6.2 函数的极值 同步练习-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.2　函数的极值 一、必备知识基础练 1.(多选题)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=对称 B.y=f(x)的图象关于点中心对称 C.f(x)在区间有两个极值点 D.f(x)在区间内单调递减 2.若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)和(1,+∞) 3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为(　　) A.a=3,b=-3或a=-4,b=11 B.a=-4,b=2或a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对 4.(多选题)[2023广东深圳宝安第一外国语学校校考期中]已知函数f(x)=2ex-x的极值点为x0,则(　　) A.x0∈(-2,-1) B.x0∈(0,2) C.f(x0)∈(-1,0) D.f(x0)∈ 5.(多选题)[2023吉林松原高二校考期末]已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,则a=(　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　　　　　.  7.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,则函数f(x)的极大值为　　　　,极小值为　　　　.  8.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,求: (1)f(x)的单调区间; (2)f(x)的极大值. B级 关键能力提升练 10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 11.若函数f(x)=x2-4x+aln x有唯一的极值点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2} C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪{2} 12.(多选题)[2023河北石家庄高二校考开学考试]已知函数f(x)=sin x-cos x,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点中心对称 B.f(x)在区间上单调递减 C.f(x)在(0,2π)内有且仅有2个极小值点 D.f(x)的图象关于直线x=对称 13.(多选题)[2023山东威海高二阶段练习]函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.f(-2)>f(-1) B.x=1是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在(-1,1)内有极大值 D.x=-3是f(x)的极大值点 14.(多选题)[2023江西宜春第三中学校考期中]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是(　　) A.f(x)在(-2,-1)内是单调递增函数 B.f(x)在(2,4)内是单调递减函数 C.当x=-1时,f(x)取得极小值 D.当x=1时,f(x)取得极大值 15.若函数f(x)=ex(sin x-a)在区间(0,π)内存在极值,则实数a的取值范围是　　　　　.  16.函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,其中a>0. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极值. 三、学科素养创新练 17.已知函数f(x)=x+a(2-ex)+2(a∈R). (1)若函数f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行,求实数a的值; (2)若函数f(x)的极大值不小于3a,求实数a的取值范围. 参考答案 1.ABC　对A,f=sin=sin=-1,A正确; 对B,f=sin=sin 0=0,B正确; 对C,当x∈时,t=2x+, 由正弦函数y=sin t的性质和图象可知y=f(x)有2个极值点, 由2x+,解得x=,2x+,解得x=,即x=和x=为函数的极值点,C正确; 对D,当x∈时,t=2x+, 由正弦函数的性质知当t∈时,y=sin t单调递增,当t∈时,y=sin t单调递减, 所以y=f(x)在上不单调,D错误. 故选ABC. 2.A　令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±, 令f'(x)>0,得x>或x<-; 令f'(x)<0,得-<x<. 即f(x)在x=-处取极大值,在x=处取极小值. ∵函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,∴f()=2,f(-)=6, 即a-3a+b=2且-a+3a+b=6, 得a=1,b=4, ∴f'(x)=3x2-3. 由f'(x)<0,得-1<x<1. 则f(x)的单调递减区间为(-1,1).故选A. 3.C　f'(x)=3x2-2ax-b, 则f'(1)=3-2a-b=0, ① f(1)=1-a-b+a2=10, ② 由①②可得 经检验,当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,无极值点,当a=-4,b=11时,满足题意,∴a=-4,b=11. 4.AD　对于A选项,由已知可得,f'(x)=2ex-, 令f'(x)=0,则x0=-ln 4, 当x<-ln 4时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-ln 4)内单调递减, 当x>-ln 4时,f'(x)>0,所以f(x)在(-ln 4,+∞)内单调递增, 所以,f(x)在x=-ln 4时,有极小值,且x0=-ln 4∈(-2,-1),故A选项正确; 对于B选项,由A知x0=-ln 4∈(-2,-1),故B选项错误; 对于C选项,因为f(x0)=2x0=(1-x0),-2<x0<-1,所以1<-x0<2,所以1<(1-x0)<,即f(x0)∈,故C选项错误; 对于D选项,由C知f(x0)∈,故D选项正确. 故选AD. 5.AD　因为f(x)=x3-ax2-a2x+3, 故f'(x)=3x2-2ax-a2, 由函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0, 解得a=3或a=-1, 当a=3时,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), 此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0, 则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意; 当a=-1时,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0, 则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意,故a=3或a=-1,故选AD. 6.y=-　令y'=ex+xex=(1+x)ex=0, 得x=-1,∴y=-, ∴在极值点处的切线方程为y=-. 7.π+2　　因为f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,所以f'(x)=1+sinx+,0<x<2π,所以由f'(x)=0,得sinx+=-,且0<x<2π,所以x=π或. f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: x (0,π) π π, ,2π f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 π+2 ↘ 极小值 ↗ 由上表知,f(x)的极大值为π+2,极小值为. 8.-5　∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,且f'(x)=(x2+c)+2x(x-2), ∴f'(2)=0, ∴(c+4)+(2-2)×4=0, ∴c=-4, ∴f'(x)=(x2-4)+2x(x-2). ∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为 f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5. 9.解 (1)f'(x)=ex(4x+4)+4ex-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4ex-2), 令f'(x)=0,解得x=-2或x=ln,显然-2<ln. 当x<-2或x>ln时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),ln,+∞; 当-2<x<ln时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)的单调递减区间为-2,ln. (2)由(1)知,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=-4e-2-4+8=4-4e-2. 10.D　由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0; 当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0; 当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2). 11.C　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-4+, 若f(x)有唯一的极值点, 则令g(x)=2x2-4x+a,g(x)图象的对称轴为x=1, ∴g(0)≤0,解得a≤0. 故选C. 12.AD　f(x)=sin x-cos x=2sin, 当x=时,f(x)=0,故f(x)的图象关于点中心对称,A正确; 当x∈时,x-,则f(x)=2sin上不单调,B错误; 当x∈(0,2π)时,x-,则f(x)只有在x-处取得极小值,故在(0,2π)内有且仅有1个极小值点,C错误; 当x=时,f=2sin=2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD. 13.AD　由y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增; 当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减,因此有f(-2)>f(-1),x=-3是f(x)的极大值点,所以选项A,D正确; 当x∈(-1,1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增,因此函数f(x)在(-1,1)内没有极大值,且x=1不是f(x)的极小值点,所以选项B,C不正确,故选AD. 14.BC　从导函数图象可以看出函数f(x)在(-2,-1),(2,4)内为单调递减函数; f(x)在(-1,2),(4,5)内为单调递增函数,故A错误,B正确,f(x)在x=-1处取得极小值,f(x)在x=2处取得极大值,C正确,D错误.故选BC. 15.(-1,)　∵f(x)=ex(sin x-a), ∴f'(x)=ex(sin x+cos x-a), 若f(x)在(0,π)内存在极值, 令f'(x)=0,则a=sin x+cos x=sin, ∵x∈(0,π), ∴x+, 故sin∈(-1,],当a=时,f'(x)≤0,故a∈(-1,). 16.解(1)当a=1时,f(x)=ln x+x2-3x,定义域为(0,+∞), 则f'(x)=+2x-3=, 由f'(x)>0,解得0<x<或x>1,由f'(x)<0,解得<x<1, 所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);单调递减区间为. (2)函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,定义域为(0,+∞), 则f'(x)=+2ax-(2a+1)=, 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=, ①当a>时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为, 所以函数f(x)在x=取得极大值,为f=-ln 2a-, 在x=1取得极小值,为f(1)=-a-1; ②当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),,单调递减区间为, 所以函数f(x)在x=1取得极大值,为f(1)=-a-1, 在x=取得极小值,为f=-ln 2a-; ③当a=时,f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无极值. 综上,当a>时,f(x)的极大值为-ln 2a-,极小值为-a-1; 当0<a<时,f(x)的极大值为-a-1,极小值为-ln 2a-; 当a=时,f(x)无极值. 17.解(1)f(x)=x+a(2-ex)+2,f'(x)=1-aex, 因为f(x)在x=0处的切线与直线x+y-1=0平行, 所以f(x)在x=0处的切线斜率为f'(0)=1-a=-1, 解得a=2,所以实数a的值为2. (2)f'(x)=1-aex, 当a≤0时,f'(x)=1-aex>0,所以f(x)在R上单调递增,无极大值; 当a>0时,令f'(x)=1-aex=0, 解得x=-ln a, 当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)=1-aex>0,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增, 当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)=1-aex<0,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递减, 所以f(x)在x=-ln a处取得极大值f(-ln a)=-ln a+a(2-e-ln a)+2=-ln a+2a+1≥3a, 即-ln a-a+1≥0,设g(a)=-ln a-a+1(a>0), 则g'(a)=--1=-<0恒成立, 则g(a)在(0,+∞)内单调递减,且g(1)=0, 要使g(a)≥0,则a∈(0,1], 所以a的取值范围为(0,1]. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$