6.1 函数的单调性同步练习-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.1　函数的单调性 一、必备知识基础练 1.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是(　　) A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增 B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减 C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增 D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增 2.[2023山东临沂高二统考期中]若函数f(x)=x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(0,1),(3,+∞) B.(0,2),(3,+∞) C.(0,3) D.(1,3) 3.[2023山西校联考模拟预测]设a=,b=,c=,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,1] C.(-∞,1] D.(0,1) 5.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f'(x)<0,则下列各项正确的是(　　) A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定 6.[2023吉林长春东北师大附中校考期中]函数f(x)=的图象大致为(　　) 7.已知定义在(-3,3)内的函数f(x)的导函数f'(x)>1,且f(2m)<f(m+1),则实数m的取值范围为　　　　　.  8.函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　.  9.已知函数f(x)满足f(x)=x3+f'x2-x+c(c为常数). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上是单调函数,求实数c的取值范围. 二、关键能力提升练 10.[2023四川成都新都一中校联考期中]若函数f(x)=x3-3kx+1的单调递减区间为(-1,1),则实数k的值为(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 11.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞) C.(0,3] D.(0,3) 12.[2023四川乐山峨眉第二中学校考期中]已知函数f(x)=x3+2x-2sin x,若f(a)+f(1-2a)>0,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C. D. 13.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 14.[2023陕西西安长安一中校考期末]已知函数f(x)的定义域为,其导函数是f'(x).有f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则关于x的不等式f(x)<2fcos x的解集为(　　) A. B. C. D. 15.已知函数f(x)=2ax-,若f(x)在(0,1]上单调递增,则a的取值范围为　.  16.函数f(x)的定义域是(0,π),其导函数是f'(x),若f'(x)sin x+f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)sin x>f的解集为　　　　　.  17.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围. 三、学科素养创新练 18.已知函数f(x)=(ax2-x-1)ex(a∈R,且a≠0). (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调区间. 参考答案 1.C　由图知当x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.故只有C选项正确,其他选项均错误. 2.C　f(x)=x2-2x-3ln x,函数定义域为(0,+∞),f'(x)=x-2-,令f'(x)<0,解得0<x<3,则函数f(x)的单调递减区间为(0,3).故选C. 3.D　易知a=,b=,c=, 令f(x)=(x>0), 则f'(x)=,f'(x)<0,解得x>e, 所以f(x)在(e,+∞)内单调递减, 又因为e<3<π, 所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b. 故选D. 4.A　f'(x)=3x2-2ax-1,∵f(x)在(0,1)内单调递减, ∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)上恒成立, ∴f'(0)≤0,f'(1)≤0,∴a≥1. 5.C　∵(x-1)f'(x)<0, ∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0, 则f(x)在(1,+∞)内单调递减,在(-∞,1)内单调递增, ∴f(0)<f(1),f(2)<f(1),则f(0)+f(2)<2f(1). 6.C　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,故A,B错误; 当x<0时,f(x)=-,所以f'(x)=->0, 所以函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,故D错误. 故选C. 7.　因为f'(x)>1>0, 所以函数f(x)在(-3,3)内单调递增, 所以解得-<m<1. 故m的取值范围为. 8.(0,+∞)　∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不相等实根,∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞). 9.解 (1)由f(x)=x3+f'x2-x+c, 得f'(x)=3x2+2f'x-1. 取x=,得f'=3×2+2f'×-1, 解得f'=-1. 因为f(x)=x3-x2-x+c, 从而f'(x)=3x2-2x-1=3x+(x-1), 列表得: x -∞,- - -,1 1 (1, +∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此f(x)的单调递增区间是-∞,-和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是-,1. (2)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex, 所以g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)·ex=(-x2-3x+c-1)·ex, 当函数在区间[-3,2]上单调递增时, 等价于h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立,只要h(2)≥0,解得c≥11. 当函数在区间[-3,2]上单调递减时, 等价于h(x)=-x2-3x+c-1≤0在x∈[-3,2]上恒成立,即Δ=9+4(c-1)≤0,解得c≤-. 所以c的取值范围是-∞,-∪[11,+∞). 10.A　由f'(x)=3x2-3k,已知函数f(x)的单调递减区间是(-1,1), 故-1,1是3x2-3k=0的两根,-1×1=-k,解得k=1,故选A. 11.D　由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0), ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间, ∴f'(x)有两个不同的零点, ∴解得0<a<3. 因此,实数a的取值范围是(0,3). 故选D. 12.B　f(x)的定义域为R,f(-x)=-x3-2x+2sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数, 又因为f'(x)=3x2+2-2cos x≥0恒成立(当且仅当x=0时等号成立), 所以f(x)在R上单调递增. 由f(a)+f(1-2a)>0得f(a)>f(2a-1), 所以a>2a-1,解得a<1,故选B. 13.D　令F(x)=(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F'(x)=, ∵当x<0时,F'(x)>0, ∴F(x)在(-∞,0)内为增函数. 又F(3)==0,∴F(-3)=0. ∴当x<-3时,F(x)<0; 当-3<x<0时,F(x)>0. 又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0; 当x>3时,F(x)>0. 而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式, ∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 14.A　构造函数g(x)=,其中x∈,则g'(x)=<0, 所以函数g(x)在内单调递减, 因为x∈,则cos x>0,由f(x)<2fcos x可得, 即g(x)<g,所以解得<x<, 因此,不等式f(x)<2fcos x的解集为.故选A. 15.　f(x)=2ax-,则f'(x)=2a+. ∵f(x)在(0,1]上单调递增, ∴f'(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立,即a≥, 设g(x)=-,g(x)在(0,1]上单调递增, ∴g(x)max=g(1)=-. ∴a≥-. 当a=-时,f'(x)=-1+对x∈(0,1]有f'(x)≥0,当且仅当x=1时,f'(x)=0. ∴当a=-时,f(x)在(0,1]上单调递增. ∴a的取值范围是. 16.0,　令F(x)=f(x)sin x(0<x<π), 则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x<0(0<x<π), 所以F(x)=f(x)sin x在(0,π)内单调递减,且F=fsin=f, 所以不等式f(x)sin x>f等价于F(x)>F, 所以0<x<,即不等式的解集为0,. 17.解 (1)当a=-时, f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1), f'(x)=-x+=-(x>-1). 当f'(x)>0时,解得-1<x<1; 当f'(x)<0时,解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数, 所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立, 即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=-,则g'(x)=. 因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0, 所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增, 故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-,故a≤-. 即实数a的取值范围为-∞,-. 18.解(1)∵f(x)=(ax2-x-1)ex, ∴f'(x)=(2ax-1)ex+(ax2-x-1)ex=[ax2+(2a-1)x-2]ex,∴f'(0)=-2. 又f(0)=-1,∴y+1=-2x. ∴所求切线方程为2x+y+1=0. (2)由题意知,函数f(x)的定义域为R, 由(1)知f'(x)=[ax2+(2a-1)x-2]ex, ∴f'(x)=(ax-1)(x+2)ex,易知ex>0, ①当a>0时,令f'(x)>0,解得x<-2或x>; 令f'(x)<0,解得-2<x<. ②当-<a<0时,<-2,令f'(x)>0,解得<x<-2;令f'(x)<0,解得x<或x>-2. ③当a=-时,f'(x)≤0. ④当a<-时,>-2,令f'(x)>0,解得-2<x<;令f'(x)<0,解得x>或x<-2. 综上,当a<-时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(-∞,-2); 当a=-时,函数f(x)在R上单调递减; 当-<a<0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(-2,+∞),; 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,(-∞,-2),单调递减区间为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$