1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 第一章 三角函数 1 学习目标 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.（数学抽象） 2.能用正弦函数、余弦函数的定义进行计算.（数学运算） 学习目标 2 在初中，我们知道在中，当 为直角时，我们把 锐角的对边与斜边的比叫作的正弦，记作；锐角 的 邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即 ， 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： .当把锐角放在平面直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函 数对应于该点的纵坐标.当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出 正弦函数的定义呢？这就是本节要研究的内容. 自主预习 3 1.单位圆有什么特征？ [答案] 单位圆是半径为1的圆. 2.已知角 终边上一点与单位圆的交点为，你能写出角 的正弦、余弦的比值吗? [答案] 能，， . 3.设角 终边上有除原点外的一点,且，此时角 的正弦 函数值、余弦函数值是什么? [答案] ， . 自主预习 4 1.已知为角 的终边上一点，则 ( ). C A. B. C. D. [解析] 因为为角 的终边上一点，所以 ， ，则 .故选C. 自主预习 5 2.已知，是角 终边上一点，则 ( ). D A. B. C. D. [解析] 依题意点的坐标为，，， .故 选D. 自主预习 6 3.已知角 的终边过点，且，则 的值为( ). A A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边过点，所以，解得 . 自主预习 7 4.（改编）若角 的终边与单位圆交于点,，求 的值. [解析] 因为角 的终边与单位圆交于点,，所以，解得 ， 所以， ， 所以当时，；当 时， . 自主预习 8 探究1 锐角的正弦函数、余弦函数的定义 在如图所示的平面直角坐标系中，使锐角 的顶点与原点 重合，始边与轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 ，作 轴于点，设， . 问题1: 你能说出角 的正弦、余弦值是多少吗？ [答案] ， . 合作探究 9 问题2: 对确定的锐角 ， ， 的值是否随 点在终边上的位置的改变而改 变呢？ [答案] 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点 在终边上的位置无关，只与角 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 问题3: 在问题1中，当时， ， 的值怎样表示？ [答案] ， . 合作探究 10 正、余弦函数的定义：如图所示，在平面直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的 单位圆，对于锐角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边 与单位圆交于唯一的点，点的纵坐标是该角的正弦函数值，记作 ； 点的横坐标是该角的余弦函数值，记作 . 合作探究 11 例1 已知锐角 的终边过点， . （1）求 ， 的值； （2）求 的值； （3）求以角 为圆心角，半径为 的扇形的弧长. 合作探究 12 [解析] （1） 角 的终边过点, ， ，， . ， . （2）由（1）可得 . （3）设扇形的弧长为，半径为，由（1）得 ，由弧长公式得 . 合作探究 13 方法总结 求锐角的三角函数值的方法：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点<m></m>的坐标， 然后利用定义得出该角的正弦、余弦值. 巩固训练 在直角坐标系的单位圆中，已知 . （1）求出角 的终边与单位圆的交点坐标； （2）求出角 的正弦、余弦值 合作探究 14 [解析] （1）作出角 ，如图所示. 在中，,, ， 所以角 的终边与单位圆的交点坐标为， . （2）由正弦函数、余弦函数的定义可得，， . 合作探究 15 探究2 任意角的正弦函数、余弦函数 若角 是钝角，终边落在第二象限，使角 的顶点与原点 重合，始边与轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 ，作 轴于点，设， . 问题1: 此时角 的正弦、余弦分别等于什么？ [答案] ， . 问题2: 在问题1中，当时， ， 的值与角 是锐角时表示的一样吗？ [答案] 一样，， . 合作探究 16 正弦函数和余弦函数的定义 设角 终边上除原点外的一点，则，.其中 . 合作探究 17 例2 已知角 终边上一点，且，求 . [解析] 由题意知，由三角函数定义得 . ，，解得或 . 又， . 当时，，此时 ； 当时，，此时 . 故 . 合作探究 18 方法总结 求任意角的三角函数值的方法：第一步，取点，在角<m></m> 的终边上任取一点<m></m> （点<m></m>与原点<m></m>不重合）；第二步，计算<m></m>，<m></m>；第三步，求 值，由<m></m>，<m></m>求值. 合作探究 19 巩固训练 已知角 的终边过点，求 的值. [解析] 由已知得 . ①若，则，角 在第二象限，， ， . ②若，则，角 在第四象限， ， ， . 综上所述， . 合作探究 探究3 单位圆在三角函数中的应用 例3 在直角坐标系的单位圆中，已知 . （1）画出角 ； （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角 的正弦函数值. 合作探究 21 [解析] （1）因为 ， 所以角 的终边与 的终边相同. 以原点为角的顶点，以轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点 ， 则角 如图所示. 合作探究 22 （2）因为，所以点 在第二象限， 由（1）知，过点作轴于点 ， 则在中，，， ， 由直角三角形的边角关系，得， ， 所以点的坐标为, . （3）由正弦函数的定义得 . 合作探究 方法总结 （1）先将角<m></m> 表示为<m></m><m></m><m></m><m></m><m></m> 的形式，则角<m></m> 的终边即为角<m></m> 的终边，<m></m>为<m></m>轴的非负半轴逆<m></m>或顺 <m></m>时针旋转的周数. （2）求角<m></m> 与单位圆的交点坐标，应利用角<m></m> 的特殊性转化为直角三角形的边 角关系求解，进而得角<m></m> 的正弦、余弦值. 巩固训练 在直角坐标系的单位圆中，已知 . （1）画出角 ； （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角 的正弦、余弦值. 合作探究 24 [解析] （1）因为，所以角 的终边与 的终边 相同.如图，以原点为角的顶点，以 轴的非负半轴为角的始边，顺时 针旋转，与单位圆交于点，则角 如图所示. （2）因为，所以点 在第四象限. 由（1）知，，过点作轴于点 ， 则在中，，， ， 由直角三角形的边角关系，得， ， 所以点的坐标为， . （3）根据正弦、余弦函数的定义，得 ， . 合作探究 25 1.若角 的终边与单位圆相交于点,，则 ( ). B A. B. C. D. 解析 利用任意角的三角函数的定义可知，点, 到原点的距离为1，则 .故选B. 随堂检测 26 2.已知角 的终边经过点，，则 ( ). B A. B. C. D. [解析] 由三角函数的定义可知，角 的终边与单位圆交点的横坐标为角 的余弦值， 故 . 随堂检测 27 3.已知角 的终边经过点，且，则 ( ). B A.3 B. C.5 D. [解析] 因为角 的终边经过点，且 ， 所以，解得 . 随堂检测 28 4.已知角 的终边上有一点，，求 ， 的值. [解析] 当时，令，，则 ， ， . ②当时，令，，则 ， ， . 随堂检测 29 $$