4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　三角恒等变换 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题. 基础落实·必备知识全过关 α,β∈R =sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin[α+(-β)] =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β. 从而可得两角和与差的正弦公式,记作Sα±β. sin(α+β)=　　　　　　　　　.(Sα+β)  sin(α-β)=　　　　　　　　　.(Sα-β)  sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 名师点睛 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 2.两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立.(　　) (2)对于任意角α,β,总有sin(α+β)=sin α-sin β成立.(　　) (3)存在角α,β,使得sin(α+β)=sin α-sin β 成立.(　　) × × √ √ 2.[人教A版教材习题改编]sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°=　 　.  1 知识点二　两角和与差的正切公式 角α,β,α+β的终边不能在y轴上 分子、分母同除以cos αcos β(当cos α·cos β≠0时),得到两角和与差的正切公式,记作Tα+β,同理可得Tα-β. tan(α+β)=　　　 　　　　　.(Tα+β)  tan(α-β)=　　　 　　　　　.(Tα-β)  名师点睛 1.在两角和与差的正切公式中,α,β,α+β,α-β均不等于kπ+ (k∈Z). 2.公式的结构特征及符号特征如下: (1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β 的差或和. (2) 符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　) √ × √ 2.在△ABC中,已知tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+ =0的两个实根,则A=　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值 【例1】 化简下列各式: (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°; (3)tan 23°+tan 37°+ tan 23°tan 37°; (4)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)·(1+tan 24°). (4)因为(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24° =1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24° =1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24° =1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2. 同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,所以原式=2×2=4. 规律方法　1.公式的巧妙运用:一是正用,如本题中的(2);二是逆用;三是变用,变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+ sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会 变式训练1化简下列各式: (1)sin 15°+sin 75°; (4)sin(α+β)cos α- [sin(2α+β)-sin β]. 解 (1)sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°= . 探究点二　两角和与差的正弦、正切公式的综合应用 角度1.给值求值问题 (1)求sin(α+β)的值; (2)求cos(α-β)的值; (3)求tan α的值. 规律方法　给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角. D 0 角度2.给值求角问题 规律方法　根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos θ;若θ∈ ,则通常求sin θ,否则容易导致增解. 变式训练3已知tan(α-β)=-7,cos α=- ,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求α+β的值. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两角和与差的正弦、正切公式的推导; (2)给角求值、给值求值、给值求角; (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳:构造法、转化法. 3.常见误区:(1)公式中加减符号易记错;(2)求值或求角时忽视角的范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[2023重庆渝中期中]sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10°=(　　) B 解析 sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10° =sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(20°+10°)=sin 30°= .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[2023宁夏三模]已知sin α= ,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B ∴tan α+tan β=tan αtan β-1,∴(1-tan α)(1-tan β) =1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan α·tan β=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则 =　　　　　,α-β=　　　　　.  -7 -45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.化简求值: (1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β); (2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α). 解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α. (2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin [(10°+α)-(70°+α)] =sin(-60°)=- . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.在平面直角坐标系中,角α,β∈R,且以Ox为始边,则“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选)若tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,则下列结论正确的是(　　) A.tan x1+tan x2=-k B.tan(x1+x2)=-k BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 sin(α+β)=cos-(α+β)=cos-α-β =cos-αcos β+sin-αsin β (4)sinα-=(sin α-cos α).(　　) 由正切函数的定义,有tan(α+β)=. (2)存在有限个角α,β∈R,使得tan(α+β)= 成立.(　　) (3)=tan(75°-15°).(　　) 解析 因为tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+=0的两个实根,所以m≠0,tan B+tan C=,tan Btan C=,则在△ABC中, tan A=-tan(B+C)=-=-,所以A=. (2); 解 (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=. (2)原式= = ==sin 30°=. (3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 27° =tan 60°(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 27° =tan 23°tan 37°+tan 23°tan 37°=. 更好.需要说明的是,可运用切化弦,将特殊值如=tan 60°等. (2); (3)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]×; (2)=-1. (3)原式=(2sin 50°+sin 10°×)×sin 80° =cos 10° =2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°) =2sin(50°+10°)=2. (4)原式=sin(α+β)cos α-[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)] =sin(α+β)cos α-[sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α-×2sin αcos(α+β)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin(α+β-α)=sin β. 【例2】 已知<α<,0<β<,cos=-,sin. 解 (1)因为<α<+α<π,所以sin. 因为0<β<+β<π,所以cos=-=-. 所以sin(α+β)=-sin(π+α+β) =-sin =- =-. (2)由(1)可知,sin,cos=-, 所以sin =sincos-cossin ==-. 又sin =sin=-cos(α-β),从而cos(α-β)=. (3)由(1)可得tan=-, 于是tan α=tan ==7. 变式训练2(1)已知tanα+=1,则tanα-=(　　) A.2- B.2+ C.-2- D.-2+ 解析 因为α+-α-=,所以α-, 所以tan(α-)=tan[(α+)-]==-2+. (2)已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=　　　　　.  解析 因为α为锐角,sin α=,所以cos α=. 因为β是第四象限角,cos β=,所以sin β=-. 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==0. 【例3】 已知sin α=-,cos β=,且α∈,β∈,求α+β的值. 解 因为α∈,β∈,且sin α=-,cos β=,所以cos α=,sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=(-)×. 又因为α∈,β∈, 所以α+β∈,故α+β=. 解 因为cos α=-,α∈(0,π),所以sin α=,所以tan α==-2, 所以tan β=tan[α-(α-β)]=, 所以tan(α+β)==-1. 因为cos α=-<0,α∈(0,π),所以α∈,π. 因为tan β=>0,β∈(0,π),所以β∈0,, 所以α+β∈,所以α+β=. A. B. C. D.- 2.[2023江苏扬州宝应月考]若sin α+cos α=,则sin=(　　) A. B. C. D. 解析 因为sin α+cos α=, 所以sinsin α+cos α=(sin α+cos α)=.故选A. 3.[2023四川宜宾模拟]已知tan α=,tan β=,则tan(β-α)=(　　) A.1 B. C. D. 解析 tan α=,tan β=, 则tan(β-α)=.故选C. A.- B. C.- D. 解析 sin α=,α是第一象限角,cos α=,则tan α=,又tan(α+β)=1,tan β=tan [(α+β)-α]==-.故选C. 5.(多选)下列式子中结果为的是(　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C. D. 解析 对于A,利用正切的变形公式可得原式=. 对于B,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=. 对于C,原式==tan 60°=. 对于D,原式=.故选ABC. 6.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　) A. B.2 C.1+ D.5 解析 ∵α+β=,∴tan(α+β)==-1, 7.形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.  解析 sin 15°-cos 15°=2(sin 15°-cos 15°) =2sin(15°-45°)=2sin(-30°)=-1. 解析 =-7. 因为tan(α-β)==-1, 0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°, 所以α-β=-45°. 10.已知α∈0,,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值是(　　) A.- B.- C.- D.- C.k>2 D.k>2或k<-2 解析 因为tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根, 所以k2-8>0,tan x1+tan x2=k,tan x1tan x2=2, 所以k>2或k<-2,tan(x1+x2)==-k, 所以tan x1+tan x2≥2=2, 当且仅当tan x1=tan x2时等号成立. 因为tan x1≠tan x2,所以k>2.故选BC. 13.[2023上海黄浦月考]已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第三象限角,则sin=　　　　　.  解析 ∵sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=, ∴sin(-β)=,即sin β=-, ∵β是第三象限角,则cos β=-, ∴sin=sin βcos-cos βsin=-. 14.已知sin+α=,cosβ-=,且0<α<<β<,则sin(α+β)的值是　　　　　.  解析 因为sinπ+α=,即sin++α=,则cos+α=. 又0<α<,即+α<,则sin(+α)=, 而cos(β-)=<β<π,即0<β-,sin(β-)=, 则有sin(α+β)=sin+α+β- =sin+αcosβ-+cos+αsinβ-=. 所以sin(α+β)的值是. 15.[2023武汉武昌月考]已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<0,-<β<0,则α+β的值为　　　　　.  -　 解析 由条件可知, 所以tan(α+β)=. 因为-<α<0,-<β<0,所以-π<α+β<0, 所以α+β=-. 16.已知cosx-=,x∈. (1)求sin x的值; (2)求sinx+的值. 解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sin sinx-+cosx-=sinx-+, 因为x∈,所以x-∈, 所以sin(x-)=,所以sin x=. (2)因为sin x=,x∈,故cos x=-, sinx+=sin xcos+cos xsin+-×. 17.在①角α的终边经过点P(1,2),②α∈(0,),sin α=,③α∈(0,), sin α+2cos α=这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答. 问题:已知　　　　　,且tan(α+β)=4,求tan β的值.  解选择条件①,∵角α的终边经过点P(1,2),∴tan α=2, 则tan(α+β)==4,解得tan β=. 选择条件②,∵α∈0,,sin α=, ∴cos α=, ∴tan α=,则tan(α+β)==4,解得tan β=. 选择条件③,∵α∈0,,sin α+2cos α=, 由sin2α+cos2α=1,可得sin α=,cos α=, ∴tan α==3, 则tan(α+β)==4, 解得tan β=. $$