3.2半角公式课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　三角恒等变换 3.2　半角公式 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能用二倍角公式推导半角公式. 2.能熟练运用半角公式求值、化简或证明. 基础落实·必备知识全过关 知识点　半角公式 正负的取舍根据 所在象限 名师点睛 对半角公式的理解 (1)半角公式中的“半角”是相对的; 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) × × √ × √ 2.半角公式与二倍角公式有什么联系? 提示 半角公式是二倍角公式的逆用. 3.你能找出使 成立的α的值吗? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知θ的三角函数值求 的三角函数值 规律方法　已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可. 变式训练1求下列各式的值: 探究点二　利用半角公式化简 规律方法　三角函数式化简时要注意: (1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角 函数. (2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 探究点三　利用半角公式证明 【例3】 求证: -tan θtan 2θ=1. 规律方法　利用半角公式证明三角恒等式的基本原则和一般步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低次,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤:①先观察,找出角、函数名称、代数式结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明目的. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)半角公式及其生成过程; (2)利用半角公式求值、化简或证明; (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳:构造法、整体代换法. 3.常见误区:(1)半角公式符号的判断;(2)对于根式的处理. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在[0,m]上单调递增,则m可取(　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4sin α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成为我国古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,设直角三角形AFB中AF=a,BF=b,较小的锐角∠FAB=α.若(a+b)2=196,正方形ABCD 的面积为100,则cos 2α=　　　　　, =　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.sin=±. 2.cos=±. 3.tan=±. (2)在半角公式中,sin,cos,tan的符号由所在的象限确定; (3)对于sin,cos中α为任意角,但tan中α≠(2k+1)π(k∈Z). (1)sin 15°=±.(　　) (2)cos.(　　) (3)cos.(　　) (4)若sin α=,则tan.(　　) (5)若cos α=,且α∈(0,π),则cos.(　　) sinsin α 提示 当α=2kπ(k∈Z)时,sinsin α成立. 【例1】 已知sin α=-,且π<α<,求sin,cos,tan的值. 解 因为sin α=-,且π<α<, 所以cos α=-=-=-. 又,所以sin, cos=-=-=-,tan=-4. (1)sin; (2)tan. 解 (1)sin; (2)tan=2+. 【例2】 化简:(-π<α<0). 解 原式== =. 因为-π<α<0,所以-<0,所以sin<0,所以原式==cos α. 变式训练2化简(3π<α<4π). 解 ∵3π<α<4π,∴π<<2π,π<<π,π<, ∴cos>0,cos<0,cos>0, ∴ ===2cos. 证明 左边=-tan θtan 2θ==1=右边, ∴原式成立. 变式训练3求证:sin 2α. 证明 左边=sin αcos α=sin 2α=右边, ∴原式成立. 1.若cos θ=,且270°<θ<360°,则cos=(　　) A. B. C.± D.- 解析 因为270°<θ<360°,所以135°<<180°, 所以cos=-=-=-. 2.已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan=(　　) A.2 B. C.- D. 解析 因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-. 又θ是第二象限角,所以sin θ=, 所以tan. 3.设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于(　　) A.- B.- C.- D.- 解析 若5π<θ<6π,则<3π,, 则sin=-=-. 4.的值为(　　) A.1 B. C. D.2 解析 原式=. A. B. C. D.π 解析 ∵函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1=sin 2x-cos 2x=sin, 在[0,m]上,2x-∈-,2m-,函数f(x)单调递增,∴2m-,求得0<m≤. 故选AC. 6.已知180°<α<270°且sin(α+270°)=,则sin=　　　　,tan=　　　　.  解析 ∵sin(α+270°)=-cos α=, ∴cos α=-.又90°<<135°, ∴sin,tan=-=-=-3. 7.化简:=　　　　.  解析 =4sin α. 8.化简sin+cos2+2sin2得(　　) A.2+sin α B.2+sinα- C.2 D.2+sinα+ 解析 原式=1+2sincos+1-cos2=2+sin α-cos-α =2+sin α-sin α=2. 9.已知sin α=,cos(α+β)=,α,β均为锐角,则cos=(　　) A.- B. C. D.- 10.已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos的值为　　　　　.  解析 因为θ∈(π,2π),所以∈,π, 所以sin,cos=-= -,所以sin+cos. 11.某同学在一次研究性学习中发现以下规律: ①sin 60°=; ②sin 120°=,请根据以上规律写出符合题意的一个等式 　 　　　　. (答案不唯一)  sin 30°=(只要符合公式sin α=且有意义即可) sin-cos - 解析 由已知得a2+b2=100,(a+b)2=196,且a>b,解得a=8,b=6,所以 cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=,因为0<α<,所以0<, 所以sin,cos,所以sin-cos =-. $$