期中检测考点分类专题（选择填空20大考点分类精析）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

期中检测考点分类专题（选择填空篇） 考查范围：第十三章 三角形 第十四章 全等三角形 第十五章 轴对称 目录 一：选择题十大考点 1 【考点1】三角形三边关系 1 【考点2】三角形的稳定性 2 【考点3】三角形的内角和与外角性质 4 【考点4】全等三角形的性质 6 【考点5】全等三角形的判定 7 【考点6】角平分线的性质 9 【考点7】轴对称图形的判断 13 【考点8】线段垂直平分线的性质 15 【考点9】等腰三角形的性质 16 【考点10】最短路径问题 19 二：填空题十一大考点 22 【考点1】三角形的中线有关的计算 22 【考点2】三角形的高、角平分线、中线有关综合计算 24 【考点3】三角形的内角和与角平分线、平行线有关计算 25 【考点4】全等三角形性质与判定综合 27 【考点5】角平分线的性质与判定 32 【考点6】轴对称图形的性质 34 【考点7】线段垂直平分线的性质与判定 36 【考点8】含30度的直角三角形 38 【考点9】等腰三角形的性质 40 【考点10】等边三角形的性质 43 【考点11】最短路径问题 45 一：选择题十大考点 【考点1】三角形三边关系 【例题1】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）等腰三角形的两条边长度分别为，，则该等腰三角形周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，利用了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，分类讨论：底边为，底边为，根据三角形的周长公式，可得答案． 解：分以下两种情况： 底边为，腰长为，这个三角形的周长是； 底边为，腰长为，因为，所以不能组成三角形； 故该等腰三角形的周长是． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，构建和，由三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 解：在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 综上所述，可知， 结合点A，B，C，D在同一平面内，可得的长不可以是10． 故选：D． 【考点2】三角形的稳定性 【例题2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·阶段练习）下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，由此即可判断． 解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以选项A，B，D中的图形都是有若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故答案为：C． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）中国第一座超高压大型枢纽变电站位于甘肃省兰州市以东38.5km的榆中县小康营乡，是连接甘肃、青海、陕西和宁夏电网电力系统的枢纽．如图，高压线架设成三角形的原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形内角和为 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，因此三角形具有稳定性． 解：根据题意可得，高压线架设成三角形的原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 【考点3】三角形的内角和与外角性质 【例题3】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解． 解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 【变式2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角等于不相邻的两个内角之和的性质，根据角平分线的性质以及三角形内角之和为180°的性质，分析相互角度关系，把已知角度代入关系式求解，问题即可得到解决． 解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【考点4】全等三角形的性质 【例题4】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 解：， ， ∵， ． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A． B． C．或 D．，或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等作出判断即可． 解：∵对应角相等， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 【考点5】全等三角形的判定 【例题5】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确理解题意是解题的关键．根据题意，利用证明，即可求解． 解：由题意得，在和中， ∵， ∴， ∴，即就是的平分线， ∴用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是小正方形的顶点），在图中与不重合且有一条公共边的全等格点三角形的个数是（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查网格中判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法，借助网格特点，画出符合题意的三角形即可． 解：如图，符合题意的三角形共有4个；    故选B． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，C为的中点， ，延长至点E，使，连接，则的长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意，画出图形，证明，得到，再根据三角形的三边关系求出的长的范围即可． 解：如图： ∵C为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选D 【考点6】角平分线的性质 【例题6】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案． 解：过点作于点，如图所示： 为的角平分线，于点，， ， ， ， 的长度不可能为1， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，的平分线，交于点．下列结论： ①平分； ②； ③若于点，于点，则； ④． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】过点作于点．根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得，，所以．再根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知平分，故①正确．假设．由 ，，．得．若，则，解得，这与三角形内角和为矛盾，故②错误．根据“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得，所以．同理，，所以．因此，故③正确．因为平分，平分，所以，．又因为，，且，所以，故④正确．从而即可得解． 解：过点作于点． ∵平分，平分，，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确． 在和中， ， ∴， ∴． 同理，， ∴， ∴，故③正确． ∵平分，平分， ∴，． ∵，， ， ∴，故④正确． 假设， ∵，， ， ∴ ， 若，则， 解得，不符合三角形的性质，故②错误． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点7】轴对称图形的判断 【例题7】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．据此解答即可． 解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐一进行判断即可． 解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列图中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意， B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【考点8】线段垂直平分线的性质 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，即可确定观景台的位置． 解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故选：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 【考点9】等腰三角形的性质 【例题9】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的拐点模型． 利用等腰三角形的性质求出，再利用拐点模型求的度数即可． 解：过点B作直线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．根据作图的过程可以判定是的角平分线；利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点在的中垂线上；根据点到的距离与相等；利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 解：由作法得平分， ①正确； ∵， ∴，而平分， ∴， ∴， ∴②正确； 在 中，∵， ∴，又点到的距离与相等， ∴点到的距离是 1， ∴③正确； ∵， ， ∴， ④错误， 故选：C． 【考点10】最短路径问题 【例题10】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，尺规作垂直平分线，三角形的面积公式，解题关键是利用三角形的面积公式求解． 先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 解：连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 解：找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 二：填空题十一大考点 【考点1】三角形的中线有关的计算 【例题1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的中线，，则的周长比的周长大 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长与的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 解：是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长比的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 解：是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 解：解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 【考点2】三角形的高、角平分线、中线有关综合计算 【例题2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的边上的高，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，垂线的定义，根据三角形高的定义可得，则由垂线的定义可得答案． 解：∵是的边上的高， ∴， ∴， 故答案为：；；． 【变式2】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积是解题的关键．根据三角形的中线平分面积得到，利用三角形的面积公式，列出等式进行计算即可． 解：∵在中，为中线， ∴， ∵和分别为和的高， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 【考点3】三角形的内角和与角平分线、平行线有关计算 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是 ． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于．先根据三角形内角和，得到的度数，再根据角平分线的定义，得出，进而根据三角形内角和，即可得到的度数． 解：，， ， 平分， ， 中，， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 【考点4】全等三角形性质与判定综合 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角（）”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；（用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 【答案】 α 2或5 【分析】（1）先证明，由对顶角性质得到，则； （2）①当点E在射线上移动时，证明，则，得到，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案；②当点E在射线上移动时，作点作交直线于点，，证明，则，得到，点从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，， ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：2或5． 【考点5】角平分线的性质与判定 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，把实际问题转化为数学问题求解是解题的关键；根据两把长方形直尺相同，表明点P到射线的距离相等，由角平分线的判定定理知，射线是角平分线，即可求解． 解：∵两把长方形直尺相同， ∴点P到射线的距离相等， ∴射线是的平分线， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 【考点6】轴对称图形的性质 【例题6】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握该知识点是关键．先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 解：由条件可知， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 解：该图形为轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，三角形外角的性质等知识，根据，求出，即可． 解：∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴，， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【考点7】线段垂直平分线的性质与判定 【例题7】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，延长AB至D，使得，点P为动点，且，连接PD、PA，若的面积为8，则当PD取最小值时，的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据等腰三角形的性质得到直线是的垂直平分线，进而可得,再根据垂线段最短可得当时最短，最后根据相似三角形的判定与性质得到，即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线， ∴，, ∴, ∴如图所示，当时，最短， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积为9， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂线，线段垂直平分线的判定及性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点8】含30度的直角三角形 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后问题可求解． 解：∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了外角的性质，角平分线的定义和所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握以上知识点是解题关键． 由题意先证明，再由“所对的直角边等于斜边的一半”找出和的关系即可． 解：，， ， ，而， ， 为平分线， ， 于，于， ， ， ， ． 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 解：如图，过点作于． 在中，，， ， ，， ， ， ． ，于， ， ． 故答案为：2． 【考点9】等腰三角形的性质 【例题9】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据，平分，可证，根据等角对等边可得，根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，进而可得． 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为或． 【考点10】等边三角形的性质 【例题10】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 ． 【答案】/20度 【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的意义等知识，掌握这些知识是关键． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质．由已知可证是等边三角形，可得，由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可证，可得，，结合线段的和差关系，等量代换，即可得的长． 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点11】最短路径问题 【例题11】（2023八年级上·广东汕头·竞赛）如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 【变式1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、， ， ， ， ∴， ，， 垂直平分， ， ， 当点E在点处时，最小， ， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的度数为 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测考点分类专题（选择填空篇） 考查范围：第十三章 三角形 第十四章 全等三角形 第十五章 轴对称 目录 一：选择题十大考点 1 【考点1】三角形三边关系 1 【考点2】三角形的稳定性 2 【考点3】三角形的内角和与外角性质 2 【考点4】全等三角形的性质 3 【考点5】全等三角形的判定 4 【考点6】角平分线的性质 5 【考点7】轴对称图形的判断 5 【考点8】线段垂直平分线的性质 6 【考点9】等腰三角形的性质 7 【考点10】最短路径问题 8 二：填空题十一大考点 9 【考点1】三角形的中线有关的计算 9 【考点2】三角形的高、角平分线、中线有关综合计算 9 【考点3】三角形的内角和与角平分线、平行线有关计算 10 【考点4】全等三角形性质与判定综合 11 【考点5】角平分线的性质与判定 12 【考点6】轴对称图形的性质 12 【考点7】线段垂直平分线的性质与判定 13 【考点8】含30度的直角三角形 14 【考点9】等腰三角形的性质 14 【考点10】等边三角形的性质 15 【考点11】最短路径问题 16 一：选择题十大考点 【考点1】三角形三边关系 【例题1】（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）等腰三角形的两条边长度分别为，，则该等腰三角形周长为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【考点2】三角形的稳定性 【例题2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·阶段练习）下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）中国第一座超高压大型枢纽变电站位于甘肃省兰州市以东38.5km的榆中县小康营乡，是连接甘肃、青海、陕西和宁夏电网电力系统的枢纽．如图，高压线架设成三角形的原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形内角和为 【考点3】三角形的内角和与外角性质 【例题3】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点4】全等三角形的性质 【例题4】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A． B． C．或 D．，或 【变式2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【考点5】全等三角形的判定 【例题5】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是小正方形的顶点），在图中与不重合且有一条公共边的全等格点三角形的个数是（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，C为的中点， ，延长至点E，使，连接，则的长的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点6】角平分线的性质 【例题6】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，的平分线，交于点．下列结论： ①平分； ②； ③若于点，于点，则； ④． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【考点7】轴对称图形的判断 【例题7】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列图中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点8】线段垂直平分线的性质 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【考点9】等腰三角形的性质 【例题9】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点10】最短路径问题 【例题10】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 二：填空题十一大考点 【考点1】三角形的中线有关的计算 【例题1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的中线，，则的周长比的周长大 （用含a，b的代数式表示）． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 【考点2】三角形的高、角平分线、中线有关综合计算 【例题2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的边上的高，则与的位置关系是 ， ． 【变式2】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 【考点3】三角形的内角和与角平分线、平行线有关计算 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．   【考点4】全等三角形性质与判定综合 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；（用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 【考点5】角平分线的性质与判定 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为 ． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【考点6】轴对称图形的性质 【例题6】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与交于点，若，则的度数为 ． 【考点7】线段垂直平分线的性质与判定 【例题7】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【变式2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，延长AB至D，使得，点P为动点，且，连接PD、PA，若的面积为8，则当PD取最小值时，的面积为 ． 【考点8】含30度的直角三角形 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为 ． 【考点9】等腰三角形的性质 【例题9】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【考点10】等边三角形的性质 【例题10】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 【考点11】最短路径问题 【例题11】（2023八年级上·广东汕头·竞赛）如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $