精品解析：2024届江苏省南京市雨花台中学高考三模数学试题

2024届高三年级第三次模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求出子集个数即可. 【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个. 故选：D. 2. 将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合，先求出将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，共有种放法， 恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法， 所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是， 故选：B. 3. 已知复数 满足，则复数 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】设，运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可. 【详解】设，则， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以复数 在复平面内对应点的轨迹为抛物线. 故选：D. 4. 已知方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，变形为，得到，再由，利用商数关系求解. 【详解】解：因为方程， 所以， 即，则或（舍去）， 所以， 所以， ， 故选：B 5. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数 ＋ 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中， 因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且 ， 所以， 又因为，且， 所以， 所以，解得，所以。 故选：B. 【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路： 1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算； 2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 6. 已知，，，则， ，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以 ； 综上所述：. 故选：C 7. 已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球体的性质先计算球心到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知 为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r， 则，且 平面， 所以，故C到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 8. 已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线的方程，得到，再设，通过求导，判断函数的极小值点，得到的值，再根据 的关系求双曲线的离心率. 【详解】设为双曲线上异于、两点的任意一点，则， 又，，所以： 所以， 设，则（）， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值. 即时，取得最小值. 此时：. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据二项分布的方差计算公式求解；对于B，根据概率公式判断；对于C，先把数据从小到大排列，8个数中的第3个数即为结果；对于D，根据分层方差与总方差的计算公式求解. 【详解】对于A，随机变量，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，9， 因为，所以第30百分位数是7，故C错误； 对于D，依题意，设5名男生为，5名女生为， 这10名学生的平均成绩， 这100名学生数学成绩的方差，故D正确. 故选：ABD. 10. 在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得MN∥平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点的位置容易判断A，由求解可判断B；当分别为中点时，可判断C；易证平面，平面，且，可判断D． 【详解】对于A，显然无法找到点N，使得，故A错； 对于B，，故正确； 对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故正确； 对于D，易证平面，平面，且， 所以有点四点到平面的距离为，故D错． 故选：BC 11. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用的展开式与赋值法可判断A，利用组合数的性质可判断B，利用阶乘的裂项法可判断C，构造求其含的项的系数可判断D. 【详解】对于A，因为， 令 ，得，则，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确. 对于D，， 对于，其含有的项的系数为， 对于，要得到含有的项的系数， 须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个， 它们对应的系数为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式中得到含有的项的系数，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，过点的直线交圆于 ， 两点，且，则直线的方程为____________. 【答案】 或 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时求出；当直线的斜率存在时，设的方程为，利用所以由圆心到直线的距离、、圆的半径构成的直角三角形求出可得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为 ， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为 或 . 故答案为： 或 . 13. 分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“ 次分形”（）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则 的最小整数值是___________.（取，） 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意得到每次分形后所得线段之和为首项为，公比是的等比数列，求出 次分形后线段之和为，列出不等式，结合，求出 . 【详解】由题意得：“n次分形”后线段之和是“（n-1）次分形” 后所得线段之和的，且 一次分形后线段之和为，故每次分形后所得线段之和可看出首项为，公比是的等比数列，故 次分形后线段之和为，故，两边取对数得：，又 ，解得： ，故 的最小整数值为12. 故答案为：12 14. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形的两条对角线，，，则面积的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过正弦定理得到，再结合托勒密定理求出，最后由面积公式及基本不等式即可求出最大值. 【详解】如图，可知 ，由诱导公式可得, 又， 故， 在中，由正弦定理可得， 所以设， 由余弦定理可得， 因为，所以，故， 则由托勒密定理可得， 所以，所以， 又， 当且仅当时取等号. 故面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形 中，角 所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）由正弦定理可得，将转化为关于 的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1） 由正弦定理，，即 由余弦定理，， 又 （2）因为且，由正弦定理得， ， 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 16. 如图1，在直角梯形中， 分别为 的中点，沿 将平面折起，使二面角 的大小为，如图2所示，设分别为 的中点，为线段 上的动点（不包括端点）． （1）求证： ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值是，求． 【答案】（1）证明如下： 分别为 的中点， ． 平面 平面 ， 平面 ， ， 是二面角 的平面角， ． ， 为等边三角形， ． 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可证得平面 ，进而可证得 ，通过证出 ，证得 平面 ，即可证得结果； （2）以为原点， 所在直线分别为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，求出 平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 中点为 ，由（1）知 两两垂直，以为原点， 所在直线分别为轴，轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ， ， ， ， 设平面 的法向量为，则 即， 取 ，则， 设， ， 设与平面 所成的角为，则 ， 解得或 （舍） . 17. 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响． （1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望； （2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值． 【答案】（1） 5 6 7 8 9 10 （分） （2） 【解析】 【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可； （2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案. 【小问1详解】 解：可取5，6，7，8，9，10， ，， ，， ，， 分布列如下： 5 6 7 8 9 10 所以（分）； 【小问2详解】 解：设一天得分不低于3分为事件 ， 则， 则恰有3天每天得分不低于3分的概率， 则 ， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值. 18. 已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线． （1）若 的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程； （2）若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点作直线与 相交于 两点（在轴上方），分别过 作 的切线，两切线交于点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，得到双曲线的标准方程，然后利用直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，即可求解； （2）依题意，，设，联立结合韦达定理，得到切线方程，然后根据两条切线方程联立，结合构造函数求解三角形面积最值即可． 【小问1详解】 因为 的长轴长为8，短轴长为4，所以，， 联立方程，得， 又与有唯一的公共点，所以， 即，的横坐标为， 把代入中，，所以， 过且与垂直的直线为，则， 所以，，又，所以， 即，所以 的轨迹方程为． 【小问2详解】 因为 的长轴长为4，短轴长为2，所以， ，左焦点， 当斜率为0时， 分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点， 当斜率不为0时，设， 由得， 设，则， ， 椭圆在轴上方对应方程为， 则点处切线斜率为， 点处切线方程为，即， 同理可得点 处的切线方程为， 由得， 代入①得， 所以，所以， 而， 所以，即，又， 所以． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 则当 时，． 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线及椭圆的位置关系，利用直线和圆锥曲线联立，根据交点情况（1）中 ，（2）中，（2）中的关键是结合韦达定理，表示出切线方程，再联立切线方程，构造函数求解三角形面积最值. 19. 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为，即；前 项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”． （1）若，求其生成数列的前 项和； （2）设数列的“生成数列”为，求证：； （3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列． 【答案】（1） （2） 由题意可知，， 所以， 因此，即是单调递增数列，且， 由“生成数列”的定义可得 （3） 若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列． 当是一个常数列，则其公差必等于0，， 则，因此是常数列，也即为等差数列； 当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，， 所以要么，要么， 又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减， 记，则当时，有， 于是当时，， 故当时，，…， 因此存在正整数，当时，，…是等差数列． 综上，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的性质判断数列的单调性，从而得出{pn}的通项，由分组求和法及等比数列的前n项和公式进行求解即可； （2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义进行证明即可； （3）根据等差数列的定义分类讨论进行证明即可． 【小问1详解】 因为关于 单调递增， 所以， ， 于是， 的前 项和． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级第三次模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数 满足，则复数 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 4. 已知方程，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数 ＋ 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则 ， ，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球 的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.5 10. 在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得MN∥平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为 11. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，过点的直线交圆 于 ， 两点，且，则直线的方程为____________. 13. 分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“ 次分形”（）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则 的最小整数值是___________.（取，） 14. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形 的两条对角线，，，则 面积的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形 中，角 所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 16. 如图1，在直角梯形 中， 分别为 的中点，沿 将平面折起，使二面角 的大小为，如图2所示，设分别为 的中点，为线段 上的动点（不包括端点）． （1）求证： ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值是，求． 17. 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响． （1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望； （2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值． 18. 已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线． （1）若 的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交 轴， 轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程； （2）若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点作直线与 相交于 两点（在 轴上方），分别过 作 的切线，两切线交于点 ，求面积的最小值． 19. 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为，即；前 项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”． （1）若，求其生成数列的前 项和； （2）设数列的“生成数列”为，求证：； （3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $