2.3 导数的计算同步练习 -2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§3　导数的计算 一、必备知识基础练 1.设f(x)是可导函数,且=2,则f'(x0)=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.(多选题)[2023广东佛山荣山中学校考期中]以下函数求导正确的有(　　) A.(x)'=1 B.(sin 2)'=cos 2 C.'=ln x D.()'= 3.[2023四川绵阳南山中学校考期中]“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是:在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值,我们可以先构造函数y=sin x,由于0.05与0比较接近,所以求出在x=0处的切线方程为y=x,再把x=0.05代入切线方程,故有sin 0.05≈0.05,类比上述方式,则≈(　　) A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025 4.[2023江西铅山第一中学校联考三模]函数f(x)的定义域为D,导函数为f'(x),若对任意x∈D,f'(x)<f(x)成立,则称f(x)为“导减函数”.在下列函数中,是“导减函数”的为(　　) A.y=x2 B.y=cos x C.y=logπx D.y=2x 5.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.若y=cos x,则y'=sin x B.若y=ex,则y'=-ex C.若y=,则y'=- D.若y=,则y'= 6.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为　.  7.已知f(x)=a2(a为常数),g(x)=ln x,若2x[f'(x)+1]-g'(x)=1,则x=　　　　　.  8.设直线y=x+b是曲线y1=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为　　　　.  9.利用导数的定义求函数y=f(x)=x-的导数. 10.用求导数的公式求下列函数的导数. (1)y=x8;(2)y=4x;(3)y=log3x; (4)y=sinx+;(5)y=e2. 二、关键能力提升练 11.[2023福建厦门一中校考阶段练习]已知函数f(x)=cos x,则=(　　) A.-sin x B. C.-sin 2 D.cos 2 12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于(　　) A.4 B.-4 C.28 D.-28 13.[2023湖北鄂州高中校联考期中]已知直线l是曲线y=ex的切线,切点横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　) A. B.1 C. D. 14.[2023辽宁锦州高二校考期中]曲线y=在点x=4处的切线方程为(　　) A.x-2y=0 B.x-4y+4=0 C.2x-y-6=0 D.x-4y+12=0 15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为(　　) A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于的值,以下说法正确的是　　　　　.(填序号)  ①与x0,h都有关; ②仅与x0有关而与h无关; ③仅与h有关而与x0无关; ④与x0,h均无关. 17.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=　　　　　.  18.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　.  19.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则当点P的坐标为　　 　时,PQ最小,此时最小值为　 　　.  20.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值. 三、学科素养创新练 21.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值. 参考答案 1.D　=2×=2,所以f'(x0)==1.故选D. 2.AD　(x)'=x1-1=1,A正确; (sin 2)'=0,B错误; '=(x-1)'=-x-2=-,C错误; ()'=()'=,D正确.故选AD. 3.A　设f(x)=ex,可得f'(x)=ex,f(0)=1,f'(0)=1, 由于与0比较接近,所以求出曲线y=ex在x=0处的切线为y=g(x)=x+1, 在切点附近用切线代替曲线进行近似计算,=f≈g=1+=1.001.故选A. 4.D　若函数的定义域为D,若对任意x∈D, y=x2,y'=2x,当x=1时,y'=2>y=1,则y=x2不符合“导减函数”的定义; y=cos x,y'=-sin x,当x=π时,y'=0>y=-1,则y=cos x不符合“导减函数”的定义; y=logπx,y'=,当x=时,y'=>0>y=-1,则y=logπx不符合“导减函数”的定义; y=2x,y'=2xln 2<2x,则y=2x符合“导减函数”的定义. 故选D. 5.ABD　∵(cos x)'=-sin x,∴A不正确; ∵(ex)'=ex,∴B不正确; ∵'=-,∴C正确; ∵()'=,∴D不正确. 故选ABD. 6.xx=2kπ+,k∈Z　因为f(x)=cos x,g(x)=x, 所以关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0为-sin x+1≤0,得sin x≥1, 又因为-1≤sin x≤1,所以sin x=1, 解得x∈xx=2kπ+,k∈Z. 7.1　∵f'(x)=0,g'(x)=,x>0, ∴2x[f'(x)+1]-g'(x)=2x-=1, 解得x=1或x=-(舍去). 8.ln 2-1　因为y1'=(ln x)'=,设切点为(x0,y0), 由题意,得, 所以x0=2,y0=ln 2, 代入直线方程y=x+b,得b=ln 2-1. 9.解 由导数定义,得Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)--x-, ∴=1+,当Δx趋于0时,得到导数f'(x)=1+. 10.解 (1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7. (2)y'=(4x)'=4xln 4. (3)y'=(log3x)'=. (4)y'=sinx+'=(cos x)'=-sin x. (5)y'=(e2)'=0. 11.C　=f'(2),f'(x)=-sin x, 则=-sin 2.故选C. 12.C　∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8, ① 又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k, ② 由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28. 13.C　当x=-1时,y=e-1=,而y'=ex,k=y'|x=-1=e-1=, 所以切线l:y-(x+1), 即x-ey+2=0, 当y=0时,x=-2,即A(-2,0); 当x=0时,y=,即B0,, 所以S△OAB=×2×,故选C. 14.B　y=,y'=,y'|x=4=,曲线y=在点(4,2)处的切线方程为y-2=(x-4),即x-4y+4=0. 故选B. 15.BC　由题得,y'=3x2, 因为k=3,所以3x2=3, 所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 16.② 17.sin x　由已知得,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4, 则f2 020(x)=f4(x)=sin x. 18.21　∵y'=2x, ∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak). 又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列, ∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 19.(1,0)　　如图,当直线l与曲线y=ln x相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)'=,令=1,得x=1,故此时点P的坐标为(1,0),所以PQ的最小值为. 20.解 f'(x0)=2x0,g'(x0)=3. 因为f'(x0)+2=g'(x0), 所以2x0+2=3, 即3-2x0-2=0, 解得x0=或x0=. 21.解 由题得y'=(n+1)xn,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n(n∈N+),可求得切线与x轴的交点为,0,则an=lg=lg n-lg(n+1),n∈N+,所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$