精品解析：河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

20232024高二下期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（ ） A. 60种 B. 100种 C. 80种 D. 120种 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列判断正确的是( ) A. 展开式共有8项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第7项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 在数列中，最大； B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 11. 已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（ ） A. 有三个不同的零点 B. C. D. 直线是曲线的切线 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________． ①，②是递减数列，③． 13. 若，，且函数在处取得极值，则的最大值为______． 14. 已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． （1）求的值； （2）若展开式中的一次项的系数为，求实数的值． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 在数列中，，，． （1）设，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20232024高二下期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知， 则. 故选：C. 2. 已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 在等差数列{an}中，根据a2＝1，a3+a5＝4，利用法求解. 【详解】∵等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4， ∴， 解得， ∴该数列公差为. 故选：A. 3. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解. 【详解】记，函数的定义域为， ，故函数在上单调递增. 又，所以函数的零点个数为. 故选:B. 4. 在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数是多少. 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 令，得， 即含的系数为240. 故选：C 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 6. 2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（ ） A. 60种 B. 100种 C. 80种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和组合数公式可得. 【详解】第一步，甲从黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨五个景区中任选两个，有种选择； 第二步，乙从梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、肇兴侗寨这五个景区中任选两个，有种选择； 故这两人的旅游景区的选择共有种. 故选：B 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②， 由①得或，则， 由②得，则， 综上，. 故选：B. 8. 已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列判断正确的是( ) A. 展开式共有8项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第7项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可． 【详解】展开式共有项，故A正确． 展开式的各二项式系数的和为，故B正确． 展开式的第7项的二项式系数为，故C错误． 展开式的各项系数的和为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 在数列中，最大； B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】由题得，即可解决. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且， 所以， 所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD 11. 已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（ ） A. 有三个不同的零点 B. C. D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当时，函数极小值，极小值为， 当时，函数极大值，极大值为， 且两个极值点之和为，所以B正确； 又由当时，，且函数连续不间断，所以函数在上有且仅有一个零点，所以A不正确； 由，所以C错误； 当时，可得， 所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________． ①，②是递减数列，③． 【答案】（答案不唯一，只要即可） 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到，进而可得到答案． 【详解】由，得， 又因为，所以， 又是递减数列，所以． 故答案为：（答案不唯一，只要即可）． 13. 若，，且函数在处取得极值，则的最大值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可得，则，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以，即． 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：18 14. 已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由函数有两个不同零点可得，再求导并判断的零点个数，进而判断极值点个数. 【详解】令，则，由题意知，即； ，令，则， 即，则有两个变号零点， 所以函数有2个极值点. 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． （1）求的值； （2）若展开式中的一次项的系数为，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可. （2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值． 【小问1详解】 由题设，，整理得，解得（舍）或； 【小问2详解】 由（1）知：二项式展开式通项为， 当时为含的项，故，解得. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为；单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，结合可得切线方程； （2）求导后，根据导函数正负即可求得单调区间. 【小问1详解】 由题意得：，，又， 在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知：定义域为； 由（1）知：当时，；当时，； 的单调递减区间为；单调递增区间为. 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式； （2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. （2）由（1）知：，则，得，又， ∴时，，而，， ∴数列的前项和，而，， ∴，故. 18. 在数列中，，，． （1）设，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 又 数列是首项为、公比为的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列； （2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即， . 19. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值； （2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值. 【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为， ， 由于在处有极值， 则，即， 解得：，， （2）由（1）可知，其定义域是， ， 令，而，解得， 由，得；由，得， 则在区间上，，，的变化情况表如下： 1 2 0 单调递减 单调递增 可得， ，， 由于，则， 所以， 函数在区间上的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $