专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【模型一： 两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小； 图1 【模型二： 两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）； 图2 【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 图3 【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 图4 【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图5 【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图6 【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型； 【考点5】一定两动（等线段）转化型；. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】两定一动型； 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 ．    【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 【考点3】 一定两动型（垂线段最短）； 【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．    【考点4】两定两动型； 【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【考点5】一定两动（等线段）转化型； 【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【模型一： 两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小； 图1 【模型二： 两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）； 图2 【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 图3 【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 图4 【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图5 【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图6 【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型； 【考点5】一定两动（等线段）转化型；. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】两定一动型； 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵， 周长的最小值是， 故选：C． 【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 ．    【答案】24 【详解】 设与的交点为点F，连接，先根据折叠的性质可得，，，，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，周长最小，进而求解即可． 解：如图，设与的交点为点F，连接，，    由折叠的性质得：，，，， ， 周长， 要使周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，最小值为， ∴周长为：． 故答案为：24． 【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键． 如图：作P点关于的对称点，连接，此时的周长最小为，求出即可． 解：如图：作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 面积的最小值是 故答案为：18． 【考点3】 一定两动型（垂线段最短）； 【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可． 解：作过于的对称点，过点作，交于点，交于点， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故选B． 【点拨】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点到直线，垂线段最短，是解题的关键． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 解：如图，在上截取，连接，，   是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 【考点4】两定两动型； 【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 【考点5】一定两动（等线段）转化型； 【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【答案】C 【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】12 【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE， ∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴△ECB≌△DCA（SAS）， ∴BE=AD， ∵DE=CD=6，BD=8， ∴8-6<BE<8+6， ∴2<BE<14， ∴2<AD<14． ∴则的最大值与最小值的差为12． 故答案为：12 【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题． 【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故选：C． 【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，根据轴对称的性质可得，，，，则可得，进一步可得当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，利用面积法求出的长即可得到答案． 解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形， ∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6， 故选C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$