习题课 三角恒等变换的综合应用课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　三角恒等变换 习题课　三角恒等变换的综合应用 北师大版 数学 必修第二册 课程标准 1.熟记常用的三角恒等变换公式. 2.能利用三角恒等变换公式进行求值、化简或证明. 3.能利用三角恒等变换公式对复杂函数加以转化,进而研究函数的性质. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　两角的和与差的正弦、余弦、正切公式 1.cos(α±β)=　　　　　　　　　　.  2.sin(α±β)=　　　　　　　　　.  3.tan(α±β)=　　　　　　　　　.  cos αcos β∓sin αsin β sin αcos β±cos αsin β 过关自诊 2.三角恒等变换的核心是什么? 提示 角的变换是三角变换的核心. 知识点二　二倍角公式 1.sin 2α=　　　　　.  2.cos 2α=　　　　　　=　　　　=1-2sin2α.  3.tan 2α=　　　　　　.  名师点睛 在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切无意义的角是不能套用公式的. 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 过关自诊 A 2.已知tan α= ,则sin 2α 的值为(　　) B 知识点三　半角公式 名师点睛 在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,当不能确定时,要保留“正负号”. 过关自诊 1.cos(-15°)的值为(　　) C D 知识点四　有关公式的逆用及变形 1.tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 3.三角函数的叠加公式 asin x+bcos x=　　　　 　 　　.  名师点睛 上述三角函数的叠加公式中的φ满足tan φ= ,φ所在象限由a,b的符号确定,且满足条件的φ有无数个. 过关自诊 C 2.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　) C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x B A 重难探究·能力素养全提升 探究点一　三角函数求值 【例1】 已知tan α=2,则sin 2α的值是(　　) B 规律方法　三角函数求值的主要类型 1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式. 2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数的值.这类求值问题的关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围. 3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围. 变式训练1已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为　　　　　.  3 探究点二　三角函数的化简 规律方法　三角函数化简的原则、目标及技巧 (1)三角函数式化简的基本原则 ①切化弦. ②异名化同名. ③异角化同角. ④高次降幂. ⑤分式通分. ⑥无理化有理. ⑦常数的处理(特别注意“1”的代换). (2)三角函数式化简的目标 ①次数尽可能低. ②角尽可能少. ③三角函数名称尽可能统一. ④项数尽可能少. (3)三角函数式化简的基本技巧 ①sin α,cos α→凑倍角公式. ②1±cos α→升幂公式. 变式训练2化简: 探究点三　三角函数的证明 规律方法　关于三角恒等式的证明,常用的方法有:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异;(4)比较法,设法证明“左边-右边=0”或 探究点四　三角恒等变换在解决三角函数性质中的运用 (3)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性. 规律方法　与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种情形: (1)以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质. (2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)三角变换公式及其内在关系; (2)三角恒等变换的综合问题; (3)三角函数在实际问题中的应用. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:(1)公式中的符号和系数;(2)实际问题中的定义域. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 1.sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°的值等于(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.(多选)[2023重庆九龙坡月考]下列各式中,值为 的是(　　) A.2sin 15°cos 15° B.2cos215°-1 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.已知cos 2θ= ,则sin4θ+cos4θ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.已知5sin β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan α. 证明 5sin β=5sin[(α+β)-α] =5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α, sin(2α+β)=sin[(α+β)+α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. 因为5sin β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α, 所以2tan(α+β)=3tan α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则 sin(x+ )=　　　;应按角度x=　　　　来截.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,则 =　　　　　.  9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.如图,矩形ABCD的长AD=2 ,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.求值:tan=　　　　　.  -2 解析 因为tan=tan=2-,所以tan =2-=-2. 1.已知sin α=2sin+α,则cos 2α=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C. D. 解析 因为sin α=2sin(+α)=2cos α,所以tan α=2, 则cos 2α==-.故选A. A. B. C.- D.- 解析 因为tan α=,所以sin 2α=.故选B. 1.sin=　　　　　.  2.cos=　　　　　.  3.tan=　　　　　=　　　　　　=.  ± ± ± A. B. C. D.- 解析 cos(-15°)=cos 15°=.故选C. 2.已知cos θ=-,θ∈(-π,0),则sin+cos=(　　) A. B.± C. D.- 解析 ∵cos θ=-,θ∈(-π,0), ∴cos2-sin2=cos+sincos-sin<0,∈-,0, ∴sin+cos<0,cos-sin>0. ∵(sin+cos)2=1+sin θ=1-, ∴sin+cos=-.故选D. 2.cos2α=, sin2α=. 4.1±sin 2α=(sin α±cos α)2,sin α±cos α=sin. sin(x+φ) 1.设0≤x<2π,且=sin x-cos x,则x的取值范围是(　　) A.0≤x≤π B.≤x≤ C.≤x≤ D.≤x≤ 解析 =|sin x-cos x|=sin x-cos x,所以sin x-cos x≥0, 即sin x≥cos x.又0≤x<2π,所以≤x≤. A.y=sin B.y=cos 解析 对于A,y=sin =cos 2x,是最小正周期为π的偶函数;对于B,y=cos =-sin 2x,是最小正周期为π的奇函数;对于C, y=sin 2x+cos 2x=sin ,是最小正周期为π的非奇非偶函数;对于D,y=sin x+cos x=sin ,是最小正周期为2π的非奇非偶函数,故选B. 3.3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于(　　) A.- B. C. D.- 解析 原式左边=2=2sin=2sin(x+φ), 因为cos φ=>0,sin φ=-<0, 所以φ是第四象限角,又φ∈(-π,π),所以φ=-. A.- B. C.- D. 解析 (方法一)sin 2α=2sin αcos α=,故选B. (方法二)因为tan α=2,所以sin α=2cos α, sin 2α=2sin αcos α=,故选B. 解析tan β=tan[(α+β)-α]==3. 【例2】 已知f(x)=,当α∈时,化简f(sin 2α)-f(-sin 2α). 解 f(sin 2α)-f(-sin 2α) = = =|sin α-cos α|-|sin α+cos α|. 因为α∈,所以sin α<cos α<0. 所以原式=cos α-sin α+sin α+cos α=2cos α. ③asin α+bcos α→三角函数的叠加公式asin α+bcos α=. . 解 原式== == == ==2. 【例3】 求证:. 证明 左边== ==. 右边=.左边=右边,故原式成立. “=1”. 变式训练3求证:-2cos(α+β)=. 证明 左边= = = ==右边. 所以原等式成立. 【例4】 已知a=(5cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),设函数f(x)=a·b+|b|2+. (1)当x∈时,求函数f(x)的值域; (2)当x∈时,若f(x)=8,求函数f的值; 解 (1)f(x)=a·b+|b|2+=5sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+ =5sin xcos x+5cos2x+=sin 2x+5×=5sin+5. 由≤x≤,得≤2x+, 所以-≤sin≤1, 所以当≤x≤时,函数f(x)的值域为. (2)由题意知f(x)=5sin+5=8, 则sin,所以cos=-, f=5sin 2x+5=5sin+5=+7. (3)f(x)=5sin+5的图象经平移变换后,得g(x)=5sin+5-5 =5sin 2x的图象,即g(x)=5sin 2x,其定义域为R,关于原点对称, g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x=-g(x),故g(x)为奇函数. 变式训练4[2023浙江温州期末]已知函数f(x)=2cos2+cos 2ωx(ω>0). (1)若函数f(x)的周期是π,求ω的值; (2)若函数f(x)在x∈上的值域为,求ω的取值范围. 解 (1)因为f(x)=2cos2+cos 2ωx=1+cos+cos 2ωx =1+cos 2ωx+sin 2ωx=1+cos, 又函数f(x)的周期是π,所以由=π,可得ω=1. (2)由(1)知f(x)=1+cos,ω>0, 当x∈时,可得-≤2ωx-≤ωπ-, 因为f(x)在上的值域为, 所以≤cos≤1,故0≤ωπ-, 可得≤ω≤,即ω的取值范围为. A. B. C. D.1+ 解析 sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+. 2.的值是(　　) A. B. C. D. 解析 原式= = =. 3.若cos-α=-,则cos 2α=(　　) A.- B. C.- D. 解析 由cos-α=-,可得sin α=-,则cos 2α=1-2sin2α=1-2×-2=. 故选B. C. D. 解析 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,A正确; 2cos215°-1=cos 30°=,B错误; =cos 15°≠,C错误; tan 45°=,D正确. 故选AD. 解析 (方法一)因为cos 2θ=, 所以2cos2θ-1=,1-2sin2θ=, 即cos2θ=,sin2θ=, 所以sin4θ+cos4θ=. (方法二)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-sin22θ=1-(1-cos22θ)=1-. 6.化简=　　　　　.  解析 原式=tan(90°-2α)· =. 7.已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. 解(1)tan==-3. (2) = = ==1. 9.设a=cos 5°-sin 5°,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的 是(　　) 10.已知<α<π,且cosα-=-,则cos α的值为(　　) A. B.- C. D. 解析 因为<α<π,所以<α-, 因为cosα-=-,所以sinα-=, 所以cos α=cos[(α-)+]=cos(α-)cos-sin(α-)sin=-. 11.在△ABC中,点P在线段AB上,且=4,若=cos2θ·+sin2θ·,则cos 2θ=(　　) A.- B. C.- D. 解析 因为tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C, 所以=4××=4×× =4×,即,故原式化为 sin Asin B=,由正、余弦定理得ab=,即ab·=4c2, 所以a2+b2-c2=8c2,所以=9. 15.已知cos=-,sin,且α∈,β∈.求: (1)cos;(2)tan(α+β). 解(1)因为<α<π,0<β<,所以<α-<π,--β<. 所以sin, cos. 所以cos=cos=cos(α-)·cos+sinsin =-. (2)因为,所以sin. 所以tan=-. 所以tan(α+β)=. (1)若x=,求向量a,c的夹角; (2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值. 解(1)因为a=(cos x,sin x),c=(-1,0), 所以|a|==1,|c|==1. 当x=时,a=, a·c=×(-1)+×0=-,cos<a,c>==-.因为0≤<a,c>≤π,所以<a,c>=. (2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos 2x=sin. 因为x∈,所以2x-, 所以sin, 所以当2x-, 即x=时,f(x)最大值为1. 17.已知cos(+x)=,若<x<,求的值. 解由π<x<π,得π<x+<2π. 又cos+x=,所以sin+x=-, 所以cos x=cos+x-=cos+xcos+sin+xsin =-. 从而sin x=-,tan x=7. 则==-. 解过点B作BH⊥OA,垂足为H. 设∠OAD=θ0<θ<,则∠BAH=-θ,OA=2cos θ, BH=sin-θ=cos θ,AH=cos-θ=sin θ, 所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ =7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin(2θ+). 由0<θ<,知<2θ+, 所以当θ=时,OB2取得最大值7+4. $$