5.3.1 复数的三角表示式、5.3.2 复数乘除运算的几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第五章　复数 3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示. 2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系. 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　复数的三角表示式 这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的　　　　　　　　,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.  当z=r(cos θ+isin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍. 三角表示式 为确定起见,将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为　　　　　　,记作arg z,即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.   非零复数的辐角不唯一,辐角的主值唯一 辐角的主值 名师点睛 1.复数的三角形式的特征: (1)模r≥0. (2)括号内需满足:前余弦,后正弦,角相同. (3)cos θ与isin θ之间用加号连结. 简单地说,复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.不符合条件的都不是三角形式. 2.在复数的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但为了简单起见,复数的代数形式化为三角形式时,一般将θ写成主值. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) × × × × × 2.[人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式: 解(1)6=6(cos 0+isin 0). 3.终边相同的角有什么关系? 提示 终边相同的角相差2π的整数倍. 知识点二　复数三角形式的乘法法则与几何意义 1.复数乘法运算的三角表示 r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 两个复数相乘,积的模等于它们的模的　　　,积的辐角等于它们辐角的　　　.  简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加. 积 和 2.复数乘法运算的几何意义 θ2>0,逆时针;θ2<0,顺时针 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (2)若arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)=α+β.(　　) √ × 2.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai C 解析 按顺时针旋转90°,即将复数与cos(-90°)+isin(-90°)相乘, ∴所求复数为(a+bi)·(-i)=b-ai. 知识点三　复数三角形式的除法法则与几何意义 1.复数除法运算的三角表示 两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　　　　.  简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减. 差 2.复数除法运算的几何意义 θ2>0,顺时针;θ2<0,逆时针 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) √ × 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的三角形式 【例1】 将下列复数表示成三角形式(辐角取主值). (1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+ i. (2)因为r=8,cos θ=1,sin θ=0,所以θ=0,所以8=8(cos 0+isin 0). 规律方法　复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤 (2)由tan θ= 及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可); (3)写出复数的三角形式. 变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式(辐角取主值),三角形式的表示成代数形式. (1)-1; 解 (1)因为r=1,cos θ=-1,sin θ=0,所以θ=π,于是-1=cos π+isin π. 探究点二　复数三角形式的乘法运算 【例2】 计算下列各式: (3)(cos 36°+isin 36°)5. 解 (1)原式=21(cos π+isin π)=-21. (3)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos 180°+isin 180°=-1. 规律方法　两个复数三角形式乘法的法则可简记为,模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广: (1)有限个复数相乘,结论亦成立. 即z1·z2·…·zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)·…·rn(cos θn+isin θn) =r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]. (2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos θ +isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍. 变式训练2计算下列各式: (2)3(cos 18°+isin 18°)·2(cos 54°+isin 54°)·5(cos 108°+isin 108°); (2)原式=3×2×5[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+54°+108°)] =30(cos 180°+isin 180°)=-30. 探究点三　复数三角形式的除法运算 【例3】 计算下列各式: (2)原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos 360°+isin 360°)=9. 规律方法　进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除等于商的模,用被除数辐角减去除数的辐角等于商的辐角,即可得两个复数的除法结果. 探究点四　复数乘除法运算的几何意义 【例4】 已知复数乘法(x+yi)(cos θ+isin θ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转 得到的点的坐标为　 　　　　.  解析 复数乘法(x+yi)(cos θ+isin θ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转 得到的点的对应的复数为 变式探究若将条件“逆时针方向”改为“顺时针方向”,其结果如何? 规律方法　逆时针方向旋转与复数的乘法的几何意义相对应;顺时针方向旋转与复数的除法的几何意义相对应.可简记为“逆乘顺除”四个字. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化; (2)复数在三角形式下的乘法、除法运算; (3)复数在三角形式下的乘法、除法运算的几何意义. 2.方法归纳:转化与化归、数形结合. 3.常见误区:(1)辐角和辐角主值容易混淆;(2)若arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)不一定为α+β,arg( )不一定为α-β. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A.1 B.3 C.5 D.7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 6.复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是(　　) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D.sin 160°+icos 160° B 解析 (sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°) =sin210°-cos210°+2sin 10°cos 10°i=-cos 20°+sin 20°I =cos 160°+isin 160°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(多选)设z1,z2是复数,arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些(　　) A.α+β B.α+β-2π C.2π-(α+β) D.π+α+β AB 解析 设z1=r1(cos α+isin α),z2=r2(cos β+isin β),则z1z2=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)], ∴arg(z1z2)=α+β+2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图,与复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模,且r=. 以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi的辐角. 从图可以知道: 因此,z=a+bi=rcos θ+irsin θ=r(cos θ+isin θ). 于是,任何复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示为z=r(cos θ+isin θ),其中r=,cos θ=,sin θ=. 显然当a>0时,arg a=0,arg(-a)=π,arg(ai)=,arg(-ai)=. (1)z=cos-isin是复数z=1-i的三角形式.(　　) (2)复数0没有三角形式.(　　) (3)复数z=2cos-+isin-的辐角主值为-.(　　) (4)z=sin+icos的辐角主值为.(　　) (5)复数z=2cos+isin的共轭复数的三角形式为=2(cos-isin).(　　) (1)6;(2)1+i;(3)1-i;(4)-i. (2)1+i=. (3)1-i=2. (4)-i=cos+isin. 两个复数z1,z2相乘时,可以先画出它们分别对应的向量,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积.这是复数乘法的几何意义. (1)cos+isin3=-1.(　　) 3.[人教A版教材例题]已知z1=cos+isin,z2=2,求z1z2,请把结果化为代数形式. 解z1z2=×2 ×2[cos+isin]=3=3i. [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 两个复数z1,z2相除时,先分别画出与z1,z2对应的向量,然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示复数z1,z2的商.这是复数除法的几何意义. (1)已知π<θ<,复数的辐角主值为3θ-2π.(　　) (2)若arg z1=α,arg z2=β,则arg()=α-β.(　　) 解 (1)因为r=5,cos θ=0,sin θ=1,所以θ=,所以5i=5. (3)因为r==3,cos θ=-,sin θ=-,所以θ=, 于是-3-3i=3. (4)因为r==2,cos θ=-,sin θ=, 所以θ=,于是-1+i=2. (1)求复数的模:r=; (2)-i; (3)i; (4)10; (5)4. (2)因为r==2,cos θ=,sin θ=-, 所以θ=,于是-i=2. (3)因为r==3,cos θ=,sin θ=, 所以θ=,于是i=3. (4)原式=10=5+5i. (5)原式=4=-2+2i. (1)3·7; (2); (2)原式=24(cos+isin)=16=-8-8i. (1)2·4; (3). 解 (1)原式=8[cos+isin]=8=4+4i. (3)原式=36cos+isin=36(cos π+isin π)=-729. (1); (2). 解 (1)原式=[cos+isin()]=3=3i. 变式训练3[人教A版教材例题]计算4cos+isin÷2cos+isin,并把结果化为代数形式. 解 原式=2cos+isin=2cos+isin=2(0+i)=2i. (3-2,2+3)　 (6+4i)·(cos+isin)=(6+4i)(i)=3-2+(2+3)i.所以得到的点的坐标为(3-2,2+3). 解 将点(6,4)绕原点顺时针方向旋转得到的点的对应的复数为=3-3i+2i+2=3+2+(2-3)i.所以得到的点的坐标为(3+2,2-3). 1.[2023江苏南京玄武期中]复数z=i的三角形式是(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 解析 z=i=2=2. 故选C. 2.=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析 =2[cos(π-)+isin(π-)]=2(cos+isin)=-1+i.故选C. 3.复数z=sin-icos,若zn=(n∈N),则n的最小值是(　　) 解析 z=sin-icos=cos-+isin-, =cos+isin=cos-+isin-n=cos-+isin-. 又n∈N,∴n的最小值为5. 4.=　　　　　,其模为　　　　　.  2+2i 解析 =4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)] =4(cos 45°+isin 45°)=2+2i,其模为=4. 解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°) =2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°) =2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)] =2(cos 210°+isin 210°)=2-i =-i. A. B. C. D. 解析 arg z1+arg z2+arg z3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z. ∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=.又<arg z1<2π,arg z2=<arg z3<π,∴arg z1+arg z2+arg z3∈(2π+,3π+), ∴arg z1+arg z2+arg z3=π. 9.若分别对应复数z1=1+2i,z2=7+i,求∠Z2OZ1,并判断△OZ1Z2的形状. 解∵(cos+isin), ∴∠Z2OZ1=. 又Z1(1,2),Z2(7,), ∴=(6,-),∴=(1,2)·(6,-)=1×6+2×(-)=0, ∴,即∠OZ1Z2=, ∴△OZ1Z2是∠OZ1Z2=90°的直角三角形. $$