1.3.2 等比数列前n项和（第1课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 3.2　等比数列前n项和 第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法. 2.掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,能够运用公式解决相关问题. 3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　等比数列的前n项和公式 对首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an},它的前n项和 名师点睛 1.运用等比数列前n项和公式时先要确定公比q是否等于1. 2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用 思考辨析 1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系? 提示 A=-B. 2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量才可以求其他量? 提示 三个. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (3)等比数列前n项和不可能为0.(　　) √ × × 2.[人教B版教材例题]已知等比数列{an}的公比q= ,a8=1,求这个数列前8项的和S8. 知识点2　错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.   　该方法使用时注意两和式中项的对应以公比的幂次一致为标准 2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法. 思考辨析 如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差为d的等差数列,q≠1.两边同乘以q,再两式相减会怎样? 提示 Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,① qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,② ①-②,得(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn =a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn. 同样能转化为等比数列求和. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n+2n,在求Sn时可用错位相减法求和. (　　) (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n·2n,在求Sn时可用错位相减法求和. (　　) × √ 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等比数列前n项和公式的直接运用 【例1】 (1)求下列等比数列前8项的和: 规律方法　求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立. 变式训练1(1)求数列{(-1)n+2}的前100项的和; ★(2)在14与 之间插入n个数,组成所有项的和为 的等比数列,求此数列的项数. 探究点二　根据等比数列的前n项和求基本量 【例2】 一个等比数列{an},a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5. 变式探究设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. 变式训练2在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sm=63,求m. 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. 由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1. 由Sm=63,得2m=64,解得m=6. 综上,m=6. 探究点三　利用错位相减法求数列的前n项和 【例3】 求数列 的前n项和. 变式探究将例3改为“求数列 ,…的前n项和.”情况又如何? 规律方法　错位相减法求和的解题策略 变式训练3已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列, bn=anlog25an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列前n项和公式的直接运用. (2)等比数列基本量的运算. (3)错位相减法求和. 2.方法归纳:方程(组)思想、错位相减法. 3.常见误区:忽略q=1这种情况;运用错位相减法分不清项数. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 1.[探究点一]1-7+72-73+…+(-7)2n=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. [探究点二]在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.[探究点二]在数列{an}中,a1=2,am+n=aman,m,n∈N+.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则正整数k等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.[探究点一]已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列 的前5项和为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点一]若一个等比数列的首项为 ,公比为2,S是该等比数列前10项之和,S'是该等比数列前10项的倒数之和,则 =(　　) A.16 B.32 C.64 D.128 B 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. [探究点一]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　.  3 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2n-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.[探究点三·2024安徽合肥期末]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)若bn=(2n-1)(2an+1),求数列{bn}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)bn=(2n-1)(2an+1)=(2n-1)·3n, ∴数列{bn}的前n项和 Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n,① 3Sn=1·32+3·33+5·34+…+(2n-1)·3n+1,② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 19 10.[2024江苏镇江期中]已知等比数列{an}中,an>0,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且S2=48,S4=60,则使得Tn<1成立的正整数n的最小值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和约是(结果保留到个位)(　　) A.300米 B.299米 C.199米 D.166米 A 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.设数列{an}的前n项和为Sn,称 为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2 014,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(　　) D 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.已知数列{an}满足a1=2,对于任意正整数n都有2an+1-an=0,则数列{an}的前6项和是(　　) B 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是(　　) A.q=2 B. =9 C.S3,S6,S9成等比数列 D.Sn=2an+a1 AB 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 为平衡城市旅游发展和生态环境保护,某市计划通过五年时间治理城市环境污染,预计第一年投入资金81万元,以后每年投入资金是上一年的 倍;第一年的旅游收入为20万元,以后每年旅游收入比上一年增加10万元,则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为(　　) A.325万元 B.581万元 C.721万元 D.980万元 B 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.在等比数列{an}中,若a1= ,a4=-4,则公比q=　　　　, |a1|+|a2|+…+|an|=　　　　.  -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 19 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Sn= Sn=(q≠1)较方便;当已知a1,q,an时,用Sn=(q≠1)较方便. (1).(　　) (2)在等比数列{an}中,a1=b,公比为q,则前3项和为.(　　) 解 因为a8=a1q7,所以a1==27, 因此S8==28-1=255. ①,…; ②a1=27,a9=,q<0. 解①因为a1=,q=,所以S8=. ②由a1=27,a9=,可得=27·q8. 又由q<0,可得q=-, 所以S8=. ★(2)[人教B版教材例题]求值:9+99+999+…+. 解 原式=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1) =(10+102+…+10n)-n =-n =(10n-1)-n. 解 a1=(-1)3=-1,q=-1,∴S100==0. 解 设此数列的公比为q(易知q≠1), 则解得 故此数列共有5项. 解 设等比数列的公比为q,则即 ∵a1≠0,1+q2≠0,②÷①得q3=, ∴q=,∴a1=8,∴a4=8×=1,∴S5=. 解 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件. 当q≠1时,=3a1q2. 因为a1≠0,所以1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0, 解得q=-. 所以此数列的公比q=1或q=-. 规律方法　1.an=a1qn-1,Sn=)两公式共有5个量.解题时,有几个未知量,就应列几个方程求解. 2.当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1,q与n时,用Sn=比较方便. (2)若an=(-2)n-1,则Sn=. {} 解 设Sn=+…+,则有Sn=+…+, 两式相减,得Sn-Sn=+…+, 即Sn==1-. ∴Sn=2-=2-(n∈N+). ,…, 解 设Sn=+…+,① 则Sn=+…+,② ①-②,得Sn=+…+,即Sn=+…+ +1-. 所以Sn=3-=3-. 解 依题意,得an=5·5n-1=5n,于是bn=5n·log255n=n·5n. 所以Sn=×1×5+×2×52+×3×53+…+×n×5n, 则5Sn=×1×52+×2×53+×3×54+…+×(n-1)×5n+×n×5n+1, 两式相减,得-4Sn=×5+×52+×53+…+×5n-×n×5n+1, 即-4Sn=(5+52+53+…+5n)-×n×5n+1=×n×5n+1=, 故Sn=. A. B. C. D. 解析 1-7+72-73+…+(-7)2n表示以1为首项,-7为公比的等比数列的前2n+1项和,所以1-7+72-73+…+(-7)2n=. 解析 显然公比q≠1,由Sn=,得93=,解得q=2.由an=a1qn-1,得48=3×2n-1,解得n=5.故选B. 解析 由a1=2,am+n=aman,令m=1,则an+1=a1an=2an,∴{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25, ∴=215-25,即2k+1(210-1)=25(210-1),∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4. {} A.或5 B.或5 C. D. 解析 由9S3=S6,得q≠1,且,即1+q3=9,解得q=2,所以数列{}是首项为1,公比为的等比数列,则数列{}的前5项和为. 解析 依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列,且其首项为4,公比为. 故=32.故选B. 6.[探究点二](多选题)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1, ,则下列说法正确的是(　　) A.{an}必是递减数列 B.S5= C.公比q=4或q= D.a1=4或a1= 解析 ∵S6=4S3,∴q≠1, ∴, ∴q3=3,∴a4=a1·q3=1×3=3. 8.[探究点二]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=　　　　.  解析 设等比数列{an}的公比为q,则q=,所以=2n-1. 解 (1)∵数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1, ∴an+1+=3(an+), 又a1+,∴{an+}是首项为,公比为3的等比数列.∴an+×3n-1=, ∴{an}的通项公式an=. ①-②,得-2Sn=3+2(32+33+34+…+3n)-(2n-1)·3n+1=3+2×-(2n-1)·3n+1 =-6-(2n-2)·3n+1,∴Sn=(n-1)·3n+1+3. 解析 小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×=100+100×()=300-=299≈300(米). Tn= A.1 673 B.1 675 C. D. A. B. C.30 D.126 解析 对任意的n都有2an+1-an=0,则an+1=an,且a1=2, 所以数列{an}是首项为2,公比为的等比数列. 因此数列{an}的前6项和是=4×.故选B. 解析 若a6=8a3,则有q3==8,可解得q=2,A正确;由q=2,则=9,B正确;由q=2,则S3==7a1,S6==63a1,S9==511a1,S3,S6,S9不是等比数列,C错误;由q=2,则Sn==(2n-1)a1,an=a1×qn-1=2n-1a1,Sn=2an+a1不成立,D错误,故选AB. 2n-1-　 解析 设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2.易知数列{|an|}为等比数列,且公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-. 17.已知在公比小于1的等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a2=,S3=. (1)求an; (2)求证:≤Sn<1. (1)解 设等比数列{an}的公比为q. 由 解得(舍去), 所以an=. (2)证明 由(1)得an=, 所以Sn==1-. 因为函数y=在R上为减函数,且y=>0恒成立, 所以当n∈N+,n≥1时,0<, 所以≤Sn<1. 18.已知数列{an}:,…的前n项和为Sn,则S120=　　　　.  19.[2024陕西榆林期末]已知递减的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,S3=7a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求满足Sn≤的所有正整数n的值. 解 (1)根据题意,设等比数列{an}的公比为q,又由a1+a3=,S3=7a3,则有 因为a1≠0,所以解得q=或q=-, 因为等比数列{an}是递减数列,所以q=. 进而解得a1=,故an=a1qn-1=. (2)由(1)的结论an=,则Sn==1-, 若Sn≤,即1-,变形可得2n≤1 000, 又由n∈N+,则n≤9,即n可取的值为1,2,3,4,5,6,7,8,9. $$