1.2 任意角课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 2　任意角 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解正角、负角和零角的概念. 2.掌握象限角的特征及其表示方法. 3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　角的概念推广 1.角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边. 2.角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类: 类型 定义 图示 正角 一条射线按　　　　　　　　　　　　　形成的角    负角 一条射线按　　　　　　　　　　　　形成的角    零角 一条射线没有作任何旋转形成的角   不能理解为始边和终边重合　　 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 名师点睛 1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”. 2.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算. 过关自诊 [人教B版教材例题]求下列各式的值,并作图说明运算的几何意义. (1)60°+90°;(2)90°-30°. 解 (1)60°+90°=150°,如图(1)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°,OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为150°. (2)90°-30°=60°,如图(2)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°. (1) (2) 知识点二　象限角 在平面直角坐标系中研究角时,角的顶点在坐标　　　　,始边在x轴的　　　　　　　　.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.  名师点睛 1.在角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角. 2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限. 原点 非负半轴 过关自诊 [人教A版教材习题]锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗? 解 锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角. 知识点三　终边相同的角 一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=　　　　　　,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与　　　　　　　　　　　的和.  名师点睛 理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点: (1)集合中角α为任意角; (2)k∈Z这一条件必不可少; (3)k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同; (4)当α与β的终边相同时,α-β=k·360°,k∈Z,反之亦然. α+k·360° 周角的整数倍 过关自诊 1.[人教A版教材例题]在0°~360°范围内,找出与-950°12'角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解 -950°12'=129°48'-3×360°,所以在0°~360°范围内,与-950°12'角终边相同的角是129°48',它是第二象限角. 2.[人教A版教材例题]写出终边在y轴上的角的集合. 解 在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°,270°角.因此,所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}, 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}, 于是,终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z}. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　角的概念推广 【例1】 下列说法正确的是(　　) A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.象限角为钝角的终边在第二象限 D.小于90°的角是锐角 C 解析 终边与始边重合的角还可能是360°,720°,故A错误;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错误;钝角的范围是(90°,180°),钝角的终边在第二象限,故C正确;小于90°的角还可以是零角或负角,故D错误.故选C. 规律方法　概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断. 变式训练1一个角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少?按顺时针方向旋转三周后又是多少? 解 终边按逆时针方向旋转三周,转过的角度为360°×3=1 080°,所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是-3×360°+30°=-1 050°. 探究点二　终边相同的角 【例2】 写出与75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合 360°≤β<1 080°的元素β写出来. 解 与75°角终边相同的角的集合为 S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}. 当360°≤β<1 080°时, 即360°≤75°+k·360°<1 080°, 又因为k∈Z, 所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°. 规律方法　终边相同的角的求解方法 求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α,k∈Z的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定整数k的值,求出满足条件的角. 变式训练2与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　　.  140° 解析 因为-2 020°=140°-6×360°, 所以与-2 020°角终边相同的最小正角是140°. 探究点三　象限角 【例3】 (1)分别判断角α=-130°和角β=-940°是第几象限角. (2)若角α是第二象限角,试判断180°-α及2α是第几象限角. 解 (1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角与230°角终边相同,而230°角是第三象限角,故α是第三象限角. 由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角与140°角终边相同,而140°角是第二象限角,故β是第二象限角. (2)由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°),k∈Z,即 -k·360°<180°-α<90°-k·360°,k∈Z.所以180°-α为第一象限角. 同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z, 所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上. 规律方法　象限角的判定 (1)已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. (2)已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终边所在的位置. 变式训练3在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角: (1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'. 解 (1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限角. (2)因为660°=300°+360°,所以在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限角. (3)因为-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范围内,与-950°08'角终边相同的角是129°52',它是第二象限角. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)任意角的概念; (2)终边相同的角; (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:锐角与小于90°角的区别,终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.终边在x轴非负半轴上的角是零角 B.钝角一定大于第一象限角 C.第二象限角不一定大于第一象限角 D.第四象限角一定是负角 ABD 解析 A错误,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错误,390°是第一象限角,大于任一钝角;C正确,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错误,285°为第四象限角,但不是负角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.与-20°角终边相同的角是(　　) A.-340° B.170° C.20° D.340° D 解析 与-20°终边相同的角可以写成k×360°-20°的形式,k∈Z,令k=1 可得,-20°与340°终边相同,其他选项均不合题意,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.与-525°角终边相同的角可表示为(　　) A.{x|x=195°+180°k,k∈Z} B.{x|x=165°+180°k,k∈Z} C.{x|x=195°+360°k,k∈Z} D.{x|x=165°+360°k,k∈Z} C 解析 因为-525°=-2×360°+195°,所以与-525°角终边相同的角可以表示为x=195°+360°k,k∈Z.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A.-37° B.143° C.379° D.-143° D 解析 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　　;最大负角是　　　　　.  140° -220° 解析 因为-2 020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角为140°,最大负角为-220°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.经过12分钟,时钟的分针所转过的角度是　　　　.  -72° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.(多选)已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么下列表示的A,B,C之间的关系正确的是(　　) A.B⊆A B.B=A∩C C.B∪C=C D.A⫋C AC 解析 A={第一象限角}={θ|k·360°<θ<k·360°+90°,k∈Z},B={锐角}={θ|0°<θ<90°},C={小于90°的角}={θ|θ<90°},∴A,C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.若角α的终边与240°角的终边相同,则角 的终边所在象限是(　　) A.第二或第四象限 B.第二或第三象限 C.第一或第四象限 D.第三或第四象限 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.[2023陕西西安临潼月考]若角α的终边落在第三象限,则 的终边落在第 　　　　　象限.  二或第四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.若β是第二象限角,则270°+β是第　　　　　象限角; 是第_________　　　　　象限角;-β是第　　　　　象限角.  一 一或三 三 解析 因为β是第二象限角, 所以k·360°+90°<β<k·360°+180°,k∈Z, 所以(k+1)·360°<270°+β<(k+1)·360°+90°, k·180°+45°< <k·180°+90°,所以270°+β是第一象限角, 是第一或第三象限角,易知-β是第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处出发,以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟又回到出发点A,求θ,并判断θ所在的象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解根据题意知,14秒钟后,点P在角14θ+45°的终边上,所以45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z. 又180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°, 解得≤k<. 解析 时钟分针转过一圈是60分钟,转过12分钟,即划过整个圆周的,由于顺时针旋转为负角,则转过12分钟,所转过的角为-×360°=-72°. 解析 由题意α=k·360°+240°,所以=k·180°+120°,k∈Z,当k为偶数时,在第二象限,当k为奇数时,在第四象限.故选A. 解析 ∵角α的终边落在第三象限, ∴2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, 则kπ+<kπ+,k∈Z, 当k取偶数时,的终边落在第二象限, 当k取奇数时,的终边落在第四象限, 故的终边落在第二或第四象限. 所以67.5°<<112.5°. 又k∈Z,所以k=3或4, 所以所求的θ的值为. 因为0°<<90°,90°<<180°, 所以θ在第一象限或第二象限. $$