专题04 集合与其它知识的交汇-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题04 集合与其它知识的交汇 目录 1 基本原理 1 2 类型1.交、并、补集的混合运算交汇 2 类型2.集合与函数的交汇 3 类型3.集合与简易逻辑的交汇 4 类型4.集合与不等式的交汇 4 类型5.集合与向量的交汇 5 类型6.集合中的新定义题交汇 5 6 基本原理 1．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 2．充分条件与必要条件 【知识点的认识】 1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立． 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3．充要条件的应用 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 类型1.交、并、补集的混合运算交汇 例1．已知全集，集合，或． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 例2．已知全集，集合，_____，． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①函数的定义域为集合；②不等式的解集为． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 类型2.集合与函数的交汇 通过对函数性质的研究，得出满足条件的数量关系，利用集合的知识处理． 例3．设全集，，，，则　　 A． B．， C．， D．， 例4．已知全集，集合，，，，则　　 A． B． C． D． 例5．已知集合，集合． （1）求，； （2）设函数，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 类型3.集合与简易逻辑的交汇 命题的真假、充分条件与必要条件、集合的包含关系是统一的，可以互相转化． 例6.设命题：实数满足；命题：实数满足，其中． （1）若，且命题，均为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值集合． 例7．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 类型4.集合与不等式的交汇 例8．已知，，是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 例9．已知， 是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由； 类型5.集合与向量的交汇 集合是某些指定对象构成的，由向量构成的集合，要将集合的运算与向量的运算联系起来． 例10．已知两个向量集合：，，则　　 A． B． C． D． 例11．已知，，，，，，，是两个向量集合，则　　． 类型6.集合中的新定义题交汇 例12．设为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称为“点射域”，在此基础上给出下列四个向量集合：①；②；③；④．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是　②　． 例13．已知自然数集，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底. (1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由： ①； ②. (2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：； (3)若集合E为集合的一组m元基底，求m的最小值. 1．已知全集，，，则　　 A． B．， C． D．， 2．已知集合，，求； （1）， （2），，求的取值范围． 3．已知集合，，，，，若，则实数的取值范围是 　　． 4．已知集合，，，，若，则实数的取值范围是　 　． 5．设命题，，命题，． （1）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值集合； （2）令集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 6．已知命题：实数满足，命题：实数满足． （1）当时，若“且”为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 7．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（    ） A．族为集合上的一个拓扑 B．族为集合上的一个拓扑 C．族为集合上的一个拓扑 D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 集合与其它知识的交汇 目录 1 一．基本原理 1 2 类型1.交、并、补集的混合运算交汇 2 类型2.集合与函数的交汇 4 类型3.集合与简易逻辑的交汇 6 类型4.集合与不等式的交汇 7 类型5.集合与向量的交汇 8 类型6.集合中的新定义题交汇 9 9 一．基本原理 1．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 2．充分条件与必要条件 【知识点的认识】 1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立． 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3．充要条件的应用 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 类型1.交、并、补集的混合运算交汇 例1．已知全集，集合，或． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）实数的取值范围为或． 【分析】（1）根据，即可得到所满足的条件，进而求出结论， （2）根据得到，再讨论集合即可求解结论． 【解答】解：（1）由已知得，， ，，． （2），．或，或． 即实数的取值范围为或． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题． 例2．已知全集，集合，_____，． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①函数的定义域为集合；②不等式的解集为． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】实数的范围是，． 【分析】分别将①②条件进行求解可得集合，解得集合完全一致即，再由集合的运算定义和集合间的关系可得答案． 【解答】解：已知全集，集合，． 选择条件①：，解得， 选择条件②：不等式即的解集为，解得， （1）：，，， ； 或，则或； （2）：，， 当时，即，即时，成立； 当时，即时，因为， 所以， 解得， 即可得， 综上，实数的范围是，． 【点评】本题考查集合间的基本关系及运算．方程解的情况判断．本题转化成对应的不等式组求解是关键． 类型2.集合与函数的交汇 通过对函数性质的研究，得出满足条件的数量关系，利用集合的知识处理． 例3．设全集，，，，则　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【分析】通过函数的定义域求出集合，然后求出的补集，通过函数的值域求出集合，然后求解． 【解答】解：因为全集，，，， 所以；或 ，， 则，． 故选：． 【点评】本题考查函数的定义域与函数的值域，集合的基本运算，考查计算能力． 例4．已知全集，集合，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】化简集合，，再由两个集合的交集的定义求出． 【解答】解：集合，，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查指数型函数的性质应用、二次函数在闭区间上的最值，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题． 例5．已知集合，集合． （1）求，； （2）设函数，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1），，，，． （2），． 【分析】（1）根据反比例函数及二次函数的性质分别求出集合，，再根据交集、并集和补集得定义即可得解； （2）方程在上有解，即为方程在上有解，利用基本不等式求出的范围即可得解． 【解答】解：（1）由，，得，， 则，则， 所以， 由， 则当，时，，， 则， 所以， 所以，，，， 所以，，； （2）由，得， 方程在上有解， 即方程在上有解，即方程在上有解， 因为，所以， 故，当且仅当，即时，取等号， 所以，． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了方程的有解问题，属于中档题． 类型3.集合与简易逻辑的交汇 命题的真假、充分条件与必要条件、集合的包含关系是统一的，可以互相转化． 例6.设命题：实数满足；命题：实数满足，其中． （1）若，且命题，均为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）当时，分别解出，对应的不等式，由命题，均为真命题，即可求解的取值范围； （2）根据是的必要不充分条件，由互为逆否的两个命题等价知，是的必要不充分条件，即对应的集合是对应集合的真子集，列出不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）对于等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以，当时，． 因为命题，均为真命题，所以实数的取值范围是：，； （2）因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件， 由（1）知：；， 所以，是的真子集，则，解得， 所以实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查不等式的解法，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题． 例7．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先，将命题化简，然后，结合是的必要不充分条件，确定实数的取值范围． 【解答】解：命题， 命题或， 是的必要不充分条件，即， ， 或， 又， 所以实数的取值范围是． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件和充要条件的判断等知识，属于中档题． 类型4.集合与不等式的交汇 例8．已知，，是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 【分析】求出集合的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：， 若存在实数，使是的充要条件， 则，即，此时无解， 即不存在实数，使是的充要条件． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出集合的等价条件，建立不等式关系是解决本题的关键． 例9．已知， 是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由； 【解答】解：由于， （1）要使是的充要条件， 则，即， 而此方程组无解， 则不存在实数，使是的充要条件； （2）要使是的必要条件， 则， ①当时，，即满足题意； ②当时，则，得， 要使，即有，解得， 即得， 综上可得，当实数时，使是的必要条件． 【点评】本题考查判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，是中档题． 类型5.集合与向量的交汇 集合是某些指定对象构成的，由向量构成的集合，要将集合的运算与向量的运算联系起来． 例10．已知两个向量集合：，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据数乘向量及向量加法的坐标运算，我们可以化简集合，中元素的性质，进而计算出两个集合求交时，参数，的值，进而得到的值． 【解答】解：向量集合：， 向量集合：， 令 解得：， 故 故选：． 【点评】本题考查的知识点是平面向量的表示的应用，相等向量与相反向量，其中根据两个向量相等，其中横纵坐标均相等构造关于，的方程，是解答本题的关键． 例11．已知，，，，，，，是两个向量集合，则　　． 【分析】首先根据，，，以及，两个的关系求出，的值，然后求出即可． 【解答】解：，，，， ，，， 由 得： ， ． 故答案为： 【点评】本题考查交集及其运算，通过集合间的关系建立等式，解不等式组，属于基础题． 类型6.集合中的新定义题交汇 例12．设为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称为“点射域”，在此基础上给出下列四个向量集合：①；②；③；④．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是　②　． 【分析】根据题中“点射域”的定义对各个选项依次加以判别，可得①③④都存在反例，说明它们不是“点射域”，而②通过验证可知它符合“点射域”的定义，是正确选项． 【解答】解：根据“点射域”的定义，可得向量时，与它共线的向量也成立， 对于①，表示终点在抛物线上及其张口以内的向量构成的区域， 向量，但，故它不是“点射域”； 对于②，，可得任意正实数和向量，都有，故它是“点射域”； 对于③，，表示终点在圆上及其外部的向量构成的区域， 向量，但，故它不是“点射域”； 对于④，，表示终点在椭圆内部的向量构成的区域， 向量，但，故它不是“点射域”． 综上所述，满足是“点射域”的区域只有② 故答案为：② 【点评】本题给出特殊定义，叫我们判断符合题的选项，着重考查集合与元素的关系和向量的性质等知识， 属于基础题． 例13．已知自然数集，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底. (1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由： ①； ②. (2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：； (3)若集合E为集合的一组m元基底，求m的最小值. 【答案】(1)①不是；②是 (2)证明见解析 (3)5 【分析】（1）根据题干信息，利用二元基底的定义加以验证即可； （2）首先设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意可得：，即可得证：； （3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得的最小值为. 【详解】（1）不是的一个二元基底 理由是 是的一个二元基底 理由是；；； ，，. （2）不妨设，则 形如的正整数共有个； 形如的正整数共有个； 形如的正整数至多有个； 形如的正整数至多有个； 又集合含有个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3）由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. 假设为的一个元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则，，，，重复元素超出一个，不符合条件； 如果，则或，易知和都不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，不符合条件； 当时，均不可能是的4元基底. 当时，易验证的一个基底， 理由：；；；；； ；；；；； ；；；；； ；；；. 综上所述，的最小值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 1．已知全集，，，则　　 A． B．， C． D．， 【分析】可以求出集合，，然后进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：，， ，，． 故选：． 【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，指数函数的值域，以及交集、补集的运算． 2．已知集合，，求； （1）， （2），，求的取值范围． 【分析】（1）先利用函数定义域的概念，二次函数性质分别化简集合，．再进行，计算 （2）利用子集的概念，吧集合关系转化为元素的关系． 【解答】解：（1）由得，所以， ，，， 所以，，， （2），，需． 【点评】本题考查集合的描述法表示，集合的基本运算．考查逻辑思维，运算求解能力． 3．已知集合，，，，，若，则实数的取值范围是 　，，　． 【答案】，，． 【分析】分别求出集合，，再根据，可得或，解得即可求出的取值范围． 【解答】解：集合，，，，， ，，， ，， ， 或， 或， 故的取值范围为，，， 故答案为：，，． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，是基础题． 4．已知集合，，，，若，则实数的取值范围是　　． 【分析】求出中的范围确定出，根据与的交集不为空集，由中的范围分类讨论范围，化简中绝对值不等式，求出的范围即可． 【解答】解：由中，得到，即， ， 由中，， 分两种情况考虑： 当时，变形得：，即， 要使，需，即； 当时，变形得：，即， 综上，的范围为． 故答案为： 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 5．设命题，，命题，． （1）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值集合； （2）令集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接利用存在性问题和恒成立问题的应用和真值表的应用及不等式的解法的应用求出的取值范围； （2）利用集合间的关系和充分条件和必要条件及不等式的组的解法的应用求出结果． 【解答】解：（1）命题，， 所以△，解得或； 命题，， 当时，恒成立， 故，解得； 故． 由于命题为假命题且命题为真命题， 所以，解得； 故； （2）集合， 由于“”是“”的必要不充分条件， 所以； 当时，，解得，满足条件； 当时，由于， 故，整理得． 故实数的取值范围为． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，集合间的关系，空集，恒成立问题和存在性问题的应用，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 6．已知命题：实数满足，命题：实数满足． （1）当时，若“且”为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法和真值表的应用求出结果． （2）利用集合间的关系和充分条件和必要条件的应用求出结果． 【解答】解：（1）命题：实数满足，解得：． 当时，命题：实数满足． 当“且”为真时，，解得． （2）若是的充分条件，则命题表示的集合，命题表示的集合， 所以：， 即，解得． 故的取值范围为． 【点评】本题考查的知识要点：集合间的关系，充分条件和必要条件，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 7．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（    ） A．族为集合上的一个拓扑 B．族为集合上的一个拓扑 C．族为集合上的一个拓扑 D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 【答案】ABD 【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，根据补集的性质可证也是一个拓扑. 【详解】对于A， 首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确； 对于B，首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确； 对于C，不妨设，则，不在中，故C错误； 对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑， 由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在， 且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在， 则， 下证：也是集合上的一个拓扑. 首先满足条件（1）， 其次，设，则， 而，故， 故，同理可证， 故中的有限个元素取交后得到的集合都在中， 任意多个元素取并后得到的集合都在中， 满足条件（3），故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到利用补集的性质处理，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$