第四章三角恒等变换章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　三角恒等变换 章末总结提升 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 网络构建·归纳整合 三角恒等变换 三角恒等变换 三角恒等变换 专题突破·素养提升 专题一　三角函数求值 1.三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值、给值求值、给值 求角. 2.通过三角函数求值,提升学生的数学运算能力. B (2)已知-π<x<0,sin x+cos x= ,求tan x. 规律方法　给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值;给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系,合理进行拆角、凑角;给值求角实质是给值求值,先求角的某一三角函数值,再确定角的范围,从而求出角. 专题二　三角函数式的化简与证明 1.本章涉及的公式有两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,同角三角函数基本关系式,熟记公式是解答化简与证明题的基础. 2.通过解决三角函数式的化简与证明问题,提升学生的数学运算和逻辑推理能力. 规律方法　三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等,化简的结果应做到项数尽可能少,次数尽可能低,函数名尽量统一. 三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左),一般由繁向简;从两边向中间,左右归一法;作差证明,证明“左边-右边=0”;左右分子、分母交叉相乘,证明差值为0.对于给定信息的证明或探索题要注意知识的迁移和运用. 变式训练2阅读下面材料:根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,① sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,② 由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.③ (1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: (2)求值:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论). (1)证明 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,② ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β.③ 专题三　三角恒等变换与函数、向量的综合运用 1.向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题,是常考的一种重要题型,多是中档题.它通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,再进一步研究其性质. 2.通过解决此类问题,有利于提升学生数学运算能力. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; 规律方法　研究三角函数的性质时,当问题以向量为载体时,一般是通过向量运算,将问题转化为三角函数形式,再运用三角恒等变换如降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简求解. 变式训练3已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= . (1)求cos(α-β)的值; 【例1】 (1)的值为(　　) A.- B. C. D.- 解析 原式= 解由sin x+cos x=,① 两边平方得1+2sin xcos x=,所以2sin xcos x=-. 又因为-π<x<0,所以sin x<0,cos x>0, 所以sin x-cos x=-=-,② ①②联立,可得sin x=-,cos x=, 所以tan x==-. 变式训练1(1)已知tan α=-,则=　　　　　.  - 解析 易知sin α+cos α≠0,原式==-. (2)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,求cos β的值. 解∵α是锐角,cos α=,∴sin α=,tan α=, ∴tan β=tan[α-(α-β)]=. ∵β是锐角,故cos β=. 【例2】 证明:tan. 证明 ∵左边=(tan+1)=tan=右边,∴原等式成立. cos A-cos B=-2sin·sin ; 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得sin A+sin B=2sincos. 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得cos A-cos B=-2sinsin. (2)解sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=1+(cos 100°-cos 40°)+(sin 70°-sin 30°)=1-sin 70°sin 30°+sin 70°-sin 30°=. 【例3】 已知向量a=(cos x,-1),b=sin x,-,函数f(x)=(a+b)·a-2. (2)当x∈0,时,求f(x)的值域. 解 (1)因为a=(cos x,-1),b=sin x,-, 所以f(x)=(a+b)·a-2=a2+a·b-2=cos2x+1+sin xcos x+-2 =sin 2x+cos 2x=sin2x+, 则函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 即函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z. (2)当x∈0,时,2x+∈,则sin2x+∈-,1, 即f(x)的值域为-,1. (2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值. 解 (1)因为a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), |a-b|==, 所以2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=. (2)因为0<α<,-<β<0,所以0<α-β<π. 因为cos(α-β)=,sin β=-, 所以sin(α-β)=,cos β=, 所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=×-=. $$