第5章 复数 章末复习提升(四)(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的概念、四则运算、共轭复数、模及几何意义，通过知识体系构建作为学习支架，梳理从复数定义到几何应用的脉络，帮助学生形成连贯的知识框架。 其亮点在于结合数学思维与几何直观，通过16道梯度训练题（如复数分类、模的计算、复平面点的位置），培养学生运算能力与推理意识。教师可利用此资料系统复习，学生能在实践中提升数学语言表达与问题解决能力。

章末复习提升(四) 知识体系 构建 1 核心要点 整合 2 内容 索引 知识体系 构建 PART 01 第一部分 知识体系 构建 返回导航 核心要点 整合 PART 02 第二部分 要点一　复数的概念 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的复数，当b＝0时是实数，当b≠0时是虚数，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．处理复数概念问题的两个注意点： (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 核心要点 整合 返回导航 训练1　已知复数z与(z＋2)2＋8i都是纯虚数，则z的共轭复数为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C．2i D．－2i √ 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 训练3　已知z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面内对应的点位于第二象限． 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 要点二　复数的四则运算 1．进行复数代数运算的策略 (1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 2．通过复数的运算，可以提升数学运算和逻辑推理的数学素养． 核心要点 整合 返回导航 √ 核心要点 整合 返回导航 √ 核心要点 整合 返回导航 －1－2i 核心要点 整合 返回导航 －1 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 √ 核心要点 整合 返回导航 1＋i 核心要点 整合 返回导航 3－i 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 √ 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 π 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 √ 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 √ √ 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 核心要点 整合 返回导航 解析：设z＝bi，b∈R且b≠0，则(z＋2)2＋8i＝(bi＋2)2＋8i＝4＋4bi＋b2i2＋8i＝4－b2＋(4b＋8)i为纯虚数，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－b2＝0，,4b＋8≠0，)) 解得b＝2，故z＝2i，则 eq \o(z,\s\up16(－)) ＝－2i.故选D. 训练2　若复数 eq \f(1＋2ai,2－i) (a∈R)的共轭复数的实部和虚部相等，则实数a的值为________． 解析：因为 eq \f(1＋2ai,2－i) ＝ eq \f((1＋2ai)(2＋i),(2－i)(2＋i)) ＝ eq \f(2＋i＋4ai＋2ai2,5) ＝ eq \f(2－2a,5) ＋ eq \f(1＋4a,5) i，所以复数 eq \f(1＋2ai,2－i) (a∈R)的共轭复数为 eq \f(2－2a,5) － eq \f(1＋4a,5) i，实部为 eq \f(2－2a,5) ，虚部为－ eq \f(1＋4a,5) ，依题意可得 eq \f(2－2a,5) ＝－ eq \f(1＋4a,5) ，解得a＝－ eq \f(3,2) . － eq \f(3,2) 解：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg (m2－2m－2)＝0，,m2＋3m＋2≠0，)) 得m＝3. 所以当m＝3时，z是纯虚数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，)) 得m＝－1或m＝－2. 所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数． (3)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg (m2－2m－2)<0，,m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2>0，)) 得－1<m<1－ eq \r(3) 或1＋ eq \r(3) <m<3. 所以当－1<m<1－ eq \r(3) 或1＋ eq \r(3) <m<3时，z在复平面内对应的点位于第二象限． 训练4　复数z满足z( eq \o(z,\s\up16(－)) ＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝(　　) A．1＋i或－2＋i　　　 B．i或1＋i C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由z( eq \o(z,\s\up16(－)) ＋1)＝1＋i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i， 所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1. 故z＝i或z＝－1＋i.故选C. 训练5　已知z＝－ eq \f(1－i,\r(2)) ，则z100＋z50＋1的值为(　　) A．i B．－i C．1＋i D．1－i 解析：因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－i,\r(2)))) eq \s\up12(100) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－i,\r(2)))) eq \s\up12(50) ＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(2)))) eq \s\up12(100) ·(1－i)100＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(2)))) eq \s\up12(50) (1－i)50＋1＝ eq \f(1,250) (－2i)50＋ eq \f(1,225) (－2i)25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i. 训练6　已知i为虚数单位，则复数 eq \f(1－3i,1＋i) ＝______________. 解析： eq \f(1－3i,1＋i) ＝ eq \f((1－3i)(1－i),(1＋i)(1－i)) ＝ eq \f(3i2－4i＋1,1－i2) ＝－1－2i. 训练7　已知复数z＝ eq \f(－1＋\r(3)i,2) ，则z＋z2＝_________. 解析：z＝ eq \f(－1＋\r(3)i,2) ＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i，所以z2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(\r(3),2) i＋ eq \f(3,4) i2＝ eq \f(1,4) － eq \f(\r(3),2) i－ eq \f(3,4) ＝－ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i，所以z＋z2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i)) ＝－1. 要点三　共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．常用结论： (1)由共轭复数的定义可知， eq \o(z,\s\up16(－)) 的共轭复数是z，|z|＝| eq \o(z,\s\up16(－)) |. (2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ eq \o(z,\s\up16(－)) ⇔z∈R. (3)若z≠0且z＝－ eq \o(z,\s\up16(－)) ，则z为纯虚数． 训练8　已知复数z＝ eq \f(－1＋\r(3)i,2) ，若z2＝eq \o(z,\s\up12(－))(a＋bi)，a，b∈R，eq \o(z,\s\up12(－))是z的共轭复数，则a＋b＝(　　) A．0　　　B．1 C． －1　　　D．－2 解析：因为z＝ eq \f(－1＋\r(3)i,2) ，所以z2＝ eq \f(1－3－2\r(3)i,4) ＝ eq \f(－1－\r(3)i,2) ， eq \o(z,\s\up16(－)) ＝ eq \f(－1－\r(3)i,2) ，因为z2＝eq \o(z,\s\up12(－))(a＋bi)，所以1＝a＋bi.又a，b∈R，所以a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.故选B. 训练9　复数z＝ eq \f(3＋i,1＋2i) 的共轭复数是________． 解析：由题意可得z＝ eq \f((3＋i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i)) ＝ eq \f(5－5i,5) ＝1－i，故z的共轭复数是1＋i. 训练10　已知z∈C，且满足(1＋i)( eq \o(z,\s\up16(－)) －2)＝2i，则z＝________． 解析：由(1＋i)( eq \o(z,\s\up16(－)) －2)＝2i，得 eq \o(z,\s\up16(－)) ＝2＋ eq \f(2i,1＋i) ＝2＋ eq \f(2i(1－i),(1＋i)(1－i)) ＝2＋i(1－i)＝3＋i，所以z＝3－i. 要点四　复数的模 利用模的定义将复数的模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想，模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离，复数z＝a＋bi(a，b∈R)模的计算公式|z|＝ eq \r(a2＋b2) . 训练11　已知复数z＝ eq \f(a－3i,3＋i) (a∈R)，|z|＝ eq \f(\r(10),2) ，若z在复平面上对应的点在第三象限，则a＝(　　) A．4 B.－4 C． eq \r(10) D.－ eq \r(10) 解析：因为z＝ eq \f(a－3i,3＋i) ＝ eq \f((a－3i)(3－i),(3＋i)(3－i)) ＝ eq \f((3a－3)－(a＋9)i,10) ＝ eq \f(3a－3,10) － eq \f(a＋9,10) i，则|z|＝ eq \r((\f(3a－3,10))2＋(－\f(a＋9,10))2) ＝ eq \f(\r(10(a2＋9)),10) ＝ eq \f(\r(10),2) ，解得a＝±4.因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－3＜0，,－(a＋9)＜0，)) 解得－9＜a＜1，因此，a＝－4.故选B. 训练12　已知复数z＝ eq \f(2i,1＋i) ＋i5，则|z|＝________． 解析：由题知，z＝ eq \f(2i,1＋i) ＋i5＝ eq \f(2i(1－i),(1＋i)(1－i)) ＋i＝1＋2i，所以|z|＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) . eq \r(5) 训练13　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，满足1≤|z|≤ eq \r(2) 条件的点Z的集合，所构成的图形的面积为________． 解析：由题意复数z＝a＋bi满足1≤|z|≤ eq \r(2) ，即1≤ eq \r(a2＋b2) ≤ eq \r(2) ，即满足1≤|z|≤ eq \r(2) 条件的点Z的集合，所构成的图形为半径为1和 eq \r(2) 的两个圆之间的圆环(含边界)，则图形的面积为π×( eq \r(2) )2－π×12＝π. 要点五　复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与以原点为起点的向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 一一对应．|z1－z2|则是复平面上复数z1，z2对应的点Z1，Z2之间的距离． 复数运算与复数几何意义的综合运用是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题． 训练14　已知复数z1＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i，z2＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i，则z＝ eq \f(z1,z2) 在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为z1＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i，z2＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) i， 所以z＝ eq \f(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i,－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i) ＝ eq \f(1＋\r(3)i,－1＋\r(3)i) ＝ eq \f((1＋\r(3)i)(－1－\r(3)i),(－1＋\r(3)i)(－1－\r(3)i)) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i， 所以复数z在复平面内对应的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) ，位于第四象限．故选D. 训练15　(多选)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量 eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段AB的中点M表示的复数为4＋3i，则(　　) A． eq \o(OA,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(OB,\s\up16(→)) B． eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up16(→)) C.|z1|2＋|z2|2＝10 D．|z1|2＋|z2|2＝100 解析：如图，由向量的加法及减法法则可知， eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) ， eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up16(→)) － eq \o(OB,\s\up16(→)) . 由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应 eq \o(OC,\s\up16(→)) 的模，|z1－z2|对应 eq \o(BA,\s\up16(→)) 的模． 又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则 eq \o(OA,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(OB,\s\up16(→)) . 又因为线段AB的中点M表示的复数为4＋3i，所以| eq \o(BA,\s\up16(→)) |＝2| eq \o(OM,\s\up16(→)) |＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝| eq \o(OA,\s\up16(→)) |2＋| eq \o(OB,\s\up16(→)) |2＝| eq \o(BA,\s\up16(→)) |2＝100. 训练16　复数z满足|z＋3－ eq \r(3) i|＝ eq \r(3) ，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是 ______． 解析：设z对应的点为Z，|z＋3－ eq \r(3) i|＝ eq \r(3) 表示点Z的轨迹是以点P(－3， eq \r(3) )为圆心，以 eq \r(3) 为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝ eq \r((－3)2＋(\r(3))2) ＝ eq \r(12) ＝2 eq \r(3) ， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋ eq \r(3) ＝3 eq \r(3) ， |z|min＝|OB|＝|OP|－ eq \r(3) ＝ eq \r(3) . 3 eq \r(3) eq \r(3) $