2.3三角函数的叠加及其应用课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　三角恒等变换 2.3　三角函数的叠加及其应用 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.熟记三角函数的叠加公式. 2.能熟练运用三角函数的叠加求解相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　三角函数的叠加公式 也可逆用两角和与差的余弦公式化成余弦型 角φ所在象限由a,b的符号确定,角φ的值由sin φ和cos φ的值确定,也就是由tan φ= 来确定. 名师点睛 常用的叠加公式 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (3)f(x)=sin 2x+cos 2x的最小正周期为2π.(　　) (4)若函数f(x)=A1sin(ωx+φ1),g(x)=A2sin(ωx+φ2)(其中A1>0,A2>0,ω>0),则h(x)=f(x)+g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致.(　　) × √ × √ 2.由asin α+bcos α得 sin(α+φ),它的依据是什么? 提示 由两角和或差的正弦公式逆用可得. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用三角函数的叠加公式化简与求值 规律方法　三角函数的叠加公式实质上是两角和与差的正弦、余弦公式的逆用,可以将非特殊角化为特殊角的和或差的形式. D 探究点二　利用三角函数的叠加公式研究函数的最值或值域问题 A 变式探究1原函数解析式不变时,若x∈[0,π),求函数f(x)的值域. 变式探究2原函数解析式不变时,若x∈[0,π),f(x)=a有两个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　　.  规律方法　1.研究此类函数的最值,应先利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后求解所给问题. 2.化简过程中,注意角度之间的关系,往往是先展开,再合并. 探究点三　利用三角函数的叠加公式求解综合问题 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)作出f(x)在区间[0,π]上的图象. 所以f(x)在区间[0,π]上的图象如图. 规律方法　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质.解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题. 本节要点归纳 1.知识清单: (3)公式的正用、逆用. 2.方法归纳:转化法、构造法. 3.常见误区:确定辅助角φ的值或范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0, 所以f(1)+f(2)+…+f(2 022)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.(多选)设函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为2π BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 9.已知函数y=cos x的图象与函数y=sin x+c的图象没有公共点,则实数c的值可以为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 D 解析 函数y=cos x的图象与函数y=sin x+c的图象没有公共点,即方程 cos x=sin x+c无解,也就是-c=sin x-cos x无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C.f(x)是非奇非偶函数 D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α,β,则α+β=　　　, cos αcos β- sin αcos β- cos αsin β-sin αsin β=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以x=3; 当k<0或k>1时,x无解. 综上所述,x∈{1,3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 17.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x∈R,ab≠0),若直线x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x0=4,则点(a,b)满足的关系为(　　) A.a+4b=0 B.a-4b=0 C.4a-b=0 D.4a+b=0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 一般地,当a,b不同时为0时, asin α+bcos α=sin α+cos α) =sin(α+φ). 其中cos φ=,sin φ=, (1)sin x±cos x=sinx±; (2)cos x±sin x=cosx∓; (3)sin x±cos x=2sinx±; (4)cos x±sin x=2cosx∓. (1)sin x+cos x=2sinx-.(　　) (2)cos x±sin x=2cosx∓.(　　) 【例1】 计算sin+cos的值是　　　　　.  解析 原式=2sincos =2sin cos +cos sin =2sin =2sin. 变式训练1化简cos x-sin x的结果是(　　) A.2cos B.2sin C.2sin D.2cos 解析 原式=2 =2=2cos. 【例2】 函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 解析 (方法一)∵f(x)=sinx++cosx-=sin x+cos x+cos x+sin x=sin x+cos x=sinx+, ∴f(x)的最大值为.故选A. (方法二)∵x+-x-=,∴x-=x+-, ∴cosx-=cosx+-=sinx+, ∴f(x)=sinx++sinx+=sinx+,∴f(x)的最大值为. 解 由【例2】解析可知f(x)=sinx+. ∵0≤x<π,∴≤x+, ∴-<sinx+≤1,∴-<f(x)≤, 故f(x)的值域为-. [)　 解析 由【例2】解析可知f(x)=sinx+.令t=x+,∵x∈[0,π),∴t∈. 画出函数f(t)=sin t的简图(图略). ∵f=,由图象可知,要使f(x)=a有两个不同的实根,则≤a<. 【例3】 已知函数f(x)=sin-2x+cos 2x(x∈R). 解 f(x)=sin-2x+cos 2x=-cos 2x+sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x =sin2x+. 所以f(x)的最小正周期是T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z). (2)由(1)知f(x)=sin2x+. x 0 π 2x+ π 2π f(x) 1 0 -1 0 变式训练2已知函数f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x∈-时,f(x)≥-. (1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin2x+, 所以f(x)的最小正周期是T==π. (2)证明 因为-≤x≤,所以-≤2x+. 所以sin2x+≥sin-=-. 所以当x∈-时,f(x)≥-. (1)公式asin α+bcos α=sin(α+φ)的推导; (2)利用公式asin α+bcos α=sin(α+φ)化简或求值; 1.cos--sin-的值是(　　) A. B.- C.0 D. 解析 cos--sin-=cos+sinsin=sin. 2.若sin θ+cos θ=2,θ∈(0,π),则θ为(　　) A. B. C. D.π 解析 因为sin θ+cos θ=2sinθ+=2,所以sinθ+=1.又因为θ∈(0,π),所以θ+∈.所以θ+,所以θ=.故选B. 3.已知f(x)=sinx+-cosx+,则f(1)+f(2)+…+f(2 022)的值为(　　) A.2 B. C.1 D.0 解析 f(x)=sinx+-cosx+=2sinx+-=2sinx, 4.已知向量a=sinα+,1,b=4,4cos α-,若a⊥b,则sinα+ 等于(　　) A.- B.- C. D. 解析 因为a⊥b,所以a·b=4sinα++4cos α-=2sin α+6cos α- =4sinα+-=0, 所以sinα+=,sinα+=-sinα+=-. 5.在△ABC中,A=15°,则sin A-cos(B+C)的值为(　　) A. B. C. D.2 解析 因为A+B+C=π,所以B+C=π-A. 所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=. B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的最大值为 D.y=f(x)的图象关于点,0对称 解析 f(x)=sin 2x+cos 2x=sin2x+,最小正周期为=π,故A不正确; 令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z). 当k=0时,x=,所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确; f(x)的最大值为,故C正确; 令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z), 所以当k=2时,x=,故D正确. 故选BCD. 7.化简:sincos=　　 　　.  sin sincos = =×2 = =sinsin. 8.已知cos α-sin α=,则sin+α=　 .  - 解析 因为cos α-sin α=2cosα+=, 所以cosα+=,故sin+α=sin+α+=-cosα+=-. 设h(x)=sin x-cos x=sinx-,则h(x)∈[-],即c<-或c>. 故选D. A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2x C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x 11.若sin α+cos α=,则m的取值范围是(　　) A.-3,- B.(-3,+∞) C.-,+∞ D.(-∞,-3) 12.(多选)设函数f(x)=sin2x++cos2x+,则f(x)(　　) A.是偶函数 B.在0,上单调递减 C.最大值为2 D.图象关于直线x=对称 解析 f(x)=sin2x++cos2x+=sin2x+=sin2x+ =cos 2x. 故选ABD. 13.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确的是(　　) A.f=0 B. - 解析 由题意知α+β=-. 所以cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β =cos(α+β)-sin(α+β)=2cos(α+β)-sin(α+β) =2sin-(α+β)=2sin=2sin. 15.设函数f(x)=sinωx-+sinωx-,其中0<ω<3.已知f=0. (1)求ω; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 [-]上的最小值. 解(1)因为f(x)=sinωx-+sinωx-, 所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx =sin ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx =sinωx-. 又因为f=0,所以=kπ,k∈Z, 故ω=6k+2,k∈Z.又因为0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f(x)=sin2x-, 所以g(x)=sinx+=sinx-. 因为x∈-,所以x-∈-. 当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-. 16.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-x·cos-x-1. (1)求f-2f的值; (2)当f(x)∈0,,若x是整数,且0≤x≤5,求x的值. 解(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-x·cos-x-1 =1+sin 2x+cos 2x-1=sin2x+, 所以f-2f=sin-2sin=2-1=1. (2)因为f(x)∈0,, 所以0<sin2x+<,0<sin2x+<, 2kπ<2x++2kπ或+2kπ<2x+<π+2kπ, -+kπ<x<-+kπ或+kπ<x<+kπ,k∈Z. 因为0≤x≤5,所以当k=0时,0<<x<<2,x=1; 当k=1时,2<<x<<4或<x<, 解析 由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=cos(x-φ)tan φ=,因为直线x=x0是函数f(x)的一条对称轴,即x0-φ=kπ(k∈Z),即x0=φ+kπ,k∈Z, 因为tan x0=4,所以tan x0=tan φ=4,即=4, 所以a-4b=0. 18.函数f(x)=asin x+bcos x称为向量=(a,b)的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数h(x)=2sin-x-cos+x,求证:h(x)∈S; (2)记=(0,2)的“相伴函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,求实数k的取值范围. 解 (1)因为h(x)=2sin-x-cos+x=-sin x+cos x, 所以函数h(x)是向量=-的相伴函数, 所以h(x)∈S. (2)因为f(x)=2cos x, 所以g(x)=2cos x+2|sin x|-1= 则g(x)在0,上单调递增,,π上单调递减,π,π上单调递增,π,2π上单调递减, 又g(0)=1,g=3,g(π)=-3,g=3,g(2π)=1; 因为函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,所以实数k的取值范围为[1,3). $$