1.3.2 等比数列前n项和（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 3.2　等比数列前n项和 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　等比数列前n项和的性质 公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类: (1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1). 限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m都等于0,不是等比数列 (2)当n是偶数时,S偶=S奇·q; 当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q. (3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm. (4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1; 当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. 思考辨析 1.在公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式中,qn的系数与常数项有何关系? 提示 互为相反数. 2.若{an}是公比为q≠-1的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,在其前2n+1项中,你能得出S奇与S偶有何内在关系? 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　　) (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则数列{an}为等比数列.(　　) (3)若{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q.(　　) (4)等比数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.(　　) √ √ √ × 2.[人教B版教材例题]某工厂去年1月份的产值为a元,且月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年全年产值的总和. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等比数列前n项和性质的应用 角度1.连续n项之和问题 【例1】 (1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=(　　) A.32 B.64 C.72 D.216 B 解析 由于S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,所以S9-S6=32,S12-S9=64,即a10+a11+a12=S12-S9=64. (2)已知等比数列{an}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n, (方法二)根据等比数列的性质有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn, 规律方法　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 变式训练1在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 解 ∵S2n=60≠0, ∴数列{an}的公比q≠-1. ∵数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n). 又Sn=48,S2n=60, ∴(60-48)2=48(S3n-60), 解得S3n=63. 【例2】 数列{an}的前n项和Sn=3n-2,求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1. 当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式. (方法一)由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列. (方法二)当等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列. 角度2.对数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)(A≠0,q≠0,q≠1)的应用 规律方法　1.已知Sn,通过 求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1. 2.若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列. 变式训练2若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=　　　　　.  探究点二　等比数列的实际应用 【例3】 王某2017年12月31日向银行贷款100 000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元. (1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2; (2)求每年的还款额(精确到1元). 解 (1)由题意得,a2=100 000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110 250-2.05m. (2)因为100 000×(1+5%)10=1.059m+1.058m+…+m, 所以100 000×1.0510= ,解得m≈12 950. 规律方法　分期付款问题的求解策略 分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题通常有两种处理方法,一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解. 变式训练3某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长 .求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列前n项和性质的应用. (2)等比数列的实际应用. 2.方法归纳:整体代换的方法. 3.常见误区:等比数列的性质混用;不能正确的建立数列模型. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 1. [探究点一]已知数列{an}是递减的等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a3+a4=9,a2a5=18,则S2·a6=(　　) A.54 B.36 C.27 D.18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点一]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12等于(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 C 解析 显然{an}的公比不是-1.由S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,即1,2,a9+a10+a11+a12成等比数列,∴a9+a10+a11+a12=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点一]一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 B 解析 设等比数列的项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则q= =2,又它的首项为1,所以通项为an=2n-1,中间两项的和为an+an+1=2n-1+2n=24,解得n=4,所以项数为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. [探究点一]设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则 的值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点一]已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.  2 解析 设数列{an}的前2n项中,奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶.由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q= =2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点二]为迎接国庆节的到来,某单位要在办公楼外部挂灯笼进行装饰,此办公楼高五层,若在楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则五层楼一共需要挂　　　　盏灯笼.  124 解析 由题意知,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N+,n≤5),由题意知a1=4,公比q=2,所以前5项和为 S5= =4×(25-1)=124,所以五层楼一共需要挂124盏灯笼. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点一]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3= ,S6-S3=14,则a9=　　　　　.  64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点一]设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2+a4+…+a2n.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)①当c=1时,a2+a4+…+a2n=0. ②当c≠1时,数列是以a2为首项,c2为公比的等比数列, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为(　　) A 解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=2,S30=14,则S40=(　　) A.20 B.30 C.40 D.50 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.若数列{xn}满足lg xn+1=1+lg xn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于(　　) A.200 B.120 C.110 D.102 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(多选题)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(　　) A.q=3 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S5=121 D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 设Sn为等比数列{an}的前n项和.已知 ,则log2a3+log2a5=　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 在北京冬奥会开幕式上,由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象,以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年,瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化,构造出了“雪花曲线”:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边(如图).反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形 (图①)的边长为1,则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为　　,如果这个操作过程可以一直继续下去,那么所得图形的面积将趋近于　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2. (1)证明数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2), 又因为a1+2=3,所以 =2. 所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列. 所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2. (2)由题意得10<an<2 023,即10<3×2n-1-2<2 023, 解得4<2n-1<675,即3<n≤10, 故{an}落入区间(10,2 023)的项为a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10, 所以其和S=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7 =3× -14=3 034. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.(多选题)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N+)的“对称数列”,且1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为(　　) A.2100-1 B.251-2 C.226-4 D.2m+1-22m-100-1 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 19.已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4. (1)证明:{Sn-n+2}为等比数列; (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn. (1)证明 当n=1时,S1-2S1=1-4,故S1=3, 得S1-1+2=4. 当n≥2时,原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4, 即Sn=2Sn-1-n+4, 所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2], 所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知,Sn-n+2=2n+1, 所以Sn=2n+1+n-2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 提示 在其前2n+1项中,有S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=(q≠-1)成立. 解 设该工厂去年第n个月的产值为bn元,由题意可知b1=a,且=p,即=1+p. 因此{bn}是以a为首项,1+p为公比的等比数列,这个数列共有12项,且bn=a(1+p)n-1, 从而这个数列所有项的和为S12=. 因此可知该工厂去年全年的总产值为元. 求证:=Sn(S2n+S3n). ∴=Sn(S2n+S3n). 证明 (方法一)设此等比数列的公比为q,首项为a1,当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, ∴=n2+4n2=5n2, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2, ∴=Sn(S2n+S3n). 当q≠1时,Sn=(1-qn),S2n=(1-q2n),S3n=(1-q3n), ∴=()2·[(1-qn)2+(1-q2n)2]=()2·(1-qn)2·(2+2qn+q2n). 又Sn(S2n+S3n)=()2(1-qn)(2-q2n-q3n)=()2·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), ∴+[Sn(1+qn)]2=(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=(2+2qn+q2n). ∴=Sn(S2n+S3n). ∴an= an= - 解析 显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1), 又Sn=×3n+t,∴t=-. 解 由题意知第1年投入800万元,第2年投入800×万元, …… 第n年投入800×万元. 所以每年的投入构成首项为800,公比为的等比数列.所以n年内的总投入为Sn=800+800×+…+800×=4 000×. 由题意知,第1年旅游业的收入为400万元, 第2年旅游业的收入为400×万元, …… 第n年旅游业的收入为400×万元,所以每年的旅游业收入构成首项为400,公比为的等比数列. 所以n年内旅游业的总收入为 Tn=400+400×+…+400×=1 600×. 故n年内的总投入为4 000×万元,n年内旅游业的总收入为 1 600×万元. 解析 因为数列{an}是递减的等比数列,a3+a4=9,a2a5=a3a4=18, 所以a3=6,a4=3, 所以q=,a6=a3q3=6×,a1==24,a2==12, 所以S2=a1+a2=24+12=36, 则S2·a6=36×=27.故选C. A. B.2 C. D.17 =q3=,∴q=. ∴=1+=1+q4=. 5. [探究点一]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　) A.2 B. C. D.3 解析 由题意知q≠1,否则=2≠3. ∴=1+q3=3,∴q3=2.∴. 解析 设等比数列的公比为q,则S3==a1+a2+a3,S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=14,故q=2. 又因为S3==a1+a1q+a1q2,所以a1=. 所以a9=a1q8=×28=26=64. 解 由条件知S1=a1=1. (1)①当c=1时,an=即an= ②当c≠1时,an= 所以a2+a4+…+a2n=. A.1 B. C. D.无法确定 11.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若数列{Sn-2a1}也为等比数列,则=(　　) A. B.1 C. D.2 解析 因为lg xn+1=1+lg xn,所以lg xn+1-lg xn=lg=1,所以=10,所以数列{xn}是等比数列,公比为10,所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)·10100]=lg(100×10100)=102. S3=,S6= 解析 设等比数列{an}的公比为q, 则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+q3(a1+a2+a3)=S3(1+q3), 所以q3=-1=8,则q=2. 又因为S3==7a1=,可得a1=,则a4=a1q3=×8=2. 由对数的运算性质以及等比中项的性质可得log2a3+log2a5=log2(a3a5)=log2=log222=2. 于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=-2n=. $$