2.7 导数的应用同步练习-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§7　导数的应用 一、必备知识基础练 1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+4x+,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A.3万件 B.1万件 C.2万件 D.7万件 2.如图,某长方体石膏的底面周长为8分米,高是长的两倍(底面矩形的长大于宽),则该长方体石膏体积的最大值为(　　) A.16立方分米 B.18立方分米 C. 立方分米 D. 立方分米 3.将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为(　　) A. B. C. D.1 4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是R(x)=则当总利润最大时,每月生产产品的件数是(　　) A.150 B.200 C.250 D.300 5.已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为　　　　.  6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　　　　　　　.  7.[2023安徽宿州泰和中学校联考期中]某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件,生产过程中总成本w(x)(单位:万元)是关于x(单位:百件)的一次函数,且w(1)=57,w(10)=120.预计生产的产品能全部售完,且当年产量为x百件时,每百件产品的销售收入G(x)(单位:万元)满足G(x)=-+4. (1)写出该企业今年生产这种产品的利润F(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百件)的函数关系式; (2)当年产量为多少百件时,该企业在这种产品的生产中获利最大?最大利润是多少? (参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 5≈1.61,ln 7≈1.95) 二、关键能力提升练 8.在用计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度f(t)与时间t的关系是f(t)=t+cos πt0<t<,则(　　) A.f(t)有最小值 B.f(t)有最大值 C.f(t)有最小值 D.f(t)有最大值 9.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(　　) A.3π B.3π C.3π D.3π 10.现有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为(　　) A.25海里/时 B.35海里/时 C.20海里/时 D.30海里/时 11.某企业生产甲、乙两种产品,根据以往经验和市场调查,甲产品的利润与投入资金成正比,乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,已知甲、乙产品分别投入资金4万元时,所获得利润(单位:万元)情况如下: 投入资金 甲产品利润 乙产品利润 4 1 2.5 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品,那么可获得的最大利润(单位:万元)是(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)声音是由物体振动产生的声波,可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+sin 2x,则(　　) A.f(x)在0,上单调递增 B.f(x)的最大值为 C.f(x)在[0,2π]上有3个零点 D.f(x)在[0,2π]上有3个极值点 13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以　　　　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.  14.已知函数f(x)=-ln x,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A,B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为　 .  15.[2023四川成都新都一中校联考期中]一艘渔船在进行渔业作业的过程中,产生的主要费用有燃油费用和人工费用,已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比,已知当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,人工费用是4 050元/小时,记渔船的航行速度为v(单位:海里/小时),满足0<v≤30,记渔船航行一个小时的主要费用为q元(主要费用=燃油费+人工费),渔船每航行1海里产生的主要费用为p元. (1)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出渔船航行1小时的主要费用q元; (2)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出航行1海里产生的主要费用p元; (3)求航行1海里产生的主要费用p(单位:元)的最小值,及此时渔船的航行速度v(单位:海里/小时)的大小. 三、学科素养创新练 16.[2023山东泰安高二统考期中]某工厂计划投入一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:f(x)=-b(a,b为常数,a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:g(x)=.已知当投资甲产品为1万元,10万元时,获得的利润分别为5万元,16.515万元. (1)求a,b的值; (2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元? (参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609) 17.南半球某地区冰川的体积每年随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年的数据,冰川的体积(单位:亿立方米)关于t的近似函数的关系为V(t)= (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月是衰退期? (2)求一年内该地区冰川的最大体积. 参考答案 1.C　函数的定义域为(0,+∞),y'=-x2+4=-(x-2)(x+2), 由y'=0得x=2或x=-2(舍), 当x>2时,y'<0, 当0<x<2时,y'>0, 即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值, 即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件. 2.C　设底面矩形的长为x分米,则宽为(4-x)分米,高为2x分米, 该长方体石膏体积V=f(x)=x(4-x)·2x=8x2-2x3,x∈(2,4), ∴f'(x)=16x-6x2=2x(8-3x), 令f'(x)=0,解得x=,x=0(舍去), 当2<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当<x<4时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故Vmax=f. 故选C. 3.B　∵矩形ABCD的周长为4,设BC=x(0<x<2),则AB=2-x, ∴将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为V(x)=πx2(2-x)=π(2x2-x3)(0<x<2), 则V'(x)=π(4x-3x2),令V'(x)=0,解得x=, 当0<x<时,V'(x)>0,则V(x)单调递增, 当<x<2时,V'(x)<0,则V(x)单调递减, 所以当x=,即BC=,AB=时,V(x)取得最大值V=. 故选B. 4.D　由题意得,总利润 P(x)= P'(x)=令P'(x)=0,得x=300,易知x=300是P(x)的最大值点,即当每月生产300件产品时,总利润最大.故选D. 5.5或43　设第一个数为x,则第二个数为(48-x),记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2 304(0<x<48),所以y'=3x2+2x-96=(3x-16)(x+6). 由y'=0,得x=或x=-6(舍去), 易知x=是函数在区间(0,48)内唯一的极小值点,也是最小值点. 但因为x是正整数,所以x=5. 所以所求的两个正整数分别为5与43. 6.40　由题设知y'=x2-39x-40(x>0), 令y'>0,解得x>40或x<-1, 故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]上单调递减.∴当x=40时,y取得最小值. 所以为使耗电量最小,则其速度应定为40. 7.解(1)设w(x)=kx+b, 由可得解得 所以w(x)=7x+50, 依题意得,F(x)=xG(x)-50-7x =x-50-7x =-+20ln x-3x+34(x>0). (2)由(1)得,F(x)=-+20ln x-3x+34,则F'(x)=-3==-, 令F'(x)>0,解得0<x<7,F'(x)<0,解得x>7, 所以F(x)在(0,7)内单调递增,在(7,+∞)内单调递减, 所以当x=7时,有F(x)max=F(7)=20ln 7+12≈20×1.95+12=51. 答:当产量为7百件时,该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元. 8.B　∵f(t)=t+cos πt0<t<, ∴f'(t)=1-2sin πt, 由1-2sin πt=0,得sin πt=, ∵0<t<,∴t=. ∴当t∈0,时,f'(t)>0,f(t)单调递增; 当t∈时,f'(t)<0,f(t)单调递减. ∴f(t)有最大值f. 9.A　设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V, 则4r+2h=l,∴h=. ∴V=πr2h=lr2-2πr30<r<, 则V'=πrl-6πr2. 令V'=0,得r=0或r=,而r>0, ∴r=是其唯一的极大值点,也是最大值点. ∴当r=时,V取得最大值,最大值为3π. 10.B　设轮船的行驶速度为x海里/时,运输成本为y元. 依题意得y=×(960+0.6x2)=+300x,x∈(0,35], 则y'=300-,x∈(0,35]. 当0<x≤35时,y'<0, 所以函数y=+300x在(0,35]上单调递减, 故当x=35时,函数y=+300x取得最小值. 故为了使全程运输成本最小, 轮船应以35海里/时的速度行驶. 11.B　∵甲产品的利润与投入资金成正比, ∴设y=k1t,当投入4万元时,利润为1万元, 即4k1=1,得k1=,即y=t. ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比, ∴设y=k2,当投入4万元时,利润为2.5万元, 即k2=,得k2=,即y=. 设乙产品投入资金为x, 则甲产品投入资金为10-x,0≤x≤10, 则生产甲、乙两种产品所得利润之和为 y=(10-x)+,则y'=-, 由y'>0,得5-2>0,即0≤x<, 由y'<0,得5-2<0,即<x≤10, 即当x=时,函数取得极大值同时也是最大值,此时 y=×10-+. 12.BC　当x∈[0,2π]时,f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1, 由f'(x)>0,得<cos x≤1或cos x<-1(舍), ∴0≤x<<x≤2π; 由f'(x)<0,得-1<cos x<, ∴<x<, ∴函数f(x)在0,,,2π上单调递增,在内单调递减, ∴f(x)在[0,2π]上有2个极值点,故AD错误. ∵x=为函数f(x)的极大值点,x=为函数f(x)的极小值点, 且f(0)=0,f=,f=-,f(2π)=0, ∴f(x)max=f=,故B正确. 由f(x)=sin x+sin 2x=0,得sin x+sin xcos x=0, ∴sin x=0或cos x=-1,当x∈[0,2π]时,x=0,x=π,x=2π,则f(x)在[0,2π]上有3个零点,故C正确. 13.80　当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为f(x)升, 依题意得f(x)=x3-x+8·x2+(0<x≤120). 则f'(x)=(0<x≤120). 令f'(x)=0, 得x=80, 当x∈(0,80)时,f'(x)<0,该函数单调递减; 当x∈(80,120]时,f'(x)>0,该函数单调递增, 所以当x=80时,f(x)取得最小值. 14.　设切点为(t,f(t)). 由已知f'(x)=-,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y+ln t=-(x-t). 令y=0,得点A的横坐标为xA=t(1-ln t), 令x=0,得点B的纵坐标为yB=1-ln t, 当t∈(0,e)时,xA>0,yB>0, 此时△AOB的面积S=t(1-ln t)2,S'=(ln t-1)(ln t+1), 解S'>0,得0<t<; 解S'<0,得<t<e. 所以0,是函数S=t(1-ln t)2的单调递增区间;,e是该函数的单调递减区间. 所以当t=时,△AOB的面积最大,最大值为1-ln2=. 15.解(1)设渔船每小时的燃油费用为y元,由题意可设y=kv3, 又当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,得600=1 000k,k=0.6,航行1小时的主要费用为q=0.6v3+4 050(0<v≤30). (2)p=(0<v≤30). (3)p=(0<v≤30),则p'=. 由p'>0,解得15<v<30,由p'<0,解得0<v<15, 可得函数p=在(0,15)内单调递减,在(15,30]上单调递增, 故当v=15时,pmin=405, 即当航行速度为15海里/小时时,航行1海里产生的主要费用p有最小值405元. 16.解(1)由题意知 整理得 解得 (2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40], 则该公司获得的利润φ(x)=x+(50-x)·=5ln x+5+2,x∈[10,40], 则φ'(x)=. 令φ'(x)=0,解得x=25或x=-50(舍去), 当10≤x<25时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增; 当25<x≤40时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减, ∴φ(x)max=φ(25)=10ln 5+15≈10×1.609+15=31.09, ∴当甲、乙两种产品各投资25万元时,公司取得最大利润,最大利润为31.09万元. 17.解 (1)由题意可得V(t)<100. ①当0<t≤10时,由V(t)=-t3+11t2-24t+100<100,可得t(t-3)(t-8)>0,解得0<t<3或8<t≤10. ②当10<t≤12时,由V(t)=4(t-10)(3t-41)+100<100,可得10<t<,则10<t≤12. 综上所述,衰退期为1月,2月,3月,9月,10月,11月,12月. (2)①当0<t≤10时,V(t)=-t3+11t2-24t+100,V'(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6). 当t变化时,V(t)与V'(t)在区间(0,10]上的变化情况如表所示, t 0, ,6 6 (6,10] V'(t) — 0 + 0 — V(t) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以函数在0,,(6,10]上单调递减,在,6内单调递增,所以V(t)极大值=V(6)=136,因为V(0)=100,此时V(t)max=V(6)=136. ②当10<t≤12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+100,V'(t)=24t-284,故函数V(t)在10,内单调递减,在,12上单调递增,且V(12)<100. 综上所述,一年内该地区冰川的最大体积为136亿立方米. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$