精品解析：福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题学校：永定一中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 2. 已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间的坐标运算求解. 【详解】由题可得的中点坐标为， 所以边上的中线的长度， 故选:C. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求导计算即可. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 所以，，. 故选：C. 4. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以, 故选：A 5. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 6. 已知函数 在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定函数的图象，确定函数的单调性，再探讨的正负及零点个数作答. 【详解】观察图象知，当时，单调递减，，选项B、D不满足; 当时，函数先递增，再递减，然后又递增，有一个极大值点和一个极小值点， 则的值先正，再负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C错误. 故选：A. 7. 在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合空间向量的线性运算及共线向量定理判断即得. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，由，得， 因此， 而，由，得， 因此， 则，即，又是直线和的公共点， 于是和共线，即M，N，三点在一条直线上； 当与重合，为的中点时，由四边形是平行四边形， 得M，N，共线，而且不成立， 所以“且”是“M，N，三点共线”的充分不必要条件. 故选：B 8. 已知正方体，设其棱长为1（单位：）．平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为．平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（ ） A. 可能为三角形，四边形或六边形 B. C. 的面积的最大值为 D. 正方体内可以放下直径为的圆 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量知识可知平面可为与垂直的平面，即可判断选项正误；B选项，由A选项分析及线面角计算公式可判断选项正误；C选项，由A选项分析可表示出两种情况下的面积表达式，即可判断选项正误；D选项，问题等价于判断内部最大圆直径最大值是否大于1.2. 【详解】A选项，如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， . 设平面法向量为，因平面与正方体的每条棱所成的角均相等， 则 . 由对称性，不妨取，则法向量可为，又， 则平面可为与垂直的平面. 如图，连接， 因平面ABCD，平面ABCD， 则，又平面， 则平面，又平面，则，同理可得. 又平面，，故平面. 即平面可为与平面平行的平面， 当平面与（不含A）相交时，M为与相似的正三角形； 当平面与（不含）相交时，M为如图所示的六边形； 当平面与相交时（不含），M为与相似的正三角形； 则可能为三角形，六边形，故A错误； B选项，由A选项分析可知，，故B错误. C选项，由A选项分析可知，当平面过或时， 所得正三角形面积最大，由题可得边长为，则相应面积为. 当为六边形时，如下图所示，因，，又， 结合图形可知，又由题可知六边形为中心对称图形， 取其对称中心为O，则四边形四边形四边形， 则六边形面积为相应四边形面积的3倍.取RS，RT中点分别为F，E， 连接EF，OE，OF，因，则， 四边形面积为四边形面积2倍，则六边形面积为四边形面积6倍. 设， 由题结合图形可知， ，则 在中，由余弦定理，. 注意到，则四点共圆， 则外接圆直径等于OR，由正弦定理，可得. 则，. 则六边形面积S ，当且仅当时取等号. 又 ，则的面积的最大值为，故C错误； D选项，先判断M内部的最大圆直径最大值是否超过1.2m. 当M为正三角形时，M内部的最大圆为三角形内切圆， 易知当平面过或时，所得内切圆半径最大， 设此时内切圆半径为，三角形面积为，周长为C， 则内切圆直径. 当M为六边形时，M内部的最大圆半径满足， 由C选项分析，可知，则当时， 取最大值，则此时M内部的最大圆直径的最大值为， 因，则，即正方体内可以放下直径为的圆，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题首先需要通过向量方法，得到满足题意的平面的具体特征，后利用几何知识，结合正余弦定理可得图形的面积最大值及其内部最大圆直径. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 10. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. C. 事件与事件B相互独立 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】解：由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确； ，， ，故B正确； 由 事件与事件B不独立，故C、D错误； 故选：CD 11. 如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系进行运算即可. 【详解】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，. A：，，， ，A正确. B：，B错误. C：，C正确. D：因为，则，所以， ，， 所以的面积，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设表示事件发生的概率，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果. 【详解】因为， ， 则 故答案为：. 13. 若函数，则____________. 【答案】2023！ 【解析】 【分析】设，则，求出可得答案. 【详解】设， 则， ， . 故答案为： 14. 某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的生态穹顶，建筑（不计厚度，长度单位：m），其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求生态穹顶建筑的容积为，且（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当______时该生态穹顶建筑的总建造费用最少.（公式：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合圆柱以及球的体积公式表示出的关系式，确定r取值范围，利用面积确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时的值. 【详解】设该建筑的容积为，由题意知， 又，故， 由于，即，因此， 设建筑的总建造费用为万元，则， 于是， 由于，所以， 当时，，所以在上单调递减， 故当时，建筑的总建造费用取最小值， 故答案为：2 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由题意求出建筑的总建造费用的表达式，进而利用导数求解其最值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 . 16. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为. 所以这2 个产品都是次品的概率为. （2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥. ， ，， 所以. 17. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程 （2）若，求证：当时，； （3）若的极小值为，求a的值. 【答案】（1） （2） 当时，，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为， 所以当时，成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由，求得，得出切点为，进而求得切线方程； （2）当时，求得，得出函数的单调性和最小值，即可得证； （3）求得，当时，显然不成立；再分和两种情况讨论，求得函数的单调性和极小值，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 所以，可得，所以，即切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对于函数，可得， ①若，可得，此时函数无极值点，不符合题意（舍去）； 令，解得或， ②若，则： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，函数取得极小值， 令，解得. ③若，则： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）. 综上可得，实数的值为. 【点睛】方法技巧：解答有关函数的极值问题的方法与策略： 1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根； 2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值； 3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 18. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设，， 则，，，，. 因为，所以， 所以. （2） （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积为0，即可证明垂直； （2）利用空间中点到平面的距离公式求解即可； （3）利用空间向量求二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为E为AB的中点，所以， 从而，，. 设平面的法向量为，则， 即，得， 从而， 所以点E到平面的距离. 【小问3详解】 设这样的点M存在，且，，平面与平面AMC所成的角为， 则，，，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面AMC的一个法向量， 所以， 由，解得. 所以满足题意的点M存在，此时. 19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）米 【解析】 【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为万元，，设， (0舍去) 当时，；当时，，因此当时，取最小值， 答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题学校：永定一中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知正方体，设其棱长为1（单位：）．平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为．平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（ ） A. 可能为三角形，四边形或六边形 B. C. 的面积的最大值为 D. 正方体内可以放下直径为的圆 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. C. 事件与事件B相互独立 D. 11. 如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设表示事件发生的概率，若，则__________. 13. 若函数，则____________. 14. 某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的生态穹顶，建筑（不计厚度，长度单位：m），其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求生态穹顶建筑的容积为，且（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当______时该生态穹顶建筑的总建造费用最少.（公式：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 16. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 17. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程 （2）若，求证：当时，； （3）若的极小值为，求a的值. 18. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $