安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

安庆一中2023-2024学年度第二学期高一年级期末考试 数学学科试卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的. 1. 若复数:=(2-a)+(2a-1)i(aeR)为纯虚数,则复数2一a在复平面上的对应点的位置在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知两个单位向量ā与的夹角为",a1(k+),则k-( ) A. D. # 2 3. 设a.b为两条直线,a.B为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是( ) A. 若a/a.bca.则a/b B. 若a//a.b//B.a/B,则a/b C. 若aca.bcB.a/b.则a/g D. 若aIa.b1B.a1j.则aIb 4. 在平行四边形ABCD中,BE-BC.DF-5DC.M是线段EF的中点,则AM-( ) C.10)0 .1n 5. 已知圆台的上,下底面圆的半径之比为,侧面积为9n,在圆台的内部有一球O,该球与圆台的上。 下底面及母线均相切,则球O的表面积为( _二 B. 5t A. 3π C. 8n D. 9rt 6. 已知AABC中,角A:B,C所对的边分别是a.b.c.若bcosC+ccosB=b,且a=ccosB,则AABC 是() A. 锐角三角形 C. 等边三角形 B. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 “24则P(B)-( 24' ) 011 D7 8. 如图,在正方体ABCD-ABCD中,M,N,P分别是CD,BC,4.D的中点,有下列四个结论; ①AP与CM是异面直线:②AP,CM,DD.相交于一点:③MNI/BD:④MNI/平面BB.DD 其中所有正确结论的编号是( ) 第1页共4页 B.②④ A.①④ C. ①③④ D.②③④ 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 若:是非零复数,则下列说法正确的是( A.若:+i-0,则三-i B. 若:-2,则-2 2 C. 若=二,则二=: D. 若z+2=0,则22+={}-0 10. 若数据x,X..,X。的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的是( A. 数据4x.+1.4x.+1..,4x。+1的平均数为13 B. 数据3x,3x..--,3x.的方差为12 C.-30 .-130 D. 11. 如图,PA1平面ABCD,正方形ABCD边长为1,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF1PE时, 则( ) A. AF:FD-2:1 B. AF:FD=1:1 C. 若PA-1,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为2 D. 若P4-1,则直线PE与平面ABCD所成角为30 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 第2页共4页 12. 已知复数:满足:(1-i){z-4+2i2-4,则= 13. 已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA1平面ABCD,PA=a,二面角P-BD-A的大 小的正切值 14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形,此图由三个半圆构成,直径分别是直角三角形ABC的 斜边AB,直角边AC,BC,点E在以AC为直径的半园上,延长AE,BC交于点D.若AB=5; sinzCAp-3. 1 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知复数z=bi(beR),i是虚数单位. (1)若-1 1是实数,求的值; 2i (2)在①点P在实轴上,②点P在虚轴上,③点P在一、三象限的角平分线上,这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中,并解答 注:如果选择多个条件分别求解,按第一个解答记分. 16.(本题满分15分) 已知向量.满足ā-2=(4.-6).2ā+5=(3.8) (1)求sin(ā.b): (2)若ā//(:0:求+1的最小值. 第3页共4页 17.(本题满分15分)某校对2023级高一上学期期中 数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生 0.0200 将分数按照[30.50).[50.70),[70.90).[90.110). [110.130).[130.150]分成6组,制成了如图所示的频率分 0.0075 布直方图: 0.0050 (1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分: 0.0025 。 (2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数: (3)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在[50.70)和[70.90)的两组中,用按 比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽 取的这2名学生至少有1人成绩在150.70)内的概率 18.(本题满分17分)如图,在平面四边形ABCD中. DC=2AD-4V2,BAD-7. 2,乙BC乏 6 .5 (1)若cos乙ABD= (2)若/C=乙ADC,求BC. 19.(本题满分17分)如图,已知四校锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,M.N分别是校PB.PC 的中点,Q是校PA上一点:且AO-3OP. (1)求证:NO/平面MCD (2) 若AB=14.BC=PB=PD=8.PA=PC-46.求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 第4页共4页 安庆一中2023-2024学年度第二学期高一年级期末考试 数学学科参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】·复数:=(2-a)+(2a-Di(aeR)为纯虚数, 2-a-0 12a-1zo”:a=2. 复数:二8=3i-2=-2+31在复平面上的对应点为(-2.3),位置在第二象限,故选B 2.【答案】C -故选C. 3.【答案】D 【解析】选项A:a/la,bca,只有当a.b在同一平面内的时候,才有a/b,故不正确; 选项B;a/a,b/B.g/B,则ab可相交、平行或异面,故不正确: 选项C:aca.bcB.a//b,则a.B还可能是相交平面。故不正确; 选项D:两个平面垂直时,与它们垂直的两条直线一定是垂直的,所以若a1a.b1$.a1f,则a1b.正确 故选D. 4.【答案】A 【解析】因为死--可C.DF-5DC.M是线段EF的中点. 所以AM-+-(4+B)+(+DF-+++-11+3. 12 故选A. 5.【答案】C 【解析】设圆台的上底面圆半径为r,则底面圆半径为2r. 母线长为/:如图所示,作出圆台与球的轴截面,由于球O与圆台的上下底 面及母线均相切,故1=AD=AH+DG-r+2r=3r 根据圆台的侧面积公式S=(r+2xr)/=9π,可得r-1. 所以球的直径为HG-22,故半径为、2,表面积为8,故选C 6.【答案】D 【解析】由条件知bcosC+ccosB=b一sinBcosC+sinCcosB=sinB一sin(B+C)=sinB 即sin A-sinB,故a=b.由a=ccos B一sin A=sinCcos B一sin(B+C)=sinCcosB 一sinBcosC+cos BsinC=sinCcos B一sinBcosC=0,因为Be(0.x),所以sinB→0,故cosC=0. 因为Ce(0.t),所以c-{,故AABC为等腰直角三角形.故选D. 第1页共8页 7.【答案】A 24' 因为AB与AB为互斥事件,故P(AB·AB)-0. 所以 PAB+AB)=PAB)+PAB)=P(B)-PAB)+P(A)-PAB) 224 8.【答案】B 【解析】对于①.因为AC/IAC,MPlIAC.所以MP/IAC.又MP+AC.所以AP与CM 是相交直线,则①不正确: 对于②,设CMOAP=O,面A.ADDO面ACMP=AP 面CCDDO面ACMP=CM,所以Oe平面A.ADD. QE平面CCDD.又面A.ADDO面CCDD=DD. 所以AP,CM,DD相交于一点,②正确: 对于③.令ACOBD-O,连接DO.NO. 因为M,N分别是C.D.BC的中点,所以ON//D.M/CD.ON-D.M--CD,则MNOD为平行四边形. 所以MNI/OD.而ODODB=D.所以③不正确:对于④,因为MNc平面BDD,ODC平面BDD. 所以MN//平面BDD,④正确.综上所述,②④正确,故选B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.【答案】BCD 【解析】对于A,由:+三-0,得三--1,则A错误. , 对于B,因为-=,所以^=2,解得=2或 =0(舍去),则B正确$$ 对于C,设:=a+bi(a.beR,且ab0),则z=2=a-bi,所以z.=a+bi=z,则C正确 对于D,由+=0,得:-.设:=a+bi(a.beR,且ab:0),则z=-2=-(a+b).}=a”+b}. 从而:.+:f-0,则D正确.故选BCD -3)0. 10.【答案】ACD 对于A: 对于B,依题意, 第2页共8页 102 ##x-30. C正确: 对于C 对于D.(-90 解得-130.D正确.故选ACD. 11.【答案】BC 【解析】连接AE,如图. 因为PA1平面ABCD,BFC平面ABCD,则BF1PA. 而BF 1 PE, PAOPE=P. PA. PE c平面PAE 于是BF1平面PAE,又AE一平面PAE,因此BF1.AE 在正方形ABCD中,乙ABF=乙EAD. 7D E -tanz.ABF-tan E.AD-DF 1. AB AD2' 则AF=FD-1. -.AF:FD=1:1,A错误,B正确: 取AB中点G,连接EG.PG,则EG//BC。ZPEG为异面直线PE与BC所成的角或其补角, 而PA1平面ABCD,EGC平面ABCD,有PA1EG,又AB1EG, PACAB=A. PA.ABC平面P4G:则有EG1 平面 PAG.PG C平面PAG,于是EG 1PG. PG=PA+4G-# }. 正确: PE3' 显然乙PEA:30,D错误.故选BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.【答案】3 【解析】因为(1-i)-1+i-2i--2i.i*=(i)*=1 6-3i,故=1=3il-3.故答案为3. 所以z= -2i 13.【答案】2 【解析】设ACOBD=O,连接PO. ·PA1平面ABCD,BD.AOC平面ABCD. . PA1AO,PA1BD. ·四边形ABCD为正方形,:BD1AO. ·PAOAO=A,PA.AO-平面PAO.:BD1平面PAO 又PO-平面PAO,:BD1P0. .乙PO4是二面角P-BD-A的平面角. 第3页共8页 2 tan POA= #2a, PA4a得: 由A0- 2.故答案为:2. 14.【答案】 21+127 & 所以乙DCE-CAE,故sin云DCE=sin CAE=}. .所以cosZCAE= 因为sin乙CAB= 3. 5 故 sin EAB=sin(CAE+CAB)=sin CAEcos CAB+cosCAE sin CAB 34.7312+37 45 20 因为AB=5,乙ACB- . sin乙CAB= 2 ) 7 又因为AEC。习. .所以AE=ACcosZCAE=4x -7. 4 4 -5×712+3721+127 所以A4BE的面积是S。 AB.AEsin乙EAB- , 20 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 解:(1)因为z=bi(beR). 所以=-1-bi-1-(bi-1(2-1)_(6-2)+(26+1)i 2+i2+i(2+i)(2-i) ........4. 因为=二1是实数,所以26+1-0,解得b-- 1 2i (2)z三- 选①:因为P在实轴上.所以..m0.解得n......13分 1 4 4 -1士2 即4n}+4m-1-0.解得m=- 2 -....分.. 16.(本题满分15分) 解:(1)向量a6满足ā-25=(4.-6).2ā+5-(3.8). 第4页共8页 解得ā=(2.2),5=(-1.4).4分 -2+8 334 cos<,6: l11|22x1734 .......1分 ......分 (2)若ā//(0),可设-(22r)10.10分 ..13分 ...115分 2 17.(本题满分15分) 解:(1)由0.005xi20+0.005xi20+0.0075it20+0.02i20+ait20+0.0025xi20=1 可得.0........ 数学成续在:[30.50)频字0.0050×20=0.1:[50.70)频字0.0050×20=0.1 [70.90)频0.0075x20-0.15.[90.110)频0.0200x20=0.4. [110.130)频0.0100x20-0.2.[130.150]频率0.0025x20-0.05. 样本均值为:40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分, 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩93分。 (2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.1540.4-0.75. 在130分以下所占比例为0.75+02=0.95 因此,80%分位数.定位于于[110.130)内....7分 由110+20×895-0755=115,可以估计样本数据的第80百分位数约为115分, 08-0.75 据此可以估计该校高.下学期期中数学考试成绩第80分位数约为115分....10分 (3)由题意[50.70)分数段的人数为100x0.1=10人. [70.90)分数段的人数为100x0.15=15人. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生 则需在[50.70)内抽取2人,分别记为A,A。[70.90)分数段内抽3人,分别记为B.B.B...11分 设“从样本中任取2人,至少有1人在分数段[50.70)内”为事件A, 则样本空间0=[A;A.AB.AB2.A.B.ABAB2.AB.BB.B.B.BB]共包含10个样本 点........ 而A的对立事件A=[B.B2.B.B。.B.B). 包含3个样本点, 第5页共8页 .抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50.70)内的概率。 ....... 18.(本题满分17分) -可得 an_ABD= 3-(V) 解:(1)由cos/ABD= 2 .........分. 5 ) 5 又AD=22故 AB=AD .........分.. .c=0. ##. 2、2 BD 42 在△BCD中,由正弦定理可得 -DC sinC snZDBC'即cosO #0}分) 化简得sin(2--8]-2cosθ. sin[e+) -... 所以sn{)-$20 故sn-)-202)# -.....1分 利用诱导公式可得s-=) 故sin;(+))-. +]>. n0o分_ ........1. 2 BC 2v2 22 2Vi0-22 ......1.1分.. 第6页共8页