1.1.1 数列的概念课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 1.1　数列的概念 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式). 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任何一项. 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　数列及其有关概念 具有次序性,与集合中的元素性质不同   1.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的　　.数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫作这个数列的　　　　　　　,　　　　　　,…,　　　　　,…,其中数列的第1项也叫数列的　　　　,第n项也叫数列的　　　　.  2.数列的一般形式可以写成　　　　　　　　　　,或简记为数列　　　　　.  项 第1项 第2项 第n项 首项 通项 a1,a2,a3,…,an,… 　{an} 名师点睛 1.数列是按一定的“次序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3与3,2,1就是不同的数列. 2.符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项. 思考辨析 1.数列与集合之间有怎样的区别与联系? 提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性; (2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数; (3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项. 2.数学中有着许许多多神奇的数字,例如1,3,6,10,15,…这样的数字被称为三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图1).同样1,4,9,16,25,…这样的数字被称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图2). 图1 图2 两组图形的点数可以各自构成一列数,这些数能否调换顺序? 提示 每列数的每个数字的位置都是有顺序的,是不能调换顺序的,若调换顺序,就会得到一列新的数. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1) 0,0,0,6不是一个数列.(　　) (2)数列0,1,3与数列3,1,0是同一个数列.(　　) (3)数列1,3,5,7,…的首项是1.(　　) × × √ 2.[人教B版教材习题]已知数列{an}为2,4,8,16,…,写出a1,a2,a3. 解 a1=2,a2=4,a3=8. 知识点2　数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 思考辨析 如何区分一个数列是有穷数列还是无穷数列? 提示 根据数列中的项数进行区分,如果数列中项数是有限个,则为有穷数列;项数是无限个,则为无穷数列. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1){0,1,2,3,4,5}是有穷数列.(　　) (2)按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.(　　) (3)-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列.(　　) (4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.(　　) × √ × × 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列 B.数列1,2,3,4,5,6可以表示为{1,2,3,4,5,6} C.0,2,4,6,8是有穷数列 D.1,1,1,1,1,…是一个数列 CD 解析 两个数列只有数字相同,数字的排列顺序也相同时,才是同一个数列,故A不正确;数列与集合不同,数列不能表示成集合的形式,故B不正确;数列0,2,4,6,8的项数确定了,所以该数列是有穷数列,故C正确;根据数列定义知D正确.故选CD. 知识点3　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列是一种特殊的函数 名师点睛 1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或其子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式. 2.并不是所有的数列都有通项公式. 3.同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1, 1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等. 思考辨析 若数列{an}的前5项为4,6,8,10,12,能否用一个式子表示数列中的每一项?试写出这个关系式. 提示 能,an=2n+2,n∈N+. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)数列的通项公式就是相应函数的解析式.(　　) (2)每个数列都有通项公式.(　　) (3)数列的通项公式的形式是唯一的.(　　) √ × × 2.[2024湖南长沙期末]已知数列{an}的通项公式为 ,则a4=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C.0 D.-1 A 3.若数列{an}中,an=2n,则16是这个数列的(　　) A.第16项 B.第8项 C.第4项 D.第2项 解析 令an=2n=16,得n=4. C 重难探究·能力素养速提升 探究点一　数列的概念与分类 【例1】 下列说法正确的是(　　) B.数列{an}的前4项为1,2,3,4,则第5项一定是5 C.-1,1,3,5,…是数列 D.数列0,2,4,6,8,…是有穷数列 C 解析 A中,-4,5,2, 是数列;B中,数列的第5项不一定是5;D中,数列应为无穷数列;很明显C正确. 规律方法　1.数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别. 2.如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列. 3.同一个数在数列中可以重复出现. 4.数列是有穷数列还是无穷数列,要根据数列的项数的有限性或无限性来判断. 变式训练1以下说法正确的是(　　) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列中的项与顺序无关 C.数列0,2,4,6,…可记为{2n} D.数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7 D 解析 A错误,例如无穷个3构成的数列3,3,…,3,…;B错误,数列中的项与顺序有关;C错误,数列0,2,4,6,…的首项为0,数列{2n}的首项为2.故选D. 探究点二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (4)9,99,999,9 999,…. (3)数列中的每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合可得原数列的一个通项公式为 (4)an=10n-1. 规律方法　用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法 (2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题. (3)对于项周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等. 变式训练2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)7,77,777,7 777,…. 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为 (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1). 探究点三　数列通项公式的应用 【例3】 已知数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6. (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? 解 (1)∵an=n2-7n+6,∴a4=42-7×4+6=-6. (2)令an=n2-7n+6=150,即n2-7n-144=0,解得n=16或n=-9(舍去), ∴150是这个数列的项,是第16项. 规律方法　数列中项的判定方法 变式训练3已知数列的通项公式为an= . (1)写出数列的前3项. (2) 是不是它的项?如果是,是第几项? 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. 2.方法归纳:观察法、归纳法. 3.常见误区:忽视数列中项的顺序性. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)下列叙述不正确的是(　　) A.同一个数在数列中可能重复出现 B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数 C.任何数列的通项公式都存在 D.数列的通项公式是唯一的 BCD 解析 选项A显然正确;数列的通项公式的定义域是正整数集N+或其子集,选项B错误;并不是所有数列都有通项公式,选项C错误;数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,选项D错误.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. [探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N+,则-8是该数列的(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 C 解析 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. [探究点三]已知数列{an}的通项公式为 ,n∈N+,则该数列的前4项依次为(　　) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点二·2024山东滨州月考]已知一数列:0,2,-6,12,-20,30,…,则该数列的通项可以表示为　　　　　　.  (-1)n×(n2-n) 解析 0=(-1)1×(12-1), 2=(-1)2×(22-2), -6=(-1)3×(32-3), … 30=(-1)6×(62-6), …, 故该数列的通项可以表示为(-1)n×(n2-n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. [探究点二]根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…. 解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. [探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=-n2+n+110. (1)20是不是{an}中的一项? (2)当n取何值时,an=0. 解 (1)令an=-n2+n+110=20, 即n2-n-90=0,∴(n+9)(n-10)=0, 解得n=10或n=-9(舍去). ∴20是数列{an}的第10项. (2)令an=-n2+n+110=0,即n2-n-110=0, ∴(n-11)(n+10)=0,解得n=11或n=-10(舍去), ∴当n=11时,an=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选题) 下列选项中能满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式的有(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图是由7个有公共顶点O的直角三角形构成的图案,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为(　　) A.an=n,n∈N+ D.an=n2,n∈N+ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则下列说法正确的是(　　) A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 D.84不是此数列中的项 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}的通项公式 ,n∈N+,则a1=　　　　　; an+1=　　　　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.323是数列{n(n+2)}的第　　　　项.  17　 解析 由an=n2+2n=323,解得n=17,或n=-19(舍去). ∴323是数列{n(n+2)}的第17项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知数列{an}的通项公式为an=4n-1. (1)135,4m+19(m∈N+)是数列{an}中的项吗?为什么? (2)若am,at(m,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2am+3at是数列{an}中的项吗?请说明理由.  解 (1)令an=4n-1=135,得n=34, ∴135是数列{an}的第34项; ∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+, ∴4m+19是数列{an}的第m+5项. (2)∵am,at是数列{an}中的项, ∴am=4m-1,at=4t-1, ∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1, ∵2m+3t-1∈N+, ∴2am+3at是数列{an}的第2m+3t-1项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an=sinπ 解析 a4=sin=sin(2π+)=sin=1. A.-4,5,2,不是数列 (1)1,-,-,…; (2),2,,8,…; (3),…; 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+. (2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,即,…,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+. an=,n∈N+. (1)-,-,…; an=,n∈N+. (3)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999,即×(10-1),×(100-1), ×(1 000-1),×(10 000-1),即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1),所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+. 解 (1)数列的前3项:a1==1,a2=,a3=. (2)令,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8, 注意到n∈N+,故n=-8舍去. 所以是数列的第5项. 令,则4n2+12n-27=0,解得n=或n=-, 注意到n∈N+,所以不是此数列中的项. 解析 由数列-,-,-,…,可化为数列-,-,-,…,可得数列的第n项为an=(-1)n·,所以第100项为(-1)100·. 故选C. 2.[探究点三]已知数列-,-,-,…,则该数列的第100项为(　　) A.- B. C. D.- an= C.,0,,0 D.2,0,2,0 解析 把n=1,2,3,4依次代入数列{an}的通项公式,得a1==1,a2==0,a3==1,a4==0. 故选A. (2)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,∴an=(1-). 8.数列{an}满足an=+…+,n∈N+,则a2等于(　　) A. B. C. D. 解析 因为an=+…+, 所以a2=. 故选C. A.an= B.an=sin C.an=cos2 D.an= 解析 对于A,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式; 对于B,当n为奇数时,an=sin=1或-1,当n为偶数时,an==0,不满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式; 对于C,当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式; 对于D,当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式. 故选ACD. 10.若数列的前4项分别是,-,-,则此数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. B.an=,n∈N+ C.an=,n∈N+ 解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…, ∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,…. C.此数列的通项公式为an= 解析 观察此数列,当n为偶数时,an=;当n为奇数时,an=,所以此数列的通项公式为an=所以C正确;a20==200,A正确;a19==180,B错误;a13==84,故84是此数列的第13项,D错误.故选AC. an= 　 解析 a1==1, an+1=. 16.(多选题)Farey数列是这样定义的:对任意给定的一个正整数n,将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列,并且在第一个分数之前加上,在最后一个分数之后加上,这个序列称为n级Farey数列,用{Fn}表示.如{F3}的各项为,共有5项,则(　　) A.数列{Fn}都有奇数个项 B.6级Farey数列{F6}中,中间项为 C.6级Farey数列{F6}共有11项 D.6级Farey数列{F6}各项的和为 解析 1级Farey数列{F1}各项为,A错误; 6级Farey数列{F6}各项为,共有13项,中间项为,各项的和为,故B正确,C错误,D正确. 故选BD. $$