1.3.1 等比数列的概念及其通项公式（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的性质及应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质. 2.能够运用等比数列的性质解决有关问题. 3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　等比数列{an}的常用性质 1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则　　　　　　.  特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则 2.an=am·　　　　(m,n∈N+).  3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为　　　　.  4.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列), 等也是等比数列. 5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1. 注意等式成立的前提和角标规律 此时ap是am和an的等比中项 am·an=ap·aq qn-m qn-m 名师点睛 等比数列{an}的增减性 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. (3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. 思考辨析 1.[人教B版教材习题]如果等比数列{an}中公比q>1,那么{an}一定是递增数列吗?为什么? 提示 不一定,比如公比为2的等比数列-1,-2,-4,-8,-16,…. 2.在等比数列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立? 提示 不一定成立,如数列{an}的通项公式an=2的常数列,公比为1,此时am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是递增数列.(　　) (2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.(　　) (3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.(　　) (4)若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am·an=ap.(　　) √ × × × 2.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D 解析 当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立;当数列{an}是递增数列时,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 3.[2024陕西咸阳期中]在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=　　　　.  2 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等比数列通项公式的推广应用 【例1】 (1)已知在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则 =(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 C (2)已知等比数列{an}中,若a4=2,a7=8,求an. 规律方法　1.应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1. 2.等比数列的增减性由a1,q共同确定,但只要数列递增或递减,必有q>0. 变式训练1已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 B 解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21, 解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B. 探究点二　等比数列的性质及其应用 【例2】 (1)在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,则数列{an}有　　　　项.  12 解析 由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2, 则a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6, 故数列{an}有12项. ★(2)已知{an}为等比数列. ①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; ②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. ∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5. ②根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10. 规律方法　巧用等比数列的性质解题 变式训练2 (1)在正项等比数列{an}中,若a6=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=(　　) A.5 B.6 C.10 D.11 D 解析 因为a6=3,且{an}为等比数列, 所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7= =32, 所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11. 故选D. ★(2)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1, a8+a9>a8a9+1>2,记数列{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是(　　) A.q>1 B.a8>1 C.T16>1 D.T17>1 BC 解析 由a8+a9>a8a9+1,得(a8-1)(1-a9)>0,即a8,a9中一个大于1,另一个小于1.∵等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,即q>0,∴数列{an}要么是递增数列,要么是递减数列,而a1>1,∴综上可知,a8>1>a9,即数列{an}为递减数列且0<q<1.∵T16=a1·a2·…·a16=(a8a9)8,又a8a9>1,∴T16>1,而T17=(a9)17<1,故选BC. 探究点三　由等比数列衍生的新数列 【例3】 已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(　　) D 解析 ∵{an}为等比数列, ∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列, ∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10. 又数列{an}各项均为正数,∴a4a5a6=5 . 规律方法　借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量. 变式训练3在等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为(　　) A.32 B.64 C.128 D.256 B 解析 由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且 =2,故a36=4×24=64. 探究点四　等比数列的实际应用 【例4】 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他能得到多少钱? 解 (1)n年后车的价值依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列, ∴n年后车的价值为an=13.5×0.9n万元. (2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857 35(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,能得到8.857 35万元. 规律方法　等比数列应用题的关注点 (1)常见类型:增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. (2)关键:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题. (3)步骤 构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答 变式训练4《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主贵之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马”,马主曰:“我马食半牛”,今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,苗主人要求赔偿五斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半”,马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半”.则牛主人比羊主人多赔偿粟的斗数是(　　) B 解析 由题意,羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次成等比数列{an},且公比q=2, 因为一共赔偿五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列通项公式的推广应用. (2)等比数列的性质及其应用. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳:化归转化、数学建模. 3.常见误区:等比数列性质的错用,例如误用为a6=a2·a4. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二]在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10=(　　) A.6 B.2 C.2或6 D.-2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点三·2024深圳期末]在等比数列{an}中,a2+a3+a4+a5=243, a5+a6+a7+a8=72,则a7+a8+a9+a10=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点四]一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程持续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(　　) A.65只 B.66只 C.216只 D.36只 B 解析 设第n天蜜蜂归巢后,蜂巢中共有an只蜜蜂,则a1=6,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,∴{an}是首项为6,公比为6的等比数列.∴a6=a1·q6-1=66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点二]已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=　　　　.  8 解析 由等比数列的性质,得a3a11= =4a7.∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. [探究点二]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 C 解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9, ∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点二]在等比数列{an}中,a6a12=6,a4+a14=5,则 =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. [探究点二]在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为　　　　　.  8 解析 设这8个数组成的等比数列为{an}, 则a1=1,a8=2. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二、三]在等比数列{an}中,an>0,n∈N+,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又∵an>0,∴a3+a5=5.① ∵a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.② ∵q∈(0,1),∴a3>a5. ∴由①②解得a3=4,a5=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,b1=4. ∴数列{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点二](1)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2 023和a2 024是方程4x2-8x+3=0的两根,求a2 033+a2 034的值; (2)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,求通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 在等比数列{an}中,由a4a7=-512,得a3a8=-512, 又a3+a8=124, 解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4, 故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. [探究点二]已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 12.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为 (　　) A.100 B.-100 C.10 000 D.-10 000 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于 (　　) A.12 B.13 C.14 D.15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.(多选题) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则下列说法正确的是(　　) A.若a1>0,则S4>a8 B.若a1>0,则S4≤a8 C.若a1<0,则S4>a8 D.若a1<0,则S4<a8 AD 解析 设等差数列{an}的公差为d≠0, ∵a1,a2,a5成等比数列,则 =a1a5, 可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d, 由d≠0,则d=2a1, 则S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1, 对于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0, 故S4>a8,A正确,B错误; 对于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0, 故S4<a8,D正确,C错误. 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.(多选题)[2024江苏扬州检测]已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　) A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0 C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0 BD 解析 对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不一定成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B成立;对于C,ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3>0不一定成立,C不一定成立;对于D, ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立,故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.(多选题) 若等比数列{an}的第4项和第6项分别是48和12,下列选项中说法正确的是(　　) A.{an}的公比为 B.{an}的第5项是24 C.a3·a2 022=a1·a2 024 D.a3+a2 022=a1+a2 024 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=　　　　　　　　.  1 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a6=2,a4+a5=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a1a3a5…a2n-1,n∈N+,求数列{bn}的最大项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 20.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=2a1,且数列{Sn+a1}是等比数列,求证:{an}是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 am·an=.　 {}, 解析 在正项等比数列{an}中,a4a8a12==8,∴a8=2,则log2a2+log2a14=log2(a2a14)=log2=log222=2. 解析 (方法一)在等比数列{an}中,设其公比为q(q≠0),a3=2,a4a6=16, ∴解得 ∴=q4=4.故选C. (方法二)由题意a5=4,设公比为q,所以q2=2, 所以=q4=4. 解 ∵=q7-4=,即q3=4,∴q=, ∴an=a4·qn-4=2·()n-4=2·()n-4=(n∈N+). 解 ①a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25, A.4　 　B.6　 　C.7　 　D.5 A. B. C. D. 所以a1=,因此a3=4a1=,所以a3-a1=. 即牛主人比羊主人多赔偿斗粟. 故选B. 1.[探究点一]已知{an}是等比数列,a2=2,a4=,则公比q等于(　　) A.- B.-2 C.2 D.± 解析 由题意可得=q2=,解得q=±. 解析 由题知a2+a18=-6,a2·a18=4,所以a2<0,a18<0,故a10<0,所以a10=-=-2,因此a4a16+a10=+a10=2. A. B. C.32 D.64 解析 设等比数列{an}的公比为q,则a5+a6+a7+a8=q3(a2+a3+a4+a5),即243q3=72,解得q=,所以a7+a8+a9+a10=q2(a5+a6+a7+a8)=()2×72=32.故选C. ,∴ 解析 由a6a12=a4a14=6,且a4+a14=5,解得a4=2,a14=3或a4=3,a14=2. 若a4=2,a14=3,则q10=,故=(q10)2=; 若a4=3,a14=2,则q10=,故=(q10)2=. 综上,. ∴q2=,解得q=, ∴a1=16,∴an=16×()n-1=25-n. ∴+2a3a5+=25. ∴Sn==-n2+n. 解 解方程4x2-8x+3=0,得x1=,x2=, 由q>1,得a2 023=,a2 024=,q=3, 所以a2 033+a2 034=(a2 023+a2 024)q10=2×310. 因为公比q为整数,所以q==-=-2, 解 ∵{an}是等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64. 又a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4. ①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=64. ②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×()2=1. A. B. C.2 D.2 解析 ∵奇数项之积为2,偶数项之积为64, ∴a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64, 则=q5=32,则q=2,故选C. 解析 ∵lg(a3a8a13)=lg =6, ∴=106,∴a8=102=100.∴a1a15==10 000. 解析 设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12,可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C. 或- 解析 设该等比数列的公比为q, 由题意可知,a6=a4q2,则q2=,解得q=±,选项A正确; a5=a4q=48×=±24,选项B不正确; 由等比数列性质知,a3·a2 022=a1·a2 024,故选项C正确,D不正确. 故选AC. 解析 设等比数列{an}的公比为q, a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=·q6=1,① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8,② ②÷①得q48=8,q16=2, ∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)(q16)10=210 =1 024. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0), 由a6=2,a4+a5=12,得 解得(舍去), ∴an=64×=27-n. (2)bn=a1a3a5…a2n-1=26×24×22×…×28-2n=, ∴当n=3或n=4时,bn取得最大项212. 证明 设等比数列{Sn+a1}的公比为q, 则q==2, ∴Sn+a1=2a1·2n-1=a1·2n,∴Sn=a1·(2n-1), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a1[(2n-1)-(2n-1-1)]=a1·2n-1, 当n=1时也适合,∴an=a1·2n-1(n∈N+), ∴=2, ∴{an}是等比数列. $$