专题03与绝对值有关的九种常见题型-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024）

专题03与绝对值有关的九种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【例1-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）①正数： ， ； ②负数： ， ； ③零： ； （2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是 数． 【例1-3】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；． 根据规律，解决相关问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①______________；②______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)有理数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为______________． (4)已知,且,则______________． 合理的方法计算： 【变式演练】 【变式1-1】（七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①相反数等于本身的数只有0；②若，则；③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为；④，则．其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（七年级上·江苏淮安·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：｜6＋7｜＝ 6＋7 ；｜6—7｜＝7－ 6；｜7－6｜＝7－ 6 ；｜―6―7｜＝6＋7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）｜7－21｜＝______； （2）｜｜＝_______； （3）｜｜＝________； （4）用合理的方法计算：｜｜＋｜｜－｜｜. 【变式1-3】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，， (1)第7个算式是：____________________________， (2)第10个算式是：____________________________． (3)根据以上规律解答下题：当有理数、满足时，求 的值． 题型02绝对值的几何意义在求字母值中的应用 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边 【例2-2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则 ； （2）求的最小值 ．    【例2-3】（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）如果数轴上的点A和点B分别代表，1，P是到点A或者点B的距离为3的数轴上的点，那么所有满足条件的点P到原点的距离之和为多少？ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）数轴上到原点的距离是5的点表示的数是（    ） A． B．5 C． D．或5 【变式2-2】（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【变式2-3】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； 题型03绝对值的非负性在求字母取值范围中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（20-21七年级上·天津南开·阶段练习）如果，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（七年级上·湖北孝感·阶段练习）如果，那么的取值范围是 ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 【变式3-3】（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 题型04绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图，比较大小： ． 【例4-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，点、点在数轴上，点表示，点表示，点表示． (1)点表示______，点表示______； (2)在数轴上表示出点，点，点； (3)比较五个点表示的数的大小：______________________________． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）a、b是有理数，大小如数轴上所示，则a，b，|a|，b的大小关系是（　　） A．b＞|a|＞a＞b B．|a|＞a＞b＞b C．|a|＞b＞b＞a D．|a|＞b＞a＞b 【变式4-2】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“<”号将所有的数按从到大的顺序连接起来．． 题型05绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（  ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【例5-2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）在数轴上有间隔相等的四个点M、N、P、Q所表示的数分别为m、n、p、q．其中有两个数互为相反数，若m的绝对值最大，则数轴的原点是 点． 【例5-3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·广东韶关·期末）若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【变式5-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知A，B，C，D在上分表示a，b，c，d，，则线段的长度为 ． 【变式5-3】（23-24七年级上·山西朔州·期中）已知、表示两个不同的有理数，且，，它们在数轴上的位置如图所示： (1)试确定、的数值； (2)表示、两数的点相距多远？ (3)一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进5个单位，后退3个单位的程序运动，设点每秒前进或后退1个单位，表示第秒点在数轴的位置所对应的数（如：，，），则为______． 题型06绝对值的非负性在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 【例6-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）若，那么 ， ． 【例6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【变式6-2】（23-24七年级·全国·假期作业）若，则 ， ． 【变式6-3】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 题型07绝对值的非负性在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（七年级上·湖南长沙·期中）已知有理数在数轴上的位如图所示且，化简． 【例7-2】（21-22七年级上·河南安阳·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值：__________，__________，__________； (2)点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【例7-3】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·福建·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； 【变式7-2】（22-23七年级上·全国·期中）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【变式7-3】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： 题型08绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·四川遂宁·阶段练习）如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【例8-2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【例8-3】（21-22七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数m，当m为何值时，有最大值？最大值为多少？ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【变式8-2】（23-24七年级上·福建福州·期中）若y表示任意有理数，则的最小值是 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 题型09绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例9-1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某生产足球厂家，欲检测足球的质量．如图，检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数；，不足标准质量的克数记为负数；从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24七年级上·河南驻马店·期中）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【例9-3】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【变式演练】 【变式9-1】（23-24七年级上·广东珠海·期中）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好，检查其中四个，结果如下：第一个为；第二个为；第三个为；第四个为，则这四个零件中质量最好的是（    ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个结果如下：①；②；③；④．则质量最好的零件为 （填序号即可）． 【变式9-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与绝对值有关的九种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【分析】此题考查数字类规律的探究，正确计算出的结果，发现结果的规律并解决问题是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可以发现：第偶数个数的结果是序数的一半，与后一个奇数个数的结果相等， ∴ ∴， 故选：C 【例1-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）①正数： ， ； ②负数： ， ； ③零： ； （2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是 数． 【答案】 5 12 7 15 0 非负 【分析】（1）①根据绝对值的定义求解即可；②根据绝对值的定义求解即可；③根据绝对值的定义求解即可； （2）由绝对值表示数轴上的某点到原点的距离可得答案． 【详解】解（1）①正数：5，12； ②负数：7，15； ③零：0； （2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是非负数． 故答案为：（1）① 5；12；②7；15；③0；（2）非负 【点睛】本题考查的是求解一个数的绝对值，绝对值的非负性的含义，理解绝对值的非负性是解本题的关键 【例1-3】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；． 根据规律，解决相关问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①______________；②______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)有理数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为______________． (4)已知,且,则______________． 合理的方法计算： 【答案】(1)；； (2)；； (3)； (4)或， 【分析】（1）根据绝对值的性质直接可求解； （2）由绝对值的性质即可求解； （3）根据数轴位置得出，再进行化简即可； （4）根据绝对值的性质将原式化简，再计算即可； 本题考查绝对值的性质，数字的规律，熟练掌握绝对值的性质，数轴上点的特点，能够准确计算是解题的关键． 【详解】（1） （2）当时， 当时， （3）根据数轴位置得出 （4） 或 则或 【变式演练】 【变式1-1】（七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①相反数等于本身的数只有0；②若，则；③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为；④，则．其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用相反数的定义对①进行判断；根据值的意义对②进行判断；根据数列的规律对③进行判断；运用验证法可对④进行判断． 【详解】解：①相反数等于本身的数只有0，所以①正确； ②若，则，所以②错误； ③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为，所以③错误； ④当x=10时，，所以④错误； 正确的说法只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质以及数的规律，综合性较强，有一定的难度． 【变式1-2】（七年级上·江苏淮安·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：｜6＋7｜＝ 6＋7 ；｜6—7｜＝7－ 6；｜7－6｜＝7－ 6 ；｜―6―7｜＝6＋7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）｜7－21｜＝______； （2）｜｜＝_______； （3）｜｜＝________； （4）用合理的方法计算：｜｜＋｜｜－｜｜. 【答案】（1）；（2）0.8；（3）；（4） 【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0．对（1）（2）（3）去括号即可； （4）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 【详解】∵ （1）∵，故答案为：； （2）∵，故答案为：＝0.8； （3）∵，故答案为：； （4）｜｜＋｜｜－｜｜ ∵， ∴｜｜＋｜｜－｜｜ 【点睛】本题主要考查了绝对值，去掉绝对值符号关键是看符号内的数的大小关系，做题时，要注意多观察各项之间的关系 【变式1-3】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，， (1)第7个算式是：____________________________， (2)第10个算式是：____________________________． (3)根据以上规律解答下题：当有理数、满足时，求 的值． 【答案】(1)= (2)= (3) 【分析】（1）根据规律即可写出第7个算式； （2）根据规律即可写出第10个算式； （3）根据所给的算式，可找出规律：；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等于，则每一个非负数等于0，可求出、，再把、的值代入所求式子，利用公式进行计算即可． 【详解】（1）解：=； （2）解：=； （3）解： ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0的知识 题型02绝对值的几何意义在求字母值中的应用 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点A与点B之间 C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边 【答案】C 【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解；本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键． 【详解】 点到原点的距离最大，点其次，点最小， 又∵ 原点O的位置应该在点与点之间 故选：C． 【例2-2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则 ； （2）求的最小值 ．    【答案】 或5 6 【分析】本题考查绝对值几何意义的应用，涉及数轴性质、绝对值几何意义等知识，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的几何意义列式求解即可得到答案； （2）根据题意，由绝对值的几何意义理解最小值的含义，数形结合，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 或， 故答案为：或5； （2）由题意可知，可理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 可理解为与三数在数轴上所对应的距离之和， 与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是； 当时，设与两数在数轴上的距离为，则与两数在数轴上的距离为，与1两数在数轴上的距离为，即与三数在数轴上所对应的距离之和； 同理可得： 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于； 当时，； 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于； 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和； 综上所述，，即其最小值为， 故答案为： 【例2-3】（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）如果数轴上的点A和点B分别代表，1，P是到点A或者点B的距离为3的数轴上的点，那么所有满足条件的点P到原点的距离之和为多少？ 【答案】12 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和绝对值，根据两点间的距离计算方法求得符合条件的点P，即可求解． 【详解】解：到点A的距离是3的点有、1， 到点B的距离是3的点有、4， ∴满足所有条件的点P到原点的距离之和是 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）数轴上到原点的距离是5的点表示的数是（    ） A． B．5 C． D．或5 【答案】D 【分析】此题考查了数轴，以及绝对值，根据绝对值的意义，得到数轴上到原点的距离为5的点所表示的数为绝对值等于5的数，求出即可． 【详解】解：， ∴数轴上到原点的距离为5的点所表示的数是5或． 故选：D 【变式2-2】（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【答案】 【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【详解】解： 圆的周长为： ， ， 故答案为： 【变式2-3】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意，可以解答本题； （2）由题意可以得到，数轴上表示和的两点之间的距离和数轴上表示和两点之间的距离； 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； 题型03绝对值的非负性在求字母取值范围中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【例3-2】（20-21七年级上·天津南开·阶段练习）如果，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，进行解答即可得． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的非负性． 【例3-3】（七年级上·湖北孝感·阶段练习）如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【详解】因为，， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义解题即可. 【详解】解：由题可知：， 解得：， 故选A. 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键. 【变式3-2】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于掌握绝对值的非负性．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】 故答案为： 【变式3-3】（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 题型04绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 根据数轴得出|，再比较大小即可． 【详解】解：从数轴可知：， 故选：B． 【例4-2】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图，比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查由数轴比较有理数大小，涉及数轴性质，根据数轴性质得到，则，再去绝对值即可得到答案，熟记数轴性质是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可得， 一个数表示的点在数轴上离原点越远，它的绝对值越大， ， ， 故答案为： 【例4-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，点、点在数轴上，点表示，点表示，点表示． (1)点表示______，点表示______； (2)在数轴上表示出点，点，点； (3)比较五个点表示的数的大小：______________________________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据数轴可以得到点、表示的数； （2）根据点表示：，点表示：，点表示可以在数轴上表示出点、、； （3）根据、、、、五点表示的数，即可比较大小． 【详解】（1）解：由数轴可得，点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：；． （2）， 在数轴上表示出点、和点，如下图所示： （3）点、、、、表示的数分别是：、、、， ∴ 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）a、b是有理数，大小如数轴上所示，则a，b，|a|，b的大小关系是（　　） A．b＞|a|＞a＞b B．|a|＞a＞b＞b C．|a|＞b＞b＞a D．|a|＞b＞a＞b 【答案】C 【分析】根据题意，在数轴上表示出|a|，b，根据数轴右边的数大于左边的数即可求解． 【详解】解：如图，在数轴上表示出|a|，b， ∴|a|＞b＞b＞a， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键 【变式4-2】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】= 【分析】先化简绝对值和多重符号，再作判断． 【详解】解：，， 所以； 故答案为：=． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于应知应会题型，熟知有理数的相反数和绝对值的定义是关键． 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“<”号将所有的数按从到大的顺序连接起来．． 【答案】数轴见解析， 【分析】先化简，然后在数轴上画出表示各数的点，即可求解． 【详解】解：， 在数轴上画出表示各数的点，如下图：        用“<”号将所有的数按从到大的顺序连接起来如下： ． 【点睛】本题主要考查的是数轴及有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的数大的特点是解答此题的关键 题型05绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（  ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，根据得出异号，再根据得出数轴表示的点离远点的距离小于表示的点离远点的距离，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 异号， ， 数轴表示的点离远点的距离小于表示的点离远点的距离， 该数轴的原点的位置应该在点与点之间且靠近点， 故选：C 【例5-2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）在数轴上有间隔相等的四个点M、N、P、Q所表示的数分别为m、n、p、q．其中有两个数互为相反数，若m的绝对值最大，则数轴的原点是 点． 【答案】的中点或点 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的意义，由题意综合分析，原点位置应该是中点或点，解题的关键是理解相反数和绝对值的意义． 【详解】解：的绝对值最大， ∴点离原点最远， ∵有两个数互为相反数， ∴原点在某两点的中点， 综上，原点是的中点或点， 故答案为的中点或点． 【例5-3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义； （1）由图可知，数轴上、所表示的数，分别为：，； （2）由图知，点的坐标原点，点的坐标点的坐标； （3）由（2）可得，点的坐标点的坐标； 【详解】（1）解：由图可知，数轴上点表示的数是；点表示的数是； （2）由图可得，点表示的点为，所以，， 又点表示的点为，所以； （3）由图可得，数轴上、两点所表示的数分别为、，则 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·广东韶关·期末）若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【变式5-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知A，B，C，D在上分表示a，b，c，d，，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，正确画出数轴是解题的关键． 根据两点之间的距离，画出数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1， ∵， ∴， ∴点D与点A之间的距离为， 如图（1） 线段的长度为； 如图（2） 线段的长度为， 故答案为或 【变式5-3】（23-24七年级上·山西朔州·期中）已知、表示两个不同的有理数，且，，它们在数轴上的位置如图所示： (1)试确定、的数值； (2)表示、两数的点相距多远？ (3)一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进5个单位，后退3个单位的程序运动，设点每秒前进或后退1个单位，表示第秒点在数轴的位置所对应的数（如：，，），则为______． 【答案】(1)， (2)3 (3)504 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，绝对值的意义，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据绝对值的意义得到或，或，再根据数轴得到，则，； （2）直接根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）根据题意可得点P每运动8秒为一个周期，在每个周期内，点P前进个单位，因此只需要求出第秒的运动周期即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， 由数轴可知，， ∴，； （2）解： 由（1）得表示，两数的点之间的距离为； （3）解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进5个单位，后退3个单位的程序运动，且点每秒前进或后退1个单位， ∴点P每运动8秒为一个周期，在每个周期内，点P前进个单位， ∵， ∴点P一共前进了个单位， ∴点P表示的数为， 故答案为： 题型06绝对值的非负性在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值是解题的关键 【例6-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）若，那么 ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关键，据此作答即可． 【详解】∵， ∴， 解得， 故答案为：1，5． 【例6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ， 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据可知，可得，从而可得答案． 【详解】解：由得： 得： 故选：B 【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键 【变式6-2】（23-24七年级·全国·假期作业）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：， 【变式6-3】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴ 题型07绝对值的非负性在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（七年级上·湖南长沙·期中）已知有理数在数轴上的位如图所示且，化简． 【答案】a 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，可知c＜b＜0＜a，且|a|=|b|，继而对②中的式子去绝对值，也即可得出答案． 【详解】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，可知c＜b＜0＜a，且|a|=|b|， 则a+b=0， 所以， =a-b+b-c+c， =a． 【点睛】此题考查数轴，绝对值，解题关键在于要会根据数在数轴上的位置判断其符号以及组成的一些代数式的符号．同时注意把一个代数式看作一个整体 【例7-2】（21-22七年级上·河南安阳·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值：__________，__________，__________； (2)点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据x的范围，确定x＋1，x−3，5−x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴ ∵，， ∴，， ∴，； 故答案为-1，1，5 （2）解：当时，，，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，化简绝对值，准确计算是解题的关键． 【例7-3】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， 【分析】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； 【详解】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·福建·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离： （1）根据绝对值的非负性进行作答即可； （2）根据，则，，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数， 所以， 因为， 所以， 即，； （2）解：因为 所以，， 则 【变式7-2】（22-23七年级上·全国·期中）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，1，5 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可； 【详解】（1）∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5； （2）由题意可知：， ∴， ∴ ； 【点睛】此题考查相反数，数轴上两点的距离，绝对值等知识，正确理解、的变化情况是本题的关键． 【变式7-3】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： 【答案】(1)；1；6 (2)8 【分析】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点A表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点P在B、C间运动， ∴， ∴； 题型08绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·四川遂宁·阶段练习）如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要使的值最小，即的值最小，根据绝对值的非负性可得的最小值为0，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：要使的值最小，即的值最小， ， 的最小值为0， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，熟练掌握此知识点，准确进行计算是解此题的关键． 【例8-2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【答案】 大 2021 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，的最小值为0， ∴的最大值为2021，此时． 故答案为：大；2021；3 【例8-3】（21-22七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数m，当m为何值时，有最大值？最大值为多少？ 【答案】5 【分析】根据绝对值的非负性得到，得到当时，最小，代入求解即可； 【详解】解：由绝对值都是非负数，得．当时，最小，最小值为0，此时有最大值，最大值是5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A. 【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键 【变式8-2】（23-24七年级上·福建福州·期中）若y表示任意有理数，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：由绝对值的非负性可知， ∴． 即的最小值是1． 故答案为：1 【变式8-3】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【分析】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 题型09绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例9-1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某生产足球厂家，欲检测足球的质量．如图，检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数；，不足标准质量的克数记为负数；从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义以及化简绝对值，先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项C． 故选：C． 【例9-2】（23-24七年级上·河南驻马店·期中）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【答案】甜味 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 【例9-3】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 【变式演练】 【变式9-1】（23-24七年级上·广东珠海·期中）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好，检查其中四个，结果如下：第一个为；第二个为；第三个为；第四个为，则这四个零件中质量最好的是（    ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的应用，先比较绝对值，再判断．根据绝对值最小的是最接近标准的，可得答案． 【详解】解：， 的误差最小，第一个零件最好； 故选：A． 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个结果如下：①；②；③；④．则质量最好的零件为 （填序号即可）． 【答案】④ 【分析】本题考查了正数和负数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后再进行比较，即可解答． 【详解】解：， ， ∴质量最好的零件为④， 故答案为：④． 【变式9-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 【答案】(1)小王接送教师当天出租车的总行程是40千米 (2)4.6升 【分析】（1）把所给数据的绝对值相加； （2）首先把所给数据的绝对值相加，然后乘以0.1即可求解． 【详解】（1）千米 答：小王接送教师当天出租车的总行程是40千米； （2）千米 千米 升， 答：这天小王最后回到起点共耗油4.6升． 【点睛】此题分别考查了有理数的加法、绝对值的意义及正负数的意义，都是基础知识，熟练掌握相关整数即可解决问题 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