精品解析：江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023～2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的模是（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简，即可由模长定义求解. 【详解】, 故模长为1， 故选：B 2. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据夹角公式即可求解. 【详解】由，可得，， 所以， 由于，所以， 故选：A 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合方程的根与系数关系可得，，，然后结合两角和的正切公式即可求解． 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：B． 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值． 【详解】根据题意，可得，可得， 因为，，所以，解得，可得． 故选：D． 5. 在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（ ）． A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解. 【详解】当时，取，满足要求， 但，则甲不是乙的必要条件； 当即时，，则， 所以，则甲是乙的充分条件； 综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 6. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，， 因为为的中点，所以，， 当伞完全收拢时，，所以，， 在中，， 所以，. 故选：A. 7. 已知，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系求出，再结合角的范围求出，最后应用两角和差公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 二、多项选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，均不为0，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，，则在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用共轭复数的定义分析判断，对于C，直接计算判断，对于D，设，，然后计算判断. 【详解】对于A，与不一定相等，当时，，，故A错误； 对于B，共轭复数只有虚数部分正负号变化，所以，故B正确； 对于C，因为，所以在复平面内对应的点在第二象限，故C正确； 对于D，，，则， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10. 设，，是三个非零向量，且互不共线，则下列命题不正确的是（ ）． A. B. 若，，，则 C. D. 有且只有一对实数，，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的数量积是一个实数，结合和向量不一定共线，判断出A项的正误；根据数量积的坐标运算法则，求出满足条件的向量，判断出B项的正误；根据向量减法的几何意义，判断出C项的正误；利用平面向量基本定理，判断出D项的正误． 【详解】对于A，向量和向量不一定共线， 因此不一定等于零向量，因此A不正确； 对于B，设，则，解得，， 故，因此B项正确； 对于C，将向量，平移至共起点，则可作为一个三角形的三边， 可得，因此C不正确； 对于D，由于、是不共线的非零向量，故,可作为平面内所有向量的一组基底， 所以存在唯一的一对实数、，使得成立，因此D项正确． 综上所述，AC不正确． 故选：AC． 11. 如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ） A. 满足 的点P必为BC的中点 B. 满足 的点P有两个 C. 满足 的点P有且只有一个 D. 满足 的点P有且只有一个 【答案】BC 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算确定AB，再由点P所在的直线与正方形四条边所在直线的交点确定CD选项. 【详解】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 所以， 设，则，， 当时，， 此时点P与点D重合，满足，但点P不是BC的中点，故A错误； 当时，三点共线，由图可知，与各有一个交点， 故满足 的点P有两个，故B正确； 当时，，，所以点在直线上， 而直线与的交点为，，与直线的交点为，， 又点在正方形的边上运动，所以只有点满足要求，即满足 的点P有且只有一个，故C正确； 当时，同C，可得点在直线上， 可得与正方形四条边所在直线的交点为， 点符合要求，所以满足 的点P有2个，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为_____________． 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】由符合条件的有且只有一个，可得或，列式算出的取值范围，从而可得正确答案． 【详解】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 13. 已知角，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件解得，然后再求得的值，最后根据角的范围即可求解的值． 【详解】根据条件， ，即， ， 则， 整理可得， 即， 即， ， ， 故. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式． 14. 在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】解：因为为圆内接四边形， 所以，则， 利用余弦定理得，， 所以，解得， 所以， 由，，得， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数运算法则和纯虚数的定义求解即可得； （2）利用复数运算法则求解即可得． 【小问1详解】 复数，其中是实数，是虚数单位． ， 为纯虚数， ， 解得实数； 【小问2详解】 ，， ，，， ， ， ， ． 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数m的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得即可得答案； （3）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； 【小问1详解】 因为与共线， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 可得， 【小问3详解】 由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 17. 某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且,如图所示. （Ⅰ）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 【答案】 （Ⅰ）.定义域为. （Ⅱ）当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF长度，进而用α表示出周长．根据点E、F的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域． （Ⅱ）利用三角函数换元，将周长转化为关于t的函数，结合角α的范围求得t的范围，进而得到l的范围，即为费用最低时的长度． 【详解】（Ⅰ）∵在中，，∴， 在中，，∴， 又， ∴，即. 当点F在点D时，这时角最小，求得此时； 点E在C点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为. （Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长l最小值即可. 由（Ⅰ）得，，， 设，则，∴， 由，得，∴， 从而，当，即BE＝25时，， 所以当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值及在实际问题中的简单应用，属于基础题． 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．D，E分别为边上的两点，且． （1）证明：； （2）若，当取最大值时，求面积； （3）若，求的值． 【答案】（1） 因为，所以， 即，所以， 即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理角化边即可得解； （2）由余弦定理、基本不等式求得当取最大值时，，，结合、平方关系以及三角形面积公式即可得解； （3）由题意，，在三角形、三角形、三角形以及三角形中，运用正弦定理，再结合（1）中结论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，等号成立当且仅当， 当取最大值时，，， 而，所以， 而， 所以面积为； 【小问3详解】 因为，所以， 设，， 在三角形中，由正弦定理有， 同理在三角形中，由正弦定理有， 在三角形中，由正弦定理有， 在三角形中，由正弦定理有， . 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） ， ,，故得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得三角恒等变换得；即可由伴随向量的定义求解， （2）先求，再利用整体法求值域； （3）利用辅助角公式可得最值点满足，即可由正切二倍角公式，结合换元法可以求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， ， 当时，， ， ； 【小问3详解】 ， 在处取得最大值， ， ， ， 令，则由，得， ， 由于均为上的单调递增函数， 所以在单调递增，故， 得， 则的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的模是（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 2 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（ ）． A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，均不为0，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，，则在复平面内对应的点在第二象限 D. 10. 设，，是三个非零向量，且互不共线，则下列命题不正确的是（ ）． A. B. 若，，，则 C. D. 有且只有一对实数，，使得 11. 如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ） A. 满足 的点P必为BC的中点 B. 满足 的点P有两个 C. 满足 的点P有且只有一个 D. 满足 的点P有且只有一个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为_____________． 13. 已知角，，，则______. 14. 在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，，求的值． 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数m的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数m的值． 17. 某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且,如图所示. （Ⅰ）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．D，E分别为边上的两点，且． （1）证明：； （2）若，当取最大值时，求面积； （3）若，求的值． 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $