1.1 周期变化课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 1　周期变化 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解现实生活中的周期现象,能初步判断简单的实际问题中的周期. 2.理解周期函数的概念及最小正周期的意义. 3.能判断一个函数是否为周期函数,能利用函数的周期求值. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　周期函数的概念 1.周期函数 一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足　　　　　,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.  2.最小正周期 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个　　　　　的正数,那么这个　　　　　　　就称作函数y=f(x)的最小正周期.  不是所有的周期函数都存在最小正周期 f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 名师点睛 周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x来说的,如果只有个别的x满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象.(　　) (2)函数f(x)=5x2满足f(-3+6)=f(-3),那么函数y=f(x)的周期为6.(　　) 2.如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态,那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢? √ × 提示 回到竖直状态的时间间隔为2 s,即半个周期,而再回到最左边的间隔时间,也就是一个周期,所以是4 s. 3.常数函数是周期函数吗?存在最小正周期吗? 提示 根据周期函数的定义知,常数函数是周期函数,但不存在最小正周期. 知识点二　函数周期性的常用结论 对于函数y=f(x)定义域内任一自变量x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0); f(x)≠0 名师点睛 函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同). (2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a). (3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=4|b-a|. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10),则它的周期T=5.(　　) (2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).(　　) (3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 022)=0.(　　) × √ √ 2.对于定义在R上的函数f(x),若f(x+a)= ,能说f(x)为周期函数吗? 提示 不能,需要限制a≠0. 3.如果今天是星期五,则59天后是星期几? 提示 每隔七天循环一次,59=7×8+3,故59天后为周一. 4.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且f(1)=2 023,你能通过f(1)得出f(11)的值吗? 提示 f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 023. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求函数的周期 【例1】 若对任意的x∈R,函数f(x)满足f(x+2 022)=-f(x+2 023),则函数f(x)的周期为　　　　.  2 解析 由f(x+2 022)=-f(x+2 023),得f(x+2 022)=-f(x+2 022+1),令x+2 022=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函数f(x)的周期是2. 规律方法　函数周期的求解方法 求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系. 变式训练1已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)= ,则函数f(x)的周期为　　　　.  4 所以f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4. 探究点二　周期函数的判定 【例2】 设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数. 证明 由图象关于x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x). 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数. 规律方法　紧扣定义——判断一个函数为周期函数 应用定义判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化. 变式训练2设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为奇函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)是以4a为周期的周期函数. 证明 若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,且f(-x)=-f(x),由题意得f(2a+x)=f(-x), 所以f(2a+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(4a+x)=f(x),故f(x)是以4a为周期的函数. 探究点三　利用函数的周期性求值或范围 【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x∈[-3,3)时, 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f(2 023) =　　　　　.  338 解析 f(x+6)=f(x),故函数f(x)是周期函数,周期为6. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0-1+0=1, 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f(2 023)=337×1+1=338. 规律方法　函数周期性的应用 根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意最小正周期与周期的区别. 变式训练3已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)= 则实数a的取值范围为　　　　　　.  (-1,4) 解析 因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,所以f(5)=f(5-6)= f(-1)=f(1), 探究点四　周期性在实际中的应用 【例4】 已知做周期性运动的钟摆的高度h(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示. (1)求该函数的周期; (2)求t=10 s时钟摆的高度. 解 (1)由图象知,该函数的周期为1.5 s. (2)设h=f(t), ∵T=1.5, ∴f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20. ∴t=10 s时钟摆的高度为20 mm. 规律方法　应用周期性解决实际问题的两个要点 变式训练4受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫作潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间? 解 由题中表可知,一天内能开放三次,时间最长的一次是上午9时至下午3时,共6个小时. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)周期现象; (2)周期函数的定义; (3)函数的周期、最小正周期的定义; (4)函数周期的简单应用. 2.方法归纳:数学抽象、数形结合、转化法. 3.常见误区:容易忽视周期函数定义和常用结论中的常数T,a均不为0. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 1.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是(　　) B 解析 摆球的整个运动过程恰好是一个周期,所以经历的时间是T. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是(　　) A.5 B.4 C.8 D.7 D 解析 由题意知小数点后的数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.已知函数f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(8.5)=(　　) C 解析 ∵T=2,∴f(8.5)=f(4×2+0.5)=f(0.5)=20.5= .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)+f(2 022)=　　　.  1 011 解析 因为函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),当x∈(-1,1]时,f(x)=|x|.当x∈N时,f(2x+1)=1,f(2x)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)+f(2 022) =1 011. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),那么f(8)=　　　　　.  -2 解析∵f(x+3)=f(x),∴T=3,∴f(8)=f(2+3×2)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 6.(多选)按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办的,那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是(　　) A.2019 B.2024 C.2026 D.2032 BD 解析2 019=2 008+4×2+3,2 026=2 008+4×4+2.显然2 019,2 026不是4的倍数.2 024=2 008+4×4,2 032=2 008+4×6,显然2 024与2 032是4的倍数,故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+8)=f(x),f(x)的图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上是增函数,若关于x的方程f(x)-m=0在区间[-8,8]上有根,则所有根的和可能为(　　) A.0 B.±4 C.±8 D.±16 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析由题意,作示意图如下: 由图中m1,m2,m3,m4,m5五条直线可知,关于x的方程f(x)-m=0在区间[-8,8]上有根,则所有根的和可能为0或±4或±8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)证明:y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值. C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)解因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期, 所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2. (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0); (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). - 解析 因为f(x+2)=-, f(x)= , 因为f(1)<1,f(5)=, 所以<1,即<0,解得-1<a<4.所以a的取值范围为(-1,4). A.2T B.T C. D. A. B.-2 C. D.- 8.已知f(x+1)是周期为2的奇函数,当-1≤x≤0时,f(x)=-2x(x+1),则f的值为　　　.  -　 解析 f=f=f=-f(-1)=-f=-. 9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f+x=-f-x成立. (1)证明由f+x=-f-x,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f++x =-f-+x=-f(-x)=f(x), 所以函数y=f(x)是周期函数,且周期T=3. $$