2025届高三物理一轮复习讲义： 第一模块 力学第2节 力的合成与分解与几何、三角函数

第2节 力的合成与分解和几何、三角函数 一、力学基本框架图 二、合力与分力的关系 1．合力与分力： 当一个物体受到几个力共同作用时，如果能用另外一个力代替它们，并且它的作用效果跟原来那几个力的共同作用效果相同，那么这个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力． 2．合力与分力的关系 合力与分力产生的效果相同，相互替代，是一种等效替代． 3.共点力 几个力都作用在物体的同一点，或它们的延长线相交于同一点，这几个力叫做共点力． 三、分析共点力的核心法则：平行四边形法则或三角形法则 1.力的合成与分解 求已知几个力的合力叫做力的合成；求一个已知力的分力叫做力的分解．求力的合成或力的分解，都满足平行四边形法则，即数学中的向量的矢量运算法则。 2.用平行四边形定则求合力 两个共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边构成的平行四边形的对角线表示，这叫做力的平行四边形定则． 例题1.(多选)某研究性学习小组为颈椎病人设计了一个牵引装置：如图所示，一根绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端挂着相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎(图中是用手指代替颈椎做实验)，整个装置在同一竖直平面内，如果要增大手指所受的拉力，可采取的方法是(　　) A．只减小重物的重量 B．只增加重物的重量 C．只将手指向下移动 D．只将手指向上移动 答案　BC 解析　当θ不变时，要增大合力，需增大分力，即增加重物的重量，B正确；当重物的重量不变时，要增大合力，需减小θ角，即将手指下移，C正确． 例题2.杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图甲所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺穹苍，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．乙图是斜拉桥钢索的简化图，假设其中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？ 答案　5.2×104 N　方向竖直向下 解析　把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下．下面用两种方法计算这个合力的大小． 解法一：作图法(如图甲所示) 自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N. 解法二：计算法(如图乙所示) 根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分， ∠AOD＝30°，而OD＝OC， 则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N. 3．三角形定则 平行四边形的一半是三角形，在求合力的时候，只要把表示原来两个力的矢量首尾相接，然后从第一个力的箭尾向第二个力的箭头画一个矢量(如图所示)，这个矢量就表示原来两个力的合力． 例题3.如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F＝10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．4 N B．6 N C．10 N D．100 N 答案　A 解析　根据力的分解，只有当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2＝Fsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，所以不可能是4 N，故选A. 例题4.(2022·西北农林科技大学附中高一期末)在同一平面内有三个共点力，它们的大小和方向如图所示．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则这三个力的合力大小为(　　) A．5 N B. N C. N D．7 N 答案　A 解析　由题意根据平行四边形定则，先将斜向下方向的力正交分解如图所示， 则x方向上的合力大小为 Fx＝11 N－10 N·cos 37°＝3 N y方向上的合力大小为 Fy＝10 N－10 N·sin 37°＝4 N 这三个力的合力大小为 F＝＝5 N，故选A. 四、矢量运算涉及的几何、三角函数知识（学生自主自做内容） 1．解平行四边形 1.设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力大小等于(　　) A．3F B．4F C．5F D．6F 答案　A 解析　由几何关系得F3＝2F，又F1、F2夹角为120°，大小均为F，故其合力大小为F，方向与F3相同，因此三个力的合力大小为3F.A正确． 2.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　) A．50 N B．50 N C．100 N D．100 N 答案　C 解析　悬挂重物的绳的张力是T＝mg＝100 N， 小滑轮受到绳的作用力为沿BC、BD绳两拉力的合力，如图所示． 从图中可看出，∠CBD＝120°， 故F＝T＝100 N. 2.解直角三角形 3.解普通三角形 3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为在△ABC中， 设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7， 所以由余弦定理得 cos∠BAC＝＝＝－， 因为∠BAC为△ABC的内角， 所以∠BAC＝. 4．在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝ . 答案　45° 解析　由正弦定理知＝， 则sin B＝＝＝. 又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°. 4.三角恒等变换 5．sin 15°cos 15°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α等于(　　) A．－ B．2 C．－ D．－ 答案　D 解析　由tan(π＋2α)＝－， 得tan 2α＝－， 又tan 2α＝＝－， 解得tan α＝－或tan α＝2， 又α是第二象限角，所以tan α＝－. 例3　(1)若cos＝，则cos等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　∵cos＝. ∴cos＝sin ＝sin＝， ∴cos＝1－2sin2 ＝1－＝. 本节核心题型 A组（核心知识） 1．关于合力与其两个分力的关系，下列说法中正确的是(　　) A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同 B．两个分力的作用效果与它们合力的作用效果不一定相同 C．两个分力的大小之和就是合力的大小 D．一个力可以分解为任意大小的两个分力 答案　A 解析　两个分力的作用效果与其合力的作用效果一定是相同的，合力可以等效替代两个分力，A正确，B错误；分力与合力的关系遵从平行四边形定则，并不是任意的，C、D错误． 2.两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是(　　) A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N C．F1＝2 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝7 N 答案　A 解析　选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能． 3.如图(俯示图)，用两个夹角为120°的水平拉力，拉静止在地面上的箱子，保持力的大小不变，逐渐减小两力的夹角θ，箱子始终保持静止，则这两个力的合力(　　) A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．保持不变 答案　B 4.两个共点力F1和F2的大小不变，它们的合力F与两分力F1、F2之间夹角θ的关系如图，则合力F大小的变化范围是(　　) A．0～1 N B．1～3 N C．1～5 N D．1～7 N 答案　D 解析　设两个力大小分别为F1、F2且F1>F2，由题图知当两力夹角为90°时，有：F12＋F22＝52 N2，当两力夹角为180°时，有：F1－F2＝1 N，联立解得：F1＝4 N，F2＝3 N，则合力F大小的范围是1～7 N，故D正确，A、B、C错误． 5．同一平面内的三个力，大小分别为4 N、6 N、7 N，若三力同时作用于某一物体上同一点，则该物体所受三力合力的最大值和最小值分别为(　　) A．17 N　3 N B．5 N　3 N C．9 N　0 D．17 N　0 答案　D 解析　当三个力同向时，合力最大，则Fmax＝(4＋6＋7) N＝17 N．因为4 N和6 N的合力范围为[2 N,10 N]，合力可以为7 N，与7 N再合成，合力可以为零，所以最小合力为零，最大值为17 N，故D正确，A、B、C错误． 6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时，合力的大小为20 N；则当它们间的夹角为120°时，合力的大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N 答案　B 解析　两个大小相等的力之间的夹角为90°时，合力大小为20 N，根据平行四边形定则作图，如图甲，则F1＝F2＝10 N．当它们间的夹角为120°时，根据平行四边形定则作图，如图乙，则F合＝10 N，故B正确． 7.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　) A．50 N B．50 N C．100 N D．100 N 答案　C 解析　悬挂重物的绳的张力是T＝mg＝100 N， 小滑轮受到绳的作用力为沿BC、BD绳两拉力的合力，如图所示． 从图中可看出，∠CBD＝120°， 故F＝T＝100 N. 8．(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　) A．当θ为120°时，F＝G B．不管θ为何值，均有F＝ C．当θ＝0时，F＝ D．θ越大时，F越小 答案　AC 解析　两分力相等，由平行四边形定则可知，θ＝120°时，F＝F合＝G；θ＝0时，F＝F合＝，故A、C对，B错．在合力一定时，θ越大，分力越大，故D错． 10.在同一平面内的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 答案　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方 解析　用力的正交分解法求解： 如图甲，建立直角坐标系， 把各个力分解到这两个坐标轴上， 并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有 Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N， Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N. 因此，如图乙所示，合力： F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1. 即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方． 9.如图所示，用绳AB和BC吊起一重物P且处于静止状态，AB绳与水平面间的夹角为53°，BC绳与水平面间的夹角为37°.求：当所挂重物质量为10 kg时，AB绳、BC绳上的拉力各为多大？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)． 答案　80 N　60 N 解析　结点B受到三根绳子的拉力处于平衡状态，BP绳的拉力等于重物的重力mg，如图所示，根据力的分解可得： TAB＝mgcos 37°＝10×10×0.8 N＝80 N TBC＝mgsin 37°＝10×10×0.6 N＝60 N. B组（情境能力） 1. (2018·湖南永州三模)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，图1甲是一款放在水平桌面上的手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上。图乙是手机静止吸附在该手机支架上的侧视图，若手机的重力为G，下列说法正确的是(　　) A．手机受到的支持力大小为Gcos θ B．手机受到的摩擦力大小大于Gsin θ C．纳米材料对手机的作用力方向竖直向上 D．纳米材料对手机的作用力大小为Gsin θ 解析　手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，在垂直支架方向有FN＝Gcos θ＋F吸，大于Gcos θ，故A错误；在平行斜面方向，根据平衡条件，有f＝Gsin θ，故B错误；手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，纳米材料对手机的作用力大小等于重力，方向与重力方向相反，竖直向上，故C正确，D错误。 答案　C 2.如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　) A．3 000 N B．2 000 N C．1 000 N D．500 N 答案　B 解析　将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示． 则有2F1cos α＝F，得F1＝F2＝ 再将F1按作用效果分解为N和N′，作出力的分解图如图乙所示． 则有N＝F1sin α，联立得N＝ 根据几何知识得tan α＝＝10 得N＝5F＝2 000 N，故选项B正确． 3.刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图11所示是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为(　　) A.F B.F C.F D.F 解析　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。 答案　B 4.如图所示为剪式千斤顶，是用于顶起汽车的装置。当摇动把手时，螺纹轴就迫使千斤顶的左右两臂靠拢，同时抬起重物。汽车对千斤顶的压力F＝1.0×105 N。设当千斤顶两臂间的夹角为120°时，其两臂受到的压力为F′；若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将怎样变化 (　　) A．F′＝1.0×105 N，变小 B．F′＝1.0×105 N，变大 C．F′＝2.0×105 N，变大 D．F′＝0.5×105 N，变小 解析　如图将汽车对千斤顶的压力F沿两臂分解为F1、F2，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等。即F1＝F2＝F′。由2F′cos θ＝F得，F′＝＝1.0×105 N，C、D错误；继续摇动把手，两臂靠拢，夹角减小，由F′＝分析可知，F不变，当θ减小时，cos θ增大，F′减小，B错误，A正确。 答案　A 5.将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，其中第3、4块固定在地基上，第1、2块间的接触面是竖直的，每块石块的两个侧面间所夹的圆心角为30°，如图12所示。假定石块间的摩擦力可以忽略不计，则第1、2块石块间的作用力和第1、3块石块间的作用力的大小之比为(　　) A. B. C. D. 解析　如图所示， 对第1个石块进行受力分析，由几何关系知θ＝60°，所以有FN21∶FN31＝sin 60°＝，故选项B正确。 答案　B C组（高考拓展） 1.(多选)(2018·天津理综，7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图9所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　) A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大 C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 解析　如图所示，根据力F的作用效果，把力F分解为垂直于木楔两侧方向的分力F1、F2，则F1＝F2＝FN＝，由表达式可知，若F一定，θ越小，FN越大，A项错误，B项正确；若θ一定，F越大，FN越大，C项正确，D项错误。 答案　BC 2．(2017·全国卷Ⅲ，17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)(　　) A．86 cm B．92 cm C．98 cm D．104 cm 解析　设弹性绳的劲度系数为k。挂钩码后，弹性绳两端点移动前，左、右两段绳的伸长量ΔL＝＝10 cm，两段绳的弹力F＝kΔL，对钩码受力分析，如图甲所示，sin α＝，cos α＝。根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为G＝2kΔLcos α。将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示。设弹性绳伸长量为ΔL′，弹力为F′＝kΔL′，钩码的重力为G＝2kΔL′，联立解得ΔL′＝ΔL＝6 cm。弹性绳的总长度变为L0＋2ΔL′＝92 cm，故选项B正确，A、C、D错误。 　　 甲　　　　　　 乙 答案　B D组（日清3省4问） 1. 今天老师课堂讲了哪些东西？ 2. 今天老师讲的什么内容让我感触最深？ 3. 老师今天讲的东西与昨天（上次）的内容有什么联系？ 4. 老师明天会讲什么内容？ 1.力学因子 2.性质力 3.受力图 4.分析图 5.合力 6.加速度 7.运动情景 学科网（北京）股份有限公司 $$