精品解析：河南省焦作市普通高中2024届高三上学期期中考试数学试题

焦作市普通高中2023—2024学年（上）高三年级期中考试 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 4. 在中，，点E是AD的中点，记，，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设表示不超过的最大整数（例如：，），则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，…，的平均数为 B. 设，，则样本数据，，…，的标准差为 C. 样本数据，，…，的平均数为 D. 10. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当垂直于x轴时，直线的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 12. 已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ） A. 当时， B. V存在最大值 C. 当r在区间内变化时，V逐渐减小 D. 当r在区间内变化时，V先增大后减小 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________. 14. 已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________． 15. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 16. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数. （1）求数列的通项公式； （2）求. 18. 在中，角所对的边分别为，满足，. （1）证明：外接圆的半径为； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 20. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 21. 我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. （1）求双曲线的准线； （2）设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 22. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市普通高中2023—2024学年（上）高三年级期中考试 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M，N，根据集合的运算判断为两集合交集即可得解. 【详解】，， , 由Venn图知，A符合要求. 故选：A 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求出，再根据共轭复数的定义得到. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 4. 在中，，点E是AD的中点，记，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 5. 在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，，，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数基本关系计算可得. 【详解】依题意，，， 由余弦定理，即， 解得，显然为锐角，所以， 所以. 故选：A 6. 已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，利用抛物线定义可得，则，继而可求出，即可得到的值，从而得到抛物线的标准方程，由可得到直线的斜率，得到直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的定义，并利用点到直线距离公式，即可求解的面积. 【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为， 设准线与轴相交于点， 如图， 则，， 在中，，所以，所以， 在中，， 所以，所以. 又轴，，所以. 又抛物线，则, 所以，所以抛物线，点. 因为，所以直线的斜率， 则直线， 与抛物线方程联立,消并化简得, 设点，则， 则. 又直线可化为， 则点到直线的距离, 所以. 故选:B. 7. 、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两个圆锥的轴截面如下图所示，设，由题意表示出，，再由圆锥的体积公式求出，令，对求导，即可求出的最小值即的最小值. 【详解】两个圆锥的轴截面如下图所示，分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为， ，直线分别为两圆锥与的交线， 因为与之间的距离为2，所以设， 因为与的夹角为，所以，由圆锥的性质知，， 所以为等边三角形，所以, 所以，同理， 所以 ，， 令， 解得：， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以. 所以的最小值为. 故选：D. 8. 设表示不超过的最大整数（例如：，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，即，共有个.又，故，令，利用错位相减法即可求解. 【详解】当时，， 即，共有个. 因为， 故 ， 设，① 则，② ①-②,得 ， 所以. 所以. 故选:B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，…，的平均数为 B. 设，，则样本数据，，…，的标准差为 C. 样本数据，，…，的平均数为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用平均数计算公式进行元素；B选项，利用求方差公式求解公差，进而求出标准差；C选项，举出反例；D选项，利用求解方差公式推导出答案. 【详解】A选项，由题意得：，则，A正确； B选项，数据，，…，的平均数为， 所以 ，则标准差为，B错误； C选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为，显然样本数据，，…，的平均数不一定是，故C错误； D选项， ，D正确. 故选：AD 10. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误. 【详解】因为，，， ，所以，当且仅当等号成立，故A正确， 当,,则,故B错误； 因为，所以，故C正确; 当时,则，故D错误； 故选：AC. 11. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当垂直于x轴时，直线的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用椭圆的切点弦方程可得过椭圆左焦点，再判定以为直径的圆与直线的位置关系即可；对于B项，当垂直于x轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C项，特殊值法判定即可；对于D项，取中点，易知，建立方程计算即可. 【详解】对于A项，设切线方程为 联立得：， ∵直线与椭圆相切，故则， ∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为， 而P点在上，故， 又满足该方程组，故， 显然过定点，即椭圆左焦点. 以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确； 对于B项，由A得，轴时，，易得， ，故B正确； 对于C项，由B知轴时，，此时，故C错误； 对于D项，取中点，若，则， 即为等腰三角形，， 化简得，由A知：， 整理得：，显然存在P满足题意，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论： （1）过椭圆上一点的切线方程， （2）椭圆外一点引两条切线，切点连线方程为； （3）椭圆的准线方程：，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点. 12. 已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ） A. 当时， B. V存在最大值 C. 当r在区间内变化时，V逐渐减小 D. 当r在区间内变化时，V先增大后减小 【答案】BD 【解析】 【分析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D. 【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，点为上底面圆周上任意一点， 圆台的高为，球的半径为， 如图所示， 则 ， 对选项不正确； ， 设，则， 令可得，解得， 知，且当； 2)，在单调递增，在单调递减， 由， ，使得，当，即 当，即，所以在单调递增，在单调递减，则B，D正确，C错误， 故选：BD. 【点睛】本题考察圆台的体积与外接球半径的函数关系.关键在于建立函数模型，然后利用导数研究其单调性与及最值，用到了隐零点及二次求导，属于较难题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________. 【答案】（中的任意一个数均可） 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可求解. 【详解】​​​​​​​因为，且, 则,且， 故若，则. 故答案为:（中的任意一个数均可）. 14. 已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程. 【详解】圆标准方程为， 圆的圆心为，半径为2， 由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆， 故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：. 故答案为：. 15. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可. 【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下： 假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变， 下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关次； 这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动次可以满足要求. 如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以） 按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关 按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关 按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开 按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关 按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关 则需按开关的最少次数为. 故答案为：5. 16. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可证得，由此可分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，则可化简得到最小值. 【详解】设，，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 即； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义运算的最值求解问题，解题关键是能够通过分类讨论的方式，去除所求距离形式中的绝对值符号，从而化简所求式子得到可求最值的形式. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数. （1）求数列的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据题意，先求出前项中每个数值出现的次数，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意知：，即，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以在前项中出现1次， 5在前项中出现2次，4在前项中出现次，3在前项中出现次，2在前项中出现次，1在前项中出现次， 所以. 18. 在中，角所对的边分别为，满足，. （1）证明：外接圆的半径为； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由，得， 由正弦定理得: ， 化简得. 因为，所以. 又，所以， 所以外接圆的半径为. （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可； （2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 要使恒成立， 即恒成立， 即求的最大值. 由余弦定理得， 所以 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 19. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】（1）56 （2） X 0 1 2 3 P （3）95.45 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问3详解】因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 20. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】20. 证明如下： 如图，过射线上一点作交于点， 作交于点，连接， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， ∴， 两边同除以，得． 21. ①； ②当点在的延长线上，且使时，平面. 【解析】 【分析】（1）过射线上一点作交于点，作交于点，连接，，可得是二面角的平面角．在中和中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论； （2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结，延长至，使，连结，由线面平行的判定定理证明平面． 【20题详解】 略 【21题详解】 ①由平面平面，知， ∴由（1）得， ∵，， ∴． ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴． 在四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面． ∴当点在的延长线上，且使时，平面． 21. 我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. （1）求双曲线的准线； （2）设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将曲线变型，得到双曲线的方程，然后得到其准线方程； （2）根据椭圆的定义先用离心率表示出椭圆方程，然后和直线联立，利用韦达定理得出圆心坐标，半径，然后根据点和圆的位置关系列出不等式. 【小问1详解】 由，得. 所以双曲线的中心，右焦点，， 所以准线为或. 【小问2详解】 设是椭圆上任意一点，上椭圆的长轴长，椭圆的焦距， 设， 则.① 又直线的方程为.② 由①②联立得， 由题意知是这个方程的两个根， 所以 所以， 所以圆心坐标为. 从而有 又在椭圆中，根据椭圆的定义，当为椭圆左顶点时，设， ，得.又，所以， 故椭圆的中心坐标为， 又点在以为直径的圆内， 所以， 整理得， 即. 因为椭圆的离心率，所以 即，故. 22. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程； （2）参变分离，构造，求导，得到其最小值，求出a的取值范围； （3）注意到，多次求导得到，从而分，，与，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案 【小问1详解】 ， ， 所以曲线在点处的切线方程， 即． 【小问2详解】 因为在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以在上单调递增， 故， 所以． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，， 则，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递增，且， 所以，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以． 所以适合， 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 此时，舍去． 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递增，，舍去； 当时，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，，舍去． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $