1.4 数列在日常经济生活中的应用课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 4　数列在日常经济生活中的应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.结合教材实例了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系. 2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题. 3.能利用等差、等比数列知识解决与数列相关的综合性问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　数列在日常经济生活中的应用 1.银行存款计息方式 (1)单利:单利的计算是仅在　　　　　上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为  利息=本金×利率×存期. 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(简称本利和),则有S=　　　　　　　　.  (2)复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前 　　　　　　　　　产生的利息也计算利息的计息方法,复利的计算公式是S=　　　　　.  原有本金 P(1+nr) 各计息周期内 　P(1+r)n 2.几种存款模型 (1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利,若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,那么到期整取时本利和为 (2)定期自动转存模型:储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的一年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和为Q=　　　　　.  P(1+r)n 3.分期付款模型 分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期付款的时间间隔相同,每月利息按　　　　　计算,各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和.  复利 思考辨析 分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则每次应还款多少元? 提示 商品售价及从购买到最后一次付款的利息和为a(1+p)m. 各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和为 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)银行存款的计息方式有单利和复利两种.(　　) (2)单利计息方式是以等差数列为数学模型计算的.(　　) (3)复利的计息方式是以等比数列为数学模型计算的.(　　) √ √ √ 2.按复利计算,存入一笔5万元的三年定期存款,年利率为4%,则3年后支取可获得利息为(　　) A.(5×0.04)3万元 B.5×(1+0.04)3万元 C.3×(5×0.04)万元 D.[5×(1+0.04)3-5]万元 D 解析 3年后的本利和为5×(1+0.04)3万元,利息为[5×(1+0.04)3-5]万元. 3.某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平,则这三次价格平均回升率是　　　　.  解析 设6月份降价前的价格为a,三次价格平均回升率为x,则a·90%×(1+x)3=a, 重难探究·能力素养速提升 探究点一　单利与等差数列模型 【例1】 (1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%. ①若每月存500元,则3年后,能一次支取本息多少元? ②欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(精确到1元) 解 ①每月存500元,3年后的利息为500×(36×0.36%+35×0.36%+…+2×0.36%+1×0.36%)=1 198.8≈1 199(元),所以3年后的本息和为500×36+1 199=19 199(元). ②设王先生每月存入x元,则有x(36+ ×0.36%)=20 000,x≈521元, 故王先生每月大约存521元. (2)某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了多少钱? 解 因为购买设备时已付150万元,所以欠款为1 000万元,依据题意,知其后应分20次付款, 则每次付款的数额顺次构成数列{an},且a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,…,an =50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20,n∈N+), 所以数列{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列, 所以a10=60-9×0.5=55.5, 所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了1 255万元. 规律方法　“零存整取”是单利计息方式,解答关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题. 变式训练1某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱? 解 实际取出的钱=本金+利息. 到12月最后一天取款时: 第1个月存款利息:100×12×0.165%, 第2个月存款利息:100×11×0.165%, … 第11个月存款利息:100×2×0.165%, 第12个月存款利息:100×1×0.165%, 所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165%=100×0.165%×(1+2+3+…+12)=100×0.165%× =12.87. 所以实际取出100×12+12.87=1 212.87(元). 探究点二　复利与等比数列模型 【例2】 某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594) 解 (方法一)设每年还款x万元,需10年还清,那么每年还款情况如下: 第10年还款x万元,这次还款后欠款全部还清; 第9年还款x万元,过一年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)万元; 第8年还款x万元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2万元; …… 第1年还款x万元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9万元. 依题意得x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20(1+10%)10,解得 x= ≈3.255(万元).即每年应还3.255万元. (方法二)第1次还款x万元之后还欠银行20×(1+10%)-x=20×1.1-x, 第2次还款x万元后还欠银行[20×(1+10%)-x](1+10%)-x=20×1.12-1.1x-x, …… 第10次还款x万元后,还欠银行20×1.110-1.19x-1.18x-…-x, 依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得 20×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0, 即每年应还3.255万元. 规律方法　“定期自动转存”是复利计息方式,是等比数列模型,在计算本息和时应分清首项(本金)与公比(1与利率和). 变式训练2程先生买了一套总价为80万元的住房,首付30万元,其余50万元向银行申请贷款,贷款月利率0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30年还清.问程先生每月应还款　　　　元(精确到0.01元). (参考数据:1.005360≈6.022 6)  (注:如果上个月欠银行贷款a元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额x元,此时贷款余额为a(1+0.5)%-x元) 2 997.75　 解析 设程先生在第n个月还款后还欠银行贷款an万元,每月固定还款x万元,则 an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50, 设an+k=1.005(an-1+k), 即an=1.005an-1+0.005k, 所以0.005k=-x,即k=-200x,{an-200x}是公比为1.005的等比数列, 即an-200x=(a0-200x)·1.005n. 由a360=0得0-200x=(50-200x)·1.005360. 解得x≈0.299 775,即每月还款2 997.75元. 探究点三　分期付款模型 【例3】 某人原计划攒够钱了再买房,但房价飞涨,只好选择向银行贷款买房,他准备向银行贷款100万元,20年还清,偿还贷款的方式为:分20次等额归还,每年还一次,若20年期贷款的年利率为6%,且年利息均按复利计算,那么此人每年应还多少元?(计算结果精确到1元) (参考数据:1.0619≈3.025 6,1.0620≈3.207 1,1.0621≈3.399 6) 解 设每年还款x元,则第1次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%)19,第2次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%)18,…,第19次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%);第20次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x元,于是还款的本利和为 规律方法　分期付款问题突破的关键 变式训练3小王在2018年初向银行贷款50万元用于购房,银行贷款的年利率为4%,按复利计算,要求从贷款开始到2027年底分10年还清,每年年底等额归还且每年1次,每年至少要还多少钱(保留两位小数)? (提示:(1+4%)10≈1.48) 解 (方法一)设每年还x万元, 第n年年底欠款为an,则 2018年底:a1=50×(1+4%)-x, 2019年底:a2=a1(1+4%)-x=50×(1+4%)2-(1+4%)·x-x, …… 2027年底:a10=a9(1+4%)-x=50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%)·x-x 即每年至少要还6.17万元. (方法二)50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等, 故有购房款50万元10年的本息和:50×(1+4%)10, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)单利与等差数列模型. (2)复利与等比数列模型. (3)分期付款模型. 2.方法归纳:数学运算、数学建模. 3.常见误区:不能正确地建立数列模型;分不清求数列中的项还是求和. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]某人在一年12个月中,每月10日向银行存入1 000元,假设银行的月利率为0.5%(按单利计算),则到第二年的1月10日,此项存款一年的利息之和是(　　) A.5×(1+2+3+…+12)元 B.5×(1+2+3+…+11)元 C.1 000×[1+0.5%+(0.5%)2+…+(0.5%)11]元 D.1 000×[1+0.5%+(0.5%)2+…+(0.5%)12]元 A 解析 存款利息是以5为首项,5为公差的等差数列,12个月的存款利息之和为5×(1+2+3+…+12)元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点二]某人从2024年1月1日起,且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期后本金与利息均自动转为新一年定期的本金,则至2030年1月1日将所有本金及利息全部取回,他可取回的钱数(单位为元)为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点三]某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为0.5%,每月利息按复利计算,则a,b满足(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. [探究点二]某病毒研究所为了更好地研究某种病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1 100万元,则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为(　　) A.2 806万元 B.2 906万元 C.3 106万元 D.3 206万元 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点二]某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果年利率为10%,按复利计算,那么到出煤时,国家实际投资总额是 　　　　万元(精确到0.001).  671.561 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]有纯酒精a(a>1)升,从中取出1升,再用水加满,然后再取出1升,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共取出纯酒精　 　 　升.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. [探究点二]有纯酒精a(a>1)升,从中取出1升,再用水加满,然后再取出1升,再用水加满,如此反复进行,第九次和第十次共取出纯酒精　　　　　升.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的顶层共有灯(　　) A.2盏 B.3盏 C.4盏 D.5盏 A B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.“勾股树”,也被称为毕达哥拉斯树,是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示,以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形,如此继续,若共得到127个正方形,且AB=8,则这127个正方形的周长之和为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.我们知道,当偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生小华向银行贷款的本金为48万元,小华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设小华第n个月的还款金额为an元,则an=(　　) A.2 192 B.3 912-8n C.3 920-8n D.3 928-8n D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立 B.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 C.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.两匹马在第　　　　日相逢.  4 解析 由题意,可知良马第n日行程记为an,则数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列, 驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n. 整理得14n2+364n-1 680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即两匹马在第4日相逢. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.某企业2022年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2023年起每年比上一年纯利润减少20万元,2023年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2023年为第一年)的利润为500(1+ )万元(n为正整数). (1)设从2023年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式. (2)依上述预测,从2023年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润? 解 (1)依题设, An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1,a2,a3,…. 参考数据:1.088≈1.850 9,1.089≈1.999 0,1.0810≈2.158 9. (1)写出一个公式,表示an+1与an之间的关系; (2)将(1)中的关系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r为常数; (3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(结果精确到整数). C 级 学科素养创新练 解 (1)因为某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,所以a1=1 200,且an+1=1.08an-100. (2)将an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran-rk+k, 因为an+1=1.08an-100, 所以(1)中的关系可以化为an+1-1 250=1.08(an-1 250). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液,容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液,先将A内的盐水倒1升进入B内,再将B内的盐水倒1升进入 A内,称为一次操作;这样反复操作n次,A,B容器内的盐水的质量分数分别为an,bn. (1)求a1,b1,并证明{an-bn}是等比数列. (2)至少操作多少次,A,B两容器内的盐水浓度之差小于1%? (取lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (3)求an,bn的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y=nx+x元=　 元.  x x+x(1+p+x[(1+p]2+…+x[(1+p]n-1=x·=x·,由a(1+p)m=x·,得x=. -1 ∴1+x=,x=-1. S20==1 105. 解得x=≈3.255(万元). x(1+6%)19+x(1+6%)18+…+x(1+6%)+x=x≈x. 又因为银行贷款20年的本利和为106×(1+6%)20≈3.207 1×106(元), 所以x=3.207 1×106, 解得x=≈87 185(元). 答:每年需还款87 185元. =50×(1+4%)10-·x=0. 解得x=≈6.17, 每年存入x万元的本息和:x·(1+4%)9+x·(1+4%)8+…+x=·x, 从而有50×(1+4%)10=·x, 解得x≈6.17,即每年至少要还6.17万元. A.a(1+r)7 B.[(1+r)7-(1+r)] C.a(1+r)8 D.[(1+r)8-(1+r)] 解析 2029年1月1日,2028年1月1日,…2024年1月1日存入钱的本利和分别为a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r)6,求和可得[(1+r)7-(1+r)]. A.b= B.b= C.b= D.<b< 解析 因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<,显然12b>a,即<b<. (1-)8(2-)　 (1-)8(2-)　 解析 设顶层有x盏灯,则最下面有(x+8d)盏,则x+8d=13x,即d=x,由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126,整理得9x+36d=126,所以9×+36d=126,解得d=3,x=2,所以顶层有2盏灯.故选A. A.480+224 B.224+224 C.60+28 D.56+28 ∵数列{an}的前n项和为, 数列{bn}的前n项和为, ∴=840, Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100. (2)Bn-An=(500n--100)-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10[n(n+1)--10], 因为数列{n(n+1)--10}为递增数列, 当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10=-<0; 当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10=>0, 所以当n≥4时,Bn>An, 所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 所以比较上面两式的系数,可得 解得 (3)由(2)可知,数列{an-1 250}是以-50为首项,1.08为公比的等比数列, 则(a1-1 250)+(a2-1 250)+…+(a9-1 250)=≈-624.4. 所以S9=a1+a2+a3+…+a9=1 250×9-624.4=10 625.6≈10 626. 解 (1)由题意,b1=×(+4×)=, a1=+5×)=. 因为bn+1=,an+1=(5an+bn+1)=, 所以an+1-bn+1=(an-bn). 因为a1-b1=≠0, 所以{an-bn}是等比数列. (2)由(1)知an-bn=×()n-1, 所以×()n-1<1%, 所以n-1>≈5.7, 所以n≥7,故至少操作7次. (3)因为bn+1=[bn+×()n-1+4bn], 所以bn+1-bn=×()n, 所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=×[+…+()n-1] =-×()n+, 所以an=bn+×()n-1=×()n+. $$