精品解析：重庆市南开中学校2025届高三7月月考数学试题

重庆南开中学高2025级高三7月月考数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A 4 B. C. 5 D. 5. 若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在时有极小值，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于幂函数的说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 10. 已知函数在定义域内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C D. 11 已知函数（且），则（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，函数在上单调递减 C. 当函数在处切线经过坐标原点时，有或 D 当时，若函数恰有两个零点、，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的解析式为______． 13. 已知函数的值域为，则______． 14. 已知函数，若且，有恒成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线平行． （1）求的值及切线的方程； （2）求的单调区间和极值． 16. 已知函数为偶函数． （1）求a的值及函数f（x）的值域； （2）设，若，都有恒成立，求实数m的取值范围． 17. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎． （1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率． （2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和． （i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列； （ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围． 18. 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点． （i）求证：为定值； （ii）设面积为S，求S的取值范围． 19. 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知． （1）求出f（x）的“优秀区间”； （2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆南开中学高2025级高三7月月考数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数定义域化简，由指数函数值域化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】或，， 所以. 故选：B 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出定义域，由复合函数单调性得到单调递增区间. 【详解】，解得或，故定义域为， 因为在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递增区间为. 故选：C 3. 命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出恒成立时的取值范围，再用集合法判断充要条件即可 【详解】命题在内单调递增， 则，即在上恒成立， 令，由于，则， 则， 的最小值为0，则必有， 所以是的充分不必要条件． 故选：A 4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出时，函数的解析式，结合导数运算法则求导函数，代入可得结论. 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 当时，， 又时，, 所以当时，， 所以当时，， 所以， 故选：A. 5. 若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 6. 若函数在时有极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据极值定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 7. 已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以转化为有一个解，进而解等式即可. 【详解】依题意有一个解 即有一个根 即 所以有一个根 所以有一个根 所以 解得 当时，的定义域为 与的定义域没有交集 此时与的图象没有交点 所以不符合题意 故选：D 8. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数. 【详解】因为函数是R上的偶函数，所以， 所以关于直线对称， 因为，时， 由，当时，，故， 又关于直线对称，所以， 由对称性可得在上的大致图象如下图所示， 则在区间的零点个数为9. 故选：C. 二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于幂函数的说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 10. 已知函数在定义域内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意构造函数，根据其单调性比较大小即可. 【详解】令，则 由 得 所以 在 上单调递减, 所以 , 即 所以 , 故 正确, 错误; 又 , 即 , 所以 ,故 正确, 错误. 故选：. 11. 已知函数（且），则（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，函数在上单调递减 C. 当函数在处的切线经过坐标原点时，有或 D. 当时，若函数恰有两个零点、，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由零点概念可判断；利用导数判断函数的单调性，可判断；利用导数求在某处的切线方程可判断；利用导数结合三角函数的图象及性质，分析函数的单调性和极值点，画出函数的草图，分析图象可判断. 【详解】 当时，， 由图知，与的图象只有一个交点，即只有一个零点， 令，解得或，即共有两个零点， 故有3个零点，故正确； 当时，， 对于，则，即在上单调递减， 即时，函数在上单调递减，故正确； 若，，则， 则在处的切线方程为：， 切线方程过原点，则， 化简得，即； 若，，则， 则在处的切线方程为：， 切线方程过原点，则，即，故错误； 函数恰有两个零点，即与的图象有两个交点， ，则， 令，即，又， 由正弦函数图象知有两个极值点， 设这两个极值点为，且，则， 当时，， 当时，， 故函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，；当时，；当时，；当时，； 在上单调递增，在 上单调递减. 当时，；当或时，， 由以上性质画出的草图，如图 ： 由图得，与的图象要有两个交点，且， 则，，或，，或，，或， 都有，即若函数恰有两个零点、，则，故正确. 故选： 【点睛】方法点睛：求切线方程要注意审题，一般分为两种情况： （1）求在某处的切线方程： ①求出； ②写出切点； ③切线斜率； ④切线方程为. （2）求过某点的切线方程： ①设切点为，则切线斜率， 切线方程为； ②因为切线过点，所以，解得或； ③当时，切线方程为， 当时，切线方程为. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则，因为， 所以，故， 故答案为：． 13. 已知函数的值域为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】令，由的奇偶性，得到，进而得到，即求得的值. 【详解】令，的定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，， ，，即. 故答案为：2. 14. 已知函数，若且，有恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论. 【详解】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线平行． （1）求的值及切线的方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出，即可求出，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值. 【小问1详解】 因为，所以， 则，故在处的切线斜率为， ，解得，即， 因此， 所以函数在点处的切线：，即． 【小问2详解】 由（1）可得，定义域为， 又， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 即极大值为，极小值为， 综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． 16. 已知函数为偶函数． （1）求a的值及函数f（x）的值域； （2）设，若，都有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数偶函数求出参数，再结合基本不等式求出值域； （2）先应用不等式恒成立化简不等式，再设新参数结合（1）的范围求出自变量范围，再应用导数求出最值即可求参. 【小问1详解】 ∵f（x）为偶函数，， ，， 即对恒成立，． （当且仅当时取等） 故值域为． 【小问2详解】 ，令，则． 对恒成立，即对恒成立． ，故原式子又等价于对恒成立． 令，则，则h（t）在上单调递增． 故，．故m的取值范围为． 17. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎． （1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率． （2）甲乙两人各自独立参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和． （i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列； （ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出所有可能性，然后根据古典概型的概率计算公式计算即可； （2）（i）根据题意，写出分布列即可；（ii）根据分布列计算数学期望，然后解不等式即可. 【小问1详解】 记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A． 则． 【小问2详解】 （i）由可知：X可取0，1，2． 列出分布列如下： X 0 1 2 P （ⅱ）由（ⅰ）可知，解得． 18. 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点． （i）求证：为定值； （ii）设面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据通径以及焦点即可求解， （2）（i）根据中点坐标公式可得的坐标，进而根据坐标关系以及斜率公式可证，即可根据弦长公式求解， （ii）根据点斜式得直线的方程，进而可得其恒过定点，即可利用面积之比以及面积的表达式得，由对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在椭圆C中，令，可得，故有，而，，解得，，，故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设l：，将l与C联立可得：． 设，，则，． 则，，，． ①当l与x轴垂直时，，此时，故； ②当l与x轴不垂直时，也有． 综上，．故， 而，故． （ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：． 令，解得． 恒过定点．设到MN与AB的距离分别为与，的面积为，则． 故 ． 令，则， 因为在上单调递增，故，则． 综上所述，S的取值范围为． 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知． （1）求出f（x）的“优秀区间”； （2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：（参考数据：）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出的“优秀函数”，再利用作差法比较和的大小关系，构造函数，对的分子分母分别判断正负，进而求得f（x）的“优秀区间”； （2）（ⅰ）对分离常数，求出，构造函数，由的单调性求得的最值，进而得到m的取值范围； （ⅱ）先分析出要证，即证，再构造函数，根据的单调性，求得，再构造函数，根据的单调性，求得，可推得，又由的单调性，求得，从而得到，进而得证. 【小问1详解】 当时， 的“优秀函数”为， ， 令，则， 令，解得；令，解得， 所以当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增， 故． 当时，，则，，f（x）不具有“优秀性质”； 当时，，则，，f（x）具有“优秀性质”． 故f（x）的“优秀区间”为． 【小问2详解】 （ⅰ）即，所以， 所以，故， 令，则， 令，解得；令，解得， 故当时，k（x）单调递减；时，k（x）单调递增． ， 当时，；时，， ，故． 即m的取值范围为． （ⅱ）由、为方程的两个解可知：， 要证，即证， 令，， 令，， 则N（x）在单调递增，故， 所以时，，故M（x）在上单调递增， 则． 令， ， 令，则， 故G（x）在上单调递增，．即， 故Q（x）在上单调递增．故， 即，成立， 因为，则， 又，，k（x）在（0，1）单调递减，则，即， 故,所以， 所以. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$