精品解析：广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试题

2024年8月广东八校高三联合检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与，则下列说法错误的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的左､右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于､两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 14. 盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 16. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年8月广东八校高三联合检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求得集合,再求交集即得. 【详解】由可得，因在R上为增函数，故， 则，故. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】由，得，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，可得，再由，利用坐标运算，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若，则，所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由， 由， 可得， 所以. 故选：C 5. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得 【详解】当时， ,依题须使恒成立，则； 当时，由在上递增，须使，即； 又由解得 . 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数与，则下列说法错误的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称轴方程和对称中心坐标，结合正弦型函数的值域性质、单调性逐一判断即可. 【详解】对于，令，得的对称轴为， 令，得的对称轴为，显然与有相同的对称轴，A正确； 对于，令，得的对称中心为， 令，得的对称中心为， 由得， 显然不存在整数使成立，故与没有相同的对称中心，B错误； 对于C，与的值域显然均为，C正确； 对于D，当时 由在上递增， 由在上递减， 由在上递增， 由在上递减， 与均在上单调递增，在上单调递减，D正确. 故选：B 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性和题设条件易得，可知A，B正确，C错误；对于D，只需判断，结合正态曲线的特征即可排除D. 【详解】对于A，由知是1和3的中间值，故，故A正确； 对于B，C，在正态分布中，，故B正确，错误； 对于D，当时，由正态曲线的特征可得，，所以错误. 故选：AB. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的左､右焦点分别是，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于､两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定a，b，c的关系，化简求离心率. 【详解】∵ 为正三角形， ∴ ，又， ∴ ∴， ∴ ∴ ,（舍去） 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对于：，可得， 当，则， 可知曲线在处的切线是； 对于：，可得， 令得， 由切点在曲线上得. 故答案为：. 14. 盒中有3个红球、个黄球、个绿球，所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为，则______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据条件得到盒中共有个球，再由题知满足超几何分布，利用超几何分布的期望公式，即可求解. 【详解】设盒中共有个球，则，解得， 依题意满足超几何分布，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合外接圆的面积可以求出，根据三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 化简得， 因为，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时“”成立， 即面积的最大值为. 16. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2） ，当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 如图1，取为内一点， 作，交于点，作，交于点， 因为平面平面且平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理，因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得； （2）根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示. 依题意. 则. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为，则. 因，故，故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $