第一章 三角函数章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 章末总结提升 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 网络构建·归纳整合 三角函数 三角函数 专题突破·素养提升 专题一　三角函数的化简与求值 1.三角函数的化简与求值主要用到任意角三角函数的定义,三角函数的诱导公式等知识,其中熟练掌握诱导公式是关键. 2.通过三角函数的化简与求值,能提升逻辑推理和数学运算能力. 【例1】 已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,4). 规律方法　解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值,充分利用诱导公式. 专题二　三角函数的图象及变换 1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,确定五个关键点的方法是分别令 2.对于y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性. 3.通过三角函数的图象及变换的应用,能提升直观想象和逻辑推理能力. (1)求f(x)的解析式; (2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数? 规律方法　关于平移变换要注意是在x的基础上加或减的变换,还要注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 专题三　三角函数的图象与性质 1.整体代换思想、数形结合思想是研究三角函数的图象与性质的主要思想方法. 2.通过研究三角函数的图象与性质,能提升直观想象和数学运算的能力. 【例3】 将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍,然后向上平移1个单位长度,得到函数y= sin x的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称,求当x∈[0,1]时,函数y=g(x)的最小值和最大值. (2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴当x∈[0,1]时,y=g(x)的最值即为x∈[3,4]时,y=f(x)的最值. 规律方法　研究y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值问题时,把ωx+φ看作一个整体来解决. 专题四　数形结合思想在三角函数中的应用 1.在三角函数学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法寻找解题的突破口,解题先想图,以图促解题,养成数形结合的习惯,用好数形结合的思想方法,能起到事半功倍的效果. 2.通过数形结合思想方法的应用,能促进直观想象素养的提升. 【例4】 如果关于x的方程sin2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈ 上有两个实数根,求实数a的取值范围. 解 sin2x-(2+a)sin x+2a=0, 即(sin x-2)(sin x-a)=0. ∵sin x-2≠0,∴sin x=a, 规律方法　数形结合思想贯穿了三角函数的始终,对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质和由性质研究图象时,常利用数形结合思想. 变式训练4方程lg|x|=sin(x+ )的实数根的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 两图象共有6个公共点,从而方程有6个实数根,故选C. (1)求cos(π-α)+cos+α的值; (2)求的值. 解 由题意得cos α=-,sin α=,tan α=-, (1)cos(π-α)+cos+α=-cos α-sin α==-. (2)==-tan3α=. 变式训练1已知角α的终边经过单位圆上的点P,-. (1)求sin α的值; (2)求的值. 解 (1)∵点P在单位圆上, ∴由正弦函数的定义得sin α=-. (2)原式=, 由余弦的定义得cos α=,故原式=. ωx+φ=0,,π,π,2π. 【例2】 函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象如图. 解 (1)由图得A=3,=5π,故ω=. 由f(x)=3sin过点,得sin=0,又|φ|<,故φ=-, 故f(x)=3sin. (2)由f(x+m)=3sin(x+m)-=3sinx+m-(m>0)为偶函数, 知=kπ+(k∈Z),即m=kπ+(k∈Z). ∵m>0,∴mmin=. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数. 变式训练2已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤的部分图象如图. (1)求f(x)的表达式; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-m=0在0,上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围. 解 (1)根据函数f(x)的部分图象,可得A=1,,解得ω=2, ∴f(x)=cos(2x+φ), 将x=代入f(x),得2×+φ=2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|≤, ∴φ=-,∴f(x)=cos2x-. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得曲线C: y=cos2x-=sin2x-, 由题得g(x)=2sin2x-. ∵g(x)-m=0在0,上有两个不同的实数解, ∴m=2sin2x-在0,上有两个不同的实数解, ∵0≤x≤,令t=2x-,∴-≤t≤, 则需直线y=m与y=2sin t的图象在-有两个不同的公共点,画出y=2sin t在-时的简图, ∴实数m的取值范围是[1,2). 解 (1)函数y=sin x的图象向下平移1个单位长度得y=sin x-1,再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的,得到y=sinx-1的图象,然后向右平移1个单位长度,得到y=f(x)=sin(x-)-1的图象, ∴函数y=f(x)的最小正周期为T==6. 由2kπ-x-≤2kπ+,k∈Z,得6k-≤x≤6k+,k∈Z, ∴函数y=f(x)的单调递增区间是6k-,6k+,k∈Z. ∵当x∈[3,4]时,x-∈,π, ∴sinx-∈0,,∴f(x)∈-1,. 变式训练3已知函数f(x)=3sin2x+-1. (1)求f(x)的最小正周期和对称中心; (2)求f(x)在区间-上的最值及对应的x值. 解 (1)由f(x)=3sin2x+-1, 得f(x)的最小正周期为T==π. 当2x+=kπ,k∈Z时,x=,k∈Z,函数的对称中心为,-1,k∈Z. (2)∵x∈-,∴2x+∈-, 当2x+,即x=时,f(x)max=3×1-1=2; 当2x+=-,即x=-时,f(x)min=3×--1=-. [-] 因此此题转化为求在x∈-上,sin x=a有两个实数根时a的取值范围. 由y=sin x,x∈-与y=a的图象(图略)知,≤a<1. 故实数a的取值范围是. 解析 由≤1得-1≤lg|x|≤1,即≤|x|≤10, 方程lg|x|=sinx+实根的个数就是函数y=lg|x|与y=sinx+图象公共点的个数,两函数图象如图所示, $$