（3分）若方程x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于c的不等式，可求得c的取值范围． 【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣c＝0没有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2+4c＞0， 解得：c＞﹣； 故选：A． 6．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误； B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是45°，错误． 故选：C． 7．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 【分析】依据题意，由抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，又a＝3＞0，从而当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故可判断A；又抛物线开口向上，则当x＝2时，y取最小值为﹣1，故可判断B；依据题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合抛物线的对称轴是直线x＝2，又|3﹣2|＝|1﹣2|，可得y1＝y2，故可判断C；依据题意，当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，则当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，则可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1， 又a＝3＞0， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意． ∵抛物线开口向上， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意． 由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2， 又|3﹣2|＝|1﹣2|， ∴y1＝y2，故C错误，不合题意． ∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11， ∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意． 故选：D． 8．（3分）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（　　） A．（30+x）（100﹣10x）＝3640 B．（30+x）（100+10x）＝3640 C．（30﹣x）（100+10x）＝3640 D．（30﹣x）（100﹣10x）＝3640 【分析】设每件衬衫降价x元，则每件盈利（30﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（30﹣x）元，每天可以售出（100+10x）件， 依题意，得：（30﹣x）（100+10x）＝3640， 故选：C． 9．（3分）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件“点（k，b）为第一象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y＝kx﹣b的图象所经过的象限． 【解答】解：∵点（k，b）为第一象限内的点， ∴k＞0，b＞0， ∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM+PN＝BD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据菱形的性质即可判断①；结合（1）利用含30度角的直角三角形即可判断②；根据四边形内角和等于360度即可判断③；如图，延长NP交BC于点G，利用角平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OB＝OA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PN＝PB+PD＝（PB+PD）＝BD， ∴PM+PN＝BD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≥3　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0，解得x≥3． 故答案为：x≥3． 12．（3分）若m是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则2m2+8m＝　2　． 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+4m＝1，再把2m2+8m变形为2（m2+4m），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是关于x的方程x2+4x﹣1＝0的一个根， ∴m2+4m﹣1＝0， ∴m2+4m＝1， ∴2m2+8m＝2（m2+4m）＝2×1＝2． 故答案为：2． 13．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为 　（x﹣3）2＝14　． 【分析】先把常数项移到方程右侧，然后把方程两边加上9即可． 【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， ∴（x﹣3）2＝14． 故答案为（x﹣3）2＝14． 14．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是 　x＜4　． 【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0， ∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4． 故答案为：x＜4． 15．（3分）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　　． 【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC∥AB， ∴∠ECA＝∠CAB， 根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴EC＝EA， ∵B（2，4）， ∴AD＝AB＝4， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（4﹣x）2＝x2+4， 解得：x＝， ∴OE＝， 故答案为：． 16．（3分）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　74　． 【分析】由“AAS”可证△ADN≌△BAH，可得BH＝AN＝5，AH＝DN＝5+2＝7，由勾股定理可求AD2，即可求解． 【解答】解：如图，过点B作l1作BH⊥l1于H，过点D作DN⊥l1于N， ∴∠AHB＝∠AND＝90°＝∠BAD， ∴∠BAH+∠ABH＝90°＝∠BAH+∠DAN， ∴∠DAN＝∠ABH， ∴△ADN≌△BAH（AAS）， ∴BH＝AN＝5，AH＝DN＝5+2＝7， ∴AD2＝AN2+DN2＝25+49＝74， ∴正方形ABCD的面积S等于74， 故答案为：74． 三、解答题（一）（共2小题，每小题4分，共8分） 17．（4分）计算：． 【分析】先根据乘方的意义和零指数幂的性质计算乘方，再根据二次根式的乘法法则计算乘法，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 18．（4分）解方程：2x2+4x﹣30＝0． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：2x2+4x﹣30＝0， 化简得：x2+2x﹣15＝0， 因式分解得：（x+5）（x﹣3）＝0， ∴x+5＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣5． 四、解答题（二）（共3小题，第19、20题每题6分，第21题8分） 19．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x． （1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）判断点A（﹣1，6）是否在此二次函数的图象上． 【分析】（1）依据题意，将y＝2x2﹣4x变形为y＝2（x﹣1）2﹣2，进而可以判断得解； （2）依据题意，将 x＝﹣1 代入二次函数的解析式进行判断可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2 ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）． （2）由题意，把x＝﹣1代入y＝2x2﹣4x得， y＝2×（﹣1）2+4＝6， ∴点A（﹣1，6）在此二次函数y＝2x2﹣4x的图象上． 20．（6分）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　（8+2x）　分米，挂画的宽可表示为　（6+2x）　分米，列出的方程为　（8+2x）（6+2x）＝80　． （2）根据你所列的方程求出x的值． 【分析】（1）设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为（8+2x）分米，挂画的宽可表示为（6+2x）分米，根据挂画的面积为80平方分米，列方程即可； （2）求解（1）所列的方程． 【解答】解：（1）设金色纸边的宽度为x分米，则挂画的长为（8+2x）分米，挂画的宽为（6+2x）分米， 由题意得（8+2x）（6+2x）＝80； （2）整理方程得：x2+7x﹣8＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣8（不合题意舍去）． 答：金色纸边的宽度为1分米， 故答案为：（8+2x），（6+2x），（8+2x）（6+2x）＝80． 21．（8分）为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七八年级测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　2　，b＝　85　，c＝　84　； （2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． （3）如果把x≥85的记为“优秀”，把70≤x＜85的记为“合格”，学校规定两项成绩按6：4计算．通过计算比较哪个年级得分较高？ 【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，c的值，根据中位数定义可求出b； （2）根据方差的意义求解即可； （3）根据加权平均数的定义计算，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵八年级的10名学生中有8名学生成绩低于9（0分）， ∴a＝10﹣7﹣1＝2， 根据众数的定义可知：c＝84， 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为b＝＝85， 故答案为：2，85，84； （2）八年级好些， 七八年级成绩的平均数相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 所以八年级总体水平较为好些； （3）七年级得分：（90×2+93+87+86）×0.6+（84+81+79+74+76）×0.4＝425.2， 八年级得分：（90+92+85）×0.6+（84×3+81×2+83+76）×0.4＝389.4， 七年级得分较高． 四、解答题（三）（共4小题，第22、23题每题10分，第24、25题每题12分） 22．（10分）随着自媒体的快速发展，出现了抖音等多种平台的直播带货销售模式．某水果电商对甲、乙两种水果进行网上销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲种水果的销售额y（元）与x（千克）之间的函数关系如图所示． （1）求甲种水果打折前的销售单价和乙种水果的销售单价． （2）求y与x之间的函数表达式． （3）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值是多少？ 【分析】（1）设甲种水果打折前的售价m元/千克，乙种水果的售价为n元/千克，根据“销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元”列出方程组，解方程组即可； （2）分0≤x≤40和x＞40两种情况列出y与x的函数解析式即可； （3）设甲种水果销售a（50≤a≤80）千克，则乙种水果销售（120﹣a）千克，销售额为w元，根据总销售＝销售两种水果的销售额之和列出函数解析式，由函数的性质求函数最值． 【解答】解：（1）设甲种水果打折前的售价m元/千克，乙种水果的售价为n元/千克， 则， 解得， 答：甲种水果打折前的售价62元/千克，乙种水果的售价为28元/千克； （2）当0≤x≤40时，y＝62x； 当x＞40时，y＝40×62+62×0.8（x﹣40）＝49.6x+496， ∴y与x之间的函数表达式为y＝； （3）设甲种水果销售a（50≤a≤80）千克，则乙种水果销售（120﹣a）千克，销售额为w元， 则w＝49.6a+496+28（120﹣a）＝21.6a+3856， ∵21.6＞0，50≤a≤80， ∴当a＝80时，w有最大值，最大值为5584， 此时120﹣80＝40（千克）， 答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大，最大值为5584元． 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点． （1）请过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，（保留作图痕迹，不要求写作法），则CE与AD的数量关系为 　AD＝CE　； （2）当D在AB中点时，连接CD和BE，判断四边形BECD的形状，并说明理由； （3）若D为AB中点，则当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？ 【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，可得AD＝CE； （2）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可得CD＝BD，可证四边形BECD是菱形； （3）通过证明△ACB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得∠CDB＝90°，可证菱形BECD是正方形． 【解答】解：（1）如图所示：DE为所求图形， ∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∵MN∥AB， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AD＝CE， 故答案为：AD＝CE； （2）四边形BECD是菱形，理由如下： 由（1）知，四边形ADEC是平行四边形， ∴AD＝CE， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∴CE＝BD， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形． （3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∴AC＝BC， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∵D为AB中点， ∴∠CDB＝90°， ∴菱形BECD是正方形． 24．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，|0﹣1|＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于x的方程2x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“邻近根方程”，求3b2﹣4c2的最大值． 【分析】（1）先利用求根公式得到x1＝，x2＝，再计算出|x1﹣x2|＝1，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根x1，x2，则利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝，再利用|x1﹣x2|＝1得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，所以（﹣）2﹣4×＝1，从而得到b2＝8c+4，所以3b2﹣4c2＝﹣4c2+24c+12，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣6）2﹣4×2×13＝4＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝， ∴|x1﹣x2|＝|﹣|＝1， ∴方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴（x1﹣x2）2＝1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1， 即（﹣）2﹣4×＝1， ∴b2＝8c+4， ∴3b2﹣4c2＝3（8c+4）﹣4c2＝﹣4c2+24c+12＝﹣4（c﹣3）2+48， ∴当c＝3时，3b2﹣4c2有最大值，最大值为48． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请你直接写出点N，M的坐标； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 　平行四边形　，重叠部分的面积是 　　； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平移的性质进行求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明MF∥AE，ME∥AF，由此即可证明四边形MEAF是平行四边形，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线MN的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为； （3）分OE为边和OE为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）∵将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵O（0，0），C（﹣2，3）， ∴M（2，2），N（4，﹣1）； （2）如图所示，设MN与x轴交于E，MD与AB交于F，过点M作MG⊥x轴于G， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，OC∥AB， 由平移的性质可得MN∥OC，MD∥BC， ∴MN∥AB，MD∥OA，即ME∥AF，MF∥AE， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形； 设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线MN的解析式为， 在中，当y＝0，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为， 故答案为：平行四边形，； （3）∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC＝OA＝4，BC∥OA， ∵C（﹣2，3）， ∴B（2，3）， 同理可得直线OB的解析式为， 设， 当OE为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当OE为边时，则OE＝DN，OE∥DN， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$