1.3.1 等比数列的概念及其通项公式（第1课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.通过实例,理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程,并理解其意义. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　等比数列的概念及通项公式 顺序不能颠倒　　 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示. 名师点睛 对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项. (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒. (4)等比数列中的任何一项均不能为零. (5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零. 2.等比数列的通项公式 首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0). 当q>0且q≠1时该通项公式可看作指数型函数 名师点睛 1.已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量. 2.变形形式an=am·qn-m. 思考辨析 1.等比数列中有为0的项吗?公比为1的数列是等差数列吗? 提示 由等比数列的定义知等比数列中没有为0的项,公比为1的数列既是等差数列又是等比数列. 2.常数列可以是等比数列吗?    3.类比等差数列,你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 提示 各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等比数列的公比可以为任意实数.(　　) (2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.(　　) (3)常数列既是等差数列又是等比数列.(　　) × × × 2.[苏教版教材例题]判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1; (2)0,1,2,4,8; 解 (1)所给数列是首项为1,公比为1的等比数列. (2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列. (3)所给数列是首项为1,公比为- 的等比数列. 3.[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表. 序号 a1 q n an (1) 3 -2 5   (2)     4   (3) -2   4 -32 (4) 3   5 48 (5) 3 2   24 48 ±2 4 知识点2　等比中项  如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G称为a与b的等比中项,此时G2=ab. 不是所有的两个数都有等比中项 名师点睛 等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项. (2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. 思考辨析 等比中项与等差中项有什么区别? 提示 (1)任意两数都存在等差中项,但不是任意两数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项. (2)任意两数的等差中项是唯一的,而如果两数有等比中项,则这两数的等比中项有两个,且互为相反数. 自主诊断 1.判断正误(正确的画√,错误的画×) (1) -3和5这两个实数没有等比中项.(　　) (2)2和8的等比中项是4.(　　) (3)若G2=xy,则G叫x,y的等比中项.(　　) √ × × 2.[人教B版教材习题]求下列各组数的等比中项. (1)4,9; 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等比数列基本量的计算 【例1】 [苏教版P146例4]在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=-2,求a6; (2)已知a3=20,a6=160,求an. 解 (1)由等比数列的通项公式,得a6=3×(-2)6-1=-96. 规律方法　等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项. (2)在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(amq≠0)也可求出等比数列中的任意一项. 变式训练1在等比数列{an}中, (1)已知an=625,n=4,q=5,求a1; (2)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式. (2)∵a3=a1·q2,即8=2q2,∴q2=4,∴q=±2. 当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n; 当q=-2时,an=a1qn-1=2×(-2)n-1=(-1)n-12n, ∴数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n. 探究点二　等比中项及其应用 【例2】 已知等比数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项. 规律方法　1.首项a1和公比q是等比数列{an}的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. 2.解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项. 变式训练2(1)在等差数列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则公差d等于(　　) A.-3 B.0 C.3 D.0或3 D (2)三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数是　　　　　　　　.  2,4,8或8,4,2　 探究点三　等比数列的判断或证明 角度1.已知数列的前若干项判断其是否为等比数列 【例3】 判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,32,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…; (4)在数列{an}中, =q(q≠0),其中n∈N+. 解 (1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…. ∴数列为等比数列,且公比为3. (2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…, (3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列; 当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a. (4)是等比数列. 规律方法　判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起;②要判定每一项,不能有例外;③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0. 变式训练3下列各组数成等比数列的是(　　) ①1,-2,4,-8;②- ,2,-2 ,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4. A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ C 解析 ①②显然是等比数列;∵x可能为0,∴③不是等比数列; ∵a不能为0,∴④符合等比数列定义,故④是. 角度2.已知递推公式判断其是否为等比数列 【例4】 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵an+1=2an+1, 又a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.∴数列{an}的通项公式为an=2n-1. 规律方法　证明数列是等比数列常用的方法 变式训练4数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…). (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)a2=3a1-2×2+3=-4, a3=3a2-2×3+3=-15. 又a1-1=-2,∴数列{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)知an-n=-2×3n-1,∴an=n-2×3n-1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列基本量的运算. (2)等比中项及其应用. (3)等比数列的判定. 2.方法归纳:方程(组)思想、不完全归纳法. 3.常见误区:(1)等比中项仅取正值;(2)不会判断数列的通项公式. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点一]在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 C 解析 ∵a4=a1q3=4,∴a2·a6=a1q·a1q5= q6=(a1q3)2=42=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二]已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于(　　) A.6 B.-6 C.±6 D.±12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点一]设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N+且a2-a6=30,则当Tn取得最小值时n=(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. [探究点一]在160与5之间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　　　　.  80,40,20,10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点二]已知数列-1,a1,a2,a3,-4为等差数列,数列-1,b1,b2,b3,-4为等比数列,则 =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点一]已知数列{an}是首项为负数,公比为q的等比数列,若对任意的正整数n,2a2n-1+a2n>0恒成立,则q的值可以是　　　 　. (只需写出一个)  -3(答案不唯一,q<-2即可) 因为q≠0,显然有q2n-2=(qn-1)2>0, 又a1<0,所以q+2<0,q<-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点一]在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5= . (1)求数列{an}的通项公式; (2)- 是否为该数列的项?若是,为第几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点三(角度2)]已知数列{an},{bn}满足:a1=1,b1=0,4bn+1=an+3bn+4, 4an+1=3an+bn+4,证明数列{an+bn}是等差数列,数列{an-bn}为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 证明 将4an+1=3an+bn+4,4bn+1=an+3bn+4两式相加得4(an+1+bn+1)=4(an+bn)+8, 所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=2, 所以数列{an+bn}是以2为公差的等差数列. 将4an+1=3an+bn+4,4bn+1=an+3bn+4两式相减得4(an+1-bn+1)=2(an-bn), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 18 19 20 11. 在等比数列{an}中,a1= ,公比q=2,则a3与a5的等比中项是(　　) A.2 B.4 C.±2 D.±4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,若a1,a3,a7成等比数列,则 a2 023=(　　) A.2 023 B.2 024 C.4 046 D.4 048 B 解析 设数列{an}的公差为d,且d≠0, 若a1,a3,a7成等比数列,则 =a1a7, 又因为a1=2,所以(2+2d)2=2(2+6d), 化简得4d2-4d=0,即4d(d-1)=0, 又因为d≠0,所以d=1, 所以a2 023=2+2 022×1=2 024.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.已知数列{an}满足a1=2,an+1= ,则数列{an}的通项公式为an=(　　) A.2n-1 B.2n-1 C. D.n2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.(多选题)已知等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=8a3,a3+a4=6a2,则下列结论中正确的有(　　) A.a1=2 B.an=2n-1 D.存在m,n,p∈N+,且m<n<p,使得am+an=ap BC 解析 因为等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=a3·a4=8a3,a3+a4=6a2, 解得q=2或q=-3(舍去), 故a1=1,an=2n-1,A错误,B正确; 若m,n∈N+,am·an=2m+n-2=16, 所以m+n=6, 若am+an=ap,则2m-1+2n-1=2p-1, 因为m<n<p,所以1+2n-m=2p-m,左边为奇数,右面为偶数,上式不可能成立. 故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　.  1 解析 设等差数列的公差为d, 则a3=a1+2d,a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.若等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2,则an=　　　　;若{bn}是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=　　　　.  2n+2 63 解析 由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列{bn}的公比q=2,b1=4.又b6=ak,故2k+2=4×25,解得k=63. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为　　　(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……).  4 095　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19.在等比数列{an}中,若{an}为递增数列,且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 提示 设一个等比数列的首项是a1,公比是q,则由定义可知=q(n∈N+,且n≥2).an=·…··a1=q·q·…·q·q·a1=a1qn-1,当n=1时,上式也成立. (3)1,-,-. 　 (2)4-,4+. 解 (1)±6.(2)±. (2)设等比数列的公比为q,那么 解得所以an=a1qn-1=5×2n-1. 解 (1)∵an=a1·qn-1,∴a1==5. 解 设该等比数列的公比为q,首项为a1, ∵∴ ∵1-q3=(1-q)(1+q+q2), 上述两式相除,得q(1-q)=,∴q=.∴a1==96. 若G是a5,a7的等比中项,则应有G2=a5·a7=a1q4·a1q6=q10=962×()10=9. ∴a5,a7的等比中项是±3. 解析 设等差数列{an}的公差为d,∵a4=9,a2,a4,a10构成等比数列, ∴ 解得 故选D. 解析 设这三个数所成等比数列中的项依次为,a,aq(aq≠0),则+a+aq=14,·a·aq=64,即a(1+q+)=14,a3=64,解得a=4,q=或2.故这三个数所成的等比数列为8,4,2或2,4,8. ∵=3(n≥2,n∈N+), ∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列. ∴=2(n∈N+). =3(n=1,2,3,…). 解析 ∵a=,b2=(-1)×(-16)=16,b=±4, ∴ab=±6. 3.[探究点三(角度2)]若数列{an}满足=0,则称{an}为“必会数列”,已知正项数列{an}为“必会数列”,若a4+a5=3,则a2+a3=(　　) A. B.1 C.6 D.12 解析 由题意知数列{an}满足=0,可得an+1=an,故正项数列{an}是以q=为公比的等比数列,则a4+a5=q2(a2+a3)=(a2+a3)=3,∴a2+a3=12. 4.[探究点三(角度1)]若数列{an}是公比为的正项等比数列,则{·a2n}是(　　) A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.公差为的等差数列 解析 设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=. ∴这4个数依次为80,40,20,10. 解析 由-1,a1,a2,a3,-4成等差数列,可得公差d==-,所以a2-a1=-. 又由-1,b1,b2,b3,-4成等比数列, 可得=-1×(-4)=4. 设等比数列的公比为q,可得b2=-1·q2<0, 所以b2=-2,所以. 解析 由2a2n-1+a2n>0可得,2a1q2n-2+a1=a1q2n-2(q+2)>0恒成立, 解 (1)因为2an=3an+1, 所以,数列{an}是公比为的等比数列. 又a2·a5=,所以)5=()3,由于数列的各项均为负数,故a1=-,an=-()n-2. (2)设an=-,则-=-()n-2,()n-2=()4,n=6,所以-是该数列的项,为第6项. 所以,且a1-b1=1≠0, 所以数列{an-bn}是以为公比的等比数列. 解析 因为a3a5==(a1q3)2==16, 所以a3与a5的等比中项是±4, 故选D. …… A. B. C. D. 解析 易知an>0,且an≠1,在an+1=的两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an, 故=2,所以数列是以lg 2为首项,2为公比的等比数列, 所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=. 故选C. C.若m,n∈N+,am·an=16,则的最小值为 所以a4=8,+8=, 则)=(5+)≥(5+2)=, 当且仅当且m+n=6,即m=2,n=4时,等号成立,C正确; ∴q==1. 解 由=a10=a5·q10-5,且a5≠0,得a5=q5, 即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q. 由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan, ∵an≠0,∴2(1+q2)=5q, 解得q=或q=2. ∵a1=q,且{an}为递增数列,∴a1=2,q=2,∴an=2·2n-1=2n(n∈N+). 20.在△ABC中,AD是底边BC上的高,垂足为点D,且. (1)若边长AB,BC,CA成等比数列,求∠BAC的正弦值; (2)求的最大值. 解 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. ∵边长AB,BC,CA成等比数列,∴bc=a2. ∵,∴a=3AD,bc=9AD2. ∵S△ABC=bcsin∠BAC=AD·a, ∴9AD2sin∠BAC=AD·3AD,∴sin∠BAC=. (2)∵BC=3AD,=sin∠BAC,∴=3sin∠BAC+2cos∠BAC=sin(∠BAC+α)≤, 且tan α=, ∴的最大值为. $$