期中检测考点分类专题（解答题十大题型分类精析）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

期中检测考点分类专题（解答题十三大题型分类精析） 人教版八上 考查范围：第十三章：三角形 第十四章： 全等三角形 第十五章：轴对称 目录 第一部分：作图求值证明（基础篇） 1 【题型1】与全等三角形、轴对称相关的作图求值 1 【题型2】三角形全等的证明 2 【题型3】与轴对称相关的与求值 3 【题型4】等腰三角形和等边三角形相关证明 3 第二部分：全等三角形综合证明与轴对称的实际应用（综合篇） 4 【题型5】全等三角形性质与判定综合 4 【题型6】轴对称的实际应用 6 【题型7】等腰三角形性质与判定综合 8 第三部分：运算与化简求值（综合篇） 9 【题型8】全等三角形与轴对称综合 9 【题型9】全等三角形与动点问题 11 【题型10】等腰三角形与几何变换 13 第一部分：作图求值证明（基础篇） 【题型1】三角形、全等三角形、轴对称相关的作图求值 【例题1】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在三角形中，点是的中点． （1）作于点、于点（作出图形，不写作法）； （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． （1）依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； （2）若，求的度数． 【变式2】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，，． （1）用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，求的周长． 【题型2】三角形全等的证明 【例题2】（25-26八年级上·甘肃·期中）如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是 ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·阶段练习）如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 【题型3】与轴对称相关的与求值 【例题3】（2023·广东广州·一模）如图，点、、、共线，，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，点C在上，．求证：． 【变式2】（19-20八年级上·新疆·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 【题型4】等腰三角形和等边三角形相关证明 【例题4】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·陕西·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 （1）求证：是等腰三角形； （2）点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知在中，，交于点，，，且平分． （1）求证：； （2）求的度数． 第二部分：全等三角形综合证明与轴对称的实际应用（综合篇） 【题型5】全等三角形性质与判定综合 【例题5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 【变式2】（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． （1）如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，，请直接写出与的数量关系． （3）若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【题型6】轴对称的实际应用 【例题6】（22-23七年级下·河南新乡·期中）发现与探究  【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴________________________________， 同理，是的外角， ∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． （1）说明这样设计的理由； （2）实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【题型7】等腰三角形性质与判定综合 【例题7】（23-24八年级下·广东·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）当_________时，是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． （1）连接，求证：． （2）当时，求的度数． （3）若，求证：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 第三部分：证明与求值（压轴篇） 【题型8】全等三角形与等腰三角形综合 【例题8】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（17-18八年级上·北京·期中）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，且时，那么___________ 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，在中，，，点D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． （1）如图1，点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系 ， ． （2）如图2，点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）在点D运动的过程中，如果，，请画图并求出线段的长． 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． （1）求证：； （2）如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 【题型9】全等三角形与动点问题 【例题9】（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且a、b满足． （1）求点A、点的坐标； （2）如图1，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴正半轴运动，运动时间为秒，连接，过点作，且，点在第一象限，请用含有的式子表示点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，连接和，过点作线段交轴于点，使得，已知此时点的坐标为，求的面积． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【变式3】（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． （1）根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； （2）求证：； （3）动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【题型10】等腰三角形与几何变换 【例题10】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【变式1】（2026九年级·广西·专题练习）如图，已知． （1）按图1的折叠方法，折叠后点落在上，则是的．若，则． （2）按图2中的折叠方法，折叠后点落在上，则是的． 若，则； 如图3，过点作于点．若，，，则； 如图4，的平分线交于点．若，则的度数为． （3）按图5中的折叠方法，折叠后点与点重合，则是的． 若，则； 如图6，是边的中点．若的周长等于11，则的周长等于． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·山东·阶段练习）（1）如图（1）已知：在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点、．求证； （2）如图（2）将（1）中的条件改为：在中，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图（1）中的直线m绕点A旋转，使其与相交，则、、有何关系？请直接写出结论，并在图3中画出相应的图形． 2 / 30 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∴． 【变式2】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，，． （1）用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【题型2】三角形全等的证明 【例题2】（25-26八年级上·甘肃·期中）如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是 ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）垂直平分；（3）见分析． 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线． （1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； （3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）线段被直线垂直平分． 故答案为：垂直平分； （3）连接交直线于点，则点即为所求点． 理由：∵点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴此时最短． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是利用求证．根据，，证明，可得，再利用证明即可． 解：证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·阶段练习）如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用证明，再利用全等三角形对应边相等即可证明． 解：证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【题型3】与轴对称相关的与求值 【例题3】（2023·广东广州·一模）如图，点、、、共线，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 解：证明：∵， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，点C在上，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 先根据外角的性质定理得出，再利用证明三角形全等即可． 解：证明：∵， ∴. ∴. 在和中， ∴． ∴. 【变式2】（19-20八年级上·新疆·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得出，然后利用三角形的外角性质定理求解即可． 解：（1）证明：为等边三角形， ， 在和中 ； （2）解：由（1）得， ∴， ． 【题型4】等腰三角形和等边三角形相关证明 【例题4】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 解：（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·陕西·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 （1）求证：是等腰三角形； （2）点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 解：（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知在中，，交于点，，，且平分． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可求解． 解：（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，且平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第二部分：全等三角形综合证明与轴对称的实际应用（综合篇） 【题型5】全等三角形性质与判定综合 【例题5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）垂直，理由见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等结合直角三角形的两锐角互余即可得到结论． 解：（1）解：， ，， ． （2）解： 理由：， ， ， 又A、B、C在一条直线上，， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 解：（1）证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 【变式2】（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案. 解：（1）证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； （2）答：，且. 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． （1）如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，，请直接写出与的数量关系． （3）若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3），见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质 （1）过点作于点，过点作于点，证明即可； （2）过点作于点，过点作于点，证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可． 解：（1）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ∵，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型6】轴对称的实际应用 【例题6】（22-23七年级下·河南新乡·期中）发现与探究  【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴________________________________， 同理，是的外角， ∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 【答案】发现：，；验证：不符合规格，理由见分析；探究：增加，5 【分析】（1）发现：延长交于点，根据三角形的外角定理得出，，即可得出结论； （2）验证：由“发现”中的结论可得，则， 求出符合规格的零件，即可得出结论； （3）探究：根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出，再根据“发现”中的结论得出，即可得出结论． 解：（1）发现： 解：， 理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴， 同理，是的外角， ∴， ∴（等量代换）． 故答案为：，； （2）验证： 由“发现”可知：， ∴， ∵符合标准的零件，， ∴符合标准的零件， ∵， ∴该零件不符合规格； （3）探究： ∵， ∴， ∴， ∵，保持不变， ∴应增加 故答案为：增加，5． 【点拨】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形那个的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 【答案】（1）B；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，结合全等三角形的判定方法可得答案； （2）乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 解：（1）解：甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， 故选：B （2）解：乙方案： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． （1）说明这样设计的理由； （2）实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 【答案】（1）理由见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定进行证明即可； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质判断出，进而即可求解． 解：（1）解：理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴测量出线段的长度，就可以知道景点与小岛的距离． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴景点与小岛的距离是． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）作图见详解；（3）池塘宽度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意，运用边角边证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可； （3）根据题意，延长交于点，由图形可得，则，由直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半得到，再证明，得到，即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 在池塘外取一点，连接，使得，延长到点使得，，过点作，交延长线于点， 运用角边角可证，则， ∴测得的长即可求解； （3）解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴池塘宽度． 【题型7】等腰三角形性质与判定综合 【例题7】（23-24八年级下·广东·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 解：（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）当_________时，是等腰三角形． 【答案】（1）见分析；（2）是直角三角形，理由见分析；（3）当或或时，是等腰三角形 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． （1）连接，求证：． （2）当时，求的度数． （3）若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）证明见分析 【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，通过证明，推导得，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）设，结合题意，得；根据三角形内角和，推导得，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案； （3）连接，根据题意，得，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明，得，，通过计算即可得到答案． 解：（1）证明：连接交于点， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴； （2）设，由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【点拨】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 第三部分：证明与求值（压轴篇） 【题型8】全等三角形与等腰三角形综合 【例题8】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． 解：（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（17-18八年级上·北京·期中）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，且时，那么___________ 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 【答案】（1）90；（2）①，证明见分析；②图见分析，，证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再通过证明，得到，利用角的和差即可求解； （2）①根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，再通过证明，得到，最后利用角的和差即可得出结论；②先根据题意补全图形，根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，得到，再通过证明，得到，最后利用角的和差即可得出结论． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）解：①，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ②补全图形如下： ，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，在中，，，点D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． （1）如图1，点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系 ， ． （2）如图2，点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）在点D运动的过程中，如果，，请画图并求出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，理由见分析；（3）画图见分析，线段的长为3或7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明得到，，进而可得； （2）同（1）中方法证明即可得出结论； （3）分两种情况：①当点D在边上时；②当点D在的延长线上时，利用全等三角形的性质求解即可． 解：（1）解：线段与的数量关系是：，位置关系是：，证明如下： 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：成立，理由如下： 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故（1）中的结论成立； （3）解：∵，， ∴在点D运动的过程中，有以下两种情况： ①当点D在边上时，如图1所示： 由（1）可知：， ∴， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图2所示： 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：线段的长为3或7． 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． （1）求证：； （2）如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含度的直角三角形的性质，解本题的关键是构造全等三角形． （1）连接，根据折叠的性质可得，；根据等边三角形的性质可得，，通过角的等量代换以及边的等量代换，结合等边对等角可得出，得到，进而得证． （2）过点作于，作交的延长线于， 根据角平分线的性质可得， 证得， 得到，证明 ， 得到， 在中， 利用含的直角三角形的性质可得， 借助（1）的结论可得 ， 从而得到，代值计算即可得解． 解：（1）证明：如图所示，连接． 沿翻折至， ，． 为等边三角形， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ，即． （2）解：如图所示，过点作于，作交的延长线于， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 【题型9】全等三角形与动点问题 【例题9】（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】（1）4；（2）或；（3）运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 解：（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且a、b满足． （1）求点A、点的坐标； （2）如图1，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴正半轴运动，运动时间为秒，连接，过点作，且，点在第一象限，请用含有的式子表示点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，连接和，过点作线段交轴于点，使得，已知此时点的坐标为，求的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）48 【分析】（1）根据绝对值的非负性，得出，，即可得出答案； （2）过D作轴于P，则，先证明，进而得出，求出，，则，即可得出答案； （3）由（2）知：，先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，进而得出，即可得出答案． 解：（1）解：∵a，b满足， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图所示，过D作轴于P，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过D作轴于P，则， 由知（2）知：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查坐标与图形，绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，正确理解题意，构造三角形全等是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）结合已知得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可证明结论； （3）当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于，设，，证明和证明，可求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；当点在线段上过点E作于G，同理可证明，得到，再证明，得到；可证明，设，则，分别表示出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 解：（1）证明：，， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作交延长线于N， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）解：如图，当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于， ， ∴可设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点E作于G， 同理可证明， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． （1）根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； （2）求证：； （3）动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【答案】（1）0，；（2）见分析；（3）当两动点运动时间为、、10秒时，与全等 【分析】（1）根据点，点是点关于轴的对称点，即可求得点坐标； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得，由可得，从而证明，即可作答． （3）设运动的时间为秒，证明与全等，根据三角形全等的性质分三种情况讨论：①当点、分别在轴、轴上时，②当点、都在轴上时，③当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，当点运动到点提前停止时，根据时，列出一元一次方程解方程求解即可 解：（1）解：点，点是点关于轴的对称点， 故答案为：0，； （2）证明：如图1中， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在与中， ∴； （3）解：依题意，与全等， 设运动的时间为秒，当时， 分三种情况讨论： ①当点、分别在轴、轴上时， 当时 在与中 则得： ， 解得（秒）， ②当点、都在轴上时，同理可得, 则得： ， 解得（秒）， ③当点在轴上，在轴上时，同理可得，若二者都没有提前停止，则得： ， 解得（秒）不合题意； 当点运动到点提前停止时， 有，解得（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，与全等. 【点拨】本题考查了坐标与图形，坐标系中的动点问题（不含函数），全等三角形的性质与判定，一元一次方程的几何应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型10】等腰三角形与几何变换 【例题10】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见分析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 解：（1）①由题可知，， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 【变式1】（2026九年级·广西·专题练习）如图，已知． （1）按图1的折叠方法，折叠后点落在上，则是的．若，则． （2）按图2中的折叠方法，折叠后点落在上，则是的． 若，则； 如图3，过点作于点．若，，，则； 如图4，的平分线交于点．若，则的度数为． （3）按图5中的折叠方法，折叠后点与点重合，则是的． 若，则； 如图6，是边的中点．若的周长等于11，则的周长等于． 【答案】（1）高；；（2）角平分线，；（3）中线， 【分析】（1）依据三角形高的定义、三角形面积公式即可解决问题； （2）以三角形角平分线为核心线索，整合三角形内角和定理、角平分线的定义与性质、三角形面积公式等知识点，通过角平分线将角进行分割，再结合角平分线定理、三角形内角和来求解角度、边长等问题； （3）本题利用折叠性质确定中线，再分别依据中线分面积的性质和中位线等知识，结合线段中点关系，通过代换求出三角形的面积和周长． 解：（1）解：∵沿所在的直线折叠， ∴，即：是边的高， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：高，． （2）解：由图可知：沿着折叠后点落在上， 则：，即：是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； 过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故答案为：角平分线，，，． （3）解：∵点折叠后与点完全重合， ∴，即：是边的中线， ∵是边的中线，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴是的中位线，即， ∵的周长等于， ∴， ∴的周长： ， ， ， ， ． 故答案为：中线，，． 【点拨】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形中位线以及三角形内角和、面积计算等知识点，这些线的定义、定理是解决三角形中线段关系、角度关系以及面积等相关问题的核心依据，掌握三角形中线定义及性质、角平分线的定义与定理及中位线定理的应用是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，根据各个点的位置关系求出，再由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 解：（1）解：设点， ∵平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， ∴点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； （3）解：延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，如图所示： ∵点，，， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴， ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 【点拨】本题考查了平移的性质，坐标与图形，三角形外角的性质，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． 【变式3】（25-26八年级上·山东·阶段练习）（1）如图（1）已知：在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点、．求证； （2）如图（2）将（1）中的条件改为：在中，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图（1）中的直线m绕点A旋转，使其与相交，则、、有何关系？请直接写出结论，并在图3中画出相应的图形． 【答案】（1）证明见分析；（2）成立，理由见分析；（3）当时，根据和重合，则，；当与的夹角小于时，；当与的夹角大于，小于时， 【分析】本题是一道综合性试题，考点众多，主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形，旋转的性质以及动点问题等知识．解决问题的关键是从特殊到一般以及运用类比分析问题． （1）仔细审题，只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）分类讨论①当时，根据和重合，②当与的夹角小于时，③当与的夹角大于，小于时，运用类比的方法，同样可以证明． 解：（1）证明：∵直线m，直线m， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）成立，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （3）当时，根据和重合，则，； 当与的夹角小于时，如图， ，在中，， ∴和中， ， ∴， ， 又∵， ； 同理，当与的夹角大于，小于时， ． 2 / 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