专题01 集合全章复习（期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题01 集合 目 录 识记类 思维导图 知识清单(9类) 考点清单(9类) 公式清单(1类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(4类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 元素与集合 1.元素与集合的含义:一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写拉丁字母A,B,C，...表示集合，用小写拉丁字母a,b,c，...表示集合中的元素。 2.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.反过来，当两个集合相等时，这两个集合中的只能用在元素与集合之间,表示从属关系.元素是完全相同的. 知识点02 元素与集合的关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记为 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A, 记为． 知识点03 集合中元素的三个特征 1.确定性:集合中的元素必须是确定的. 2.互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的. 3.无序性:集合中的元素没有先后顺序，任意改变元素的排列次序，它们仍表示同一个集合. 知识点04 集合的分类 按元素的多少可将集合分为有限集(元素个数有限)和无限集(元素个数无限). 知识点05 常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N 或 Z Q R 知识点06 集合的表示方法 1.列举法:把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.一般形式为A={|p}，其中x叫做代表元素，是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征. 知识点07 子集真子集集合相等 一.子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 二.真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 三.集合的相等与子集的关系 1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 2.图形表示： 3.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B。 4.如果A=B则A⊆B且B⊆A。 知识点08 韦恩图空集 一.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 二.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 空集是任何集合的子集 知识点09 集合的基本运算 一.交集 自然语言 一般地，由既属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 二.并集 自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，或x∈B}, 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 三..全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 考点01 集合中元素特性的应用 考点内容：1.描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”等概念一样，都只是描述性的说明. 2.整体性:集合是一个整体，含“所有”“全部”“全体”的意思，故一些对象一旦组成了集合， 这个集合就是这些对象的总体 3.广泛性:集合中的元素可以是数、点、图形、多项式、方程、集合，也可以是人或物等. 1.确定性主要体现在集合中的元素满足集合的限制条件，由此可列出方程(组)或不等式(组)解决问题 2.互异性主要体现在求出参数后要代人检验，同一集合中的元素要互不相等. 则其中的元素不一定按顺序对应相等 3.无序性是分类讨论思想的应用标准，主要体现在:①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素;②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等。 考点02 元素与集合的关系 考点内容：元素与集合的属于与不属于关系． 1.判断元素与集合的关系 元素与集合之间只有“属于”和“不属于”两种关系，在判断一个元素是否属于某个集合 时，若集合是以列举法形式给出的，则直接判断即可;若集合是以描述法形式给出的，则一 要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足集合中元素的共同特征. 2.已知元素与集合的关系求参数 当时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足 方程(组)不等式(组)等;若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素 反之，当时，结论恰恰相反.利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可.求出参数的值后要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 3已知集合相等求参数 从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系.若集合中的元素不止一个，则需要分类讨论.注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行检验. 考点03 集合间关系的判断方法 考点内容：集合的子集，真子集． 1.列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. 2.元素特征法 确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若由p(x)可推出q(x)，则AB;②若由q(x)可推出p(x),则BA;③若p(x),q(x)可互相推出，则A=B;④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A,B无包含关系， 3.数形结合法 利用Venn图或数轴能直观地判断集合间的关系.一般地，判断不等式的解集之间的关系适合画出数轴. 考点04 由集合间的关系求参数的值或范围 考点内容：已知集合间的关系求对应参数的值与取值范围． 1.若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素的互异性. 2.若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值是否符合题意. 3.对于“AB”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，其中A=的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 考点05 有限集合的子集真子集个数 考点内容：求给定集合的子集真子集个数；已知子集真子集个数求参数． 1.当集合中元素个数有限时，其子集、真子集个数必为确定的,结论如下(其中n∈): 1)含有n个元素的集合有个子集; 2)含有n个元素的集合有(-1)个真子集; 3)含有n个元素的集合有(-1)个非空子集; 4)含有n个元素的集合有(-2)个非空真子集 2.对于有限集A,B,C,设集合A中含有n个元素,集合B中含有m个元素(m,n∈，且m<n).若B⊆C⊆A,则满足条件的集合C的个数；若B⊆C⫋A, 则满足条件的集合C的个数；若B⫋C⫋A, 则满足条件的集合C的个数. 考点06 集合的运算方法 考点内容：求集合的并交补运算． 1.若集合中的元素是有限的，则可以一一列举出来，进行运算. 2.若集合中的元素是离散的，则常用Vemn求解. 3.若集合中的元素是连续的实数，则常用数轴求解，要注意端点的情况. 考点07 集合运算中的参数问题 考点内容：已知集合的并交补运算求参数． 由集合运算求参数时，可将已知条件通过AB=A A⊆B,A∪B=AB⊆A转化为集合 之间的关系，若集合中的元素能被一一列举，可根据集合之间的关系列出方程(组)求解; 若集合与不等式有关，则可利用数轴列出不等式(组)求解，注意对空集的讨论和检验集合中 元素的互异性. 考点08 容斥原理 考点内容：文字问题求集合中元素的个数问题． 如果用card表示有限集合中元素的个数，如card(A)表示有限集合A中元素的个数，则有如下结论: 关系式 图示 card(A∪B)= card(A)+ card(B)- card(AB) card(A∪B∪C)= card(A)+ card(B)+ card(C)- card(AB)- card(A)- card(B)+ card(AB) 考点09 补集思想的应用 考点内容：运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂的问题，或含有至多、至少、存在唯一、不存在等词语的问题中. 运用补集思想解题的步骤 1)否定已知条件，考虑问题的反面; 2)求解问题的反面对应的参数范围; 3)取问题的反面对应参数的集合的补集，注意全集的范围. 子集与真子集个数 探究. 集合A 集合A中元素的个数 集合A子集个数 真子集的个数 非空真子集 n 2n 2n－1 2n－2 辨析01 描述法中的易错点 (1)竖线前写代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征.写清楚该集合代表元素的符号，例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}，且要分清是点集还是数集. (2)同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0},{ y|y≥0}，{yly=,表示同一个集合. (3)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x=2k }，,这种表示方式就不符合要求，需将也写进花括号，即{x|x=2k, }. (4)不能出现未被说明的字母 辨析02利用集合中元素的特性求参数的取值需要注意两点 1.根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值; 2.再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 3.若两个集合相等，则两集合的元素相同，但元素不一定按顺序对应相等. 辨析03 0，{0},∅与{∅}之间的关系 项目 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不包含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不包含任何元素；{∅}含一个元∅ 关系 0∉∅ ∅⫋{0} ∅⫋{∅}或∅∈{∅} 辨析04 已知集合运算求参数注意检验 对于已知集合的运算结果求参数值或范围的问题，一般先观察得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)或不等式(组)求解.在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验. 【题型一】元素与集合的关系 【例1】(25-26高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中)下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(23-24高一上·江苏无锡梅村高级中学·期中)下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】集合中元素的表示方法 【例2-1】(25-26高一下·江苏盐城滨海中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(22-23高一上·江苏淮安淮安区·期中) （多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A．方程的解集 B．最小的两个质数 C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解 【变式2-2】(22-23高一上·江苏宿迁北大附属宿迁实验学校·期中)（多选）中的元素有（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高一上·江苏镇江·期中)已知集合，请用列举法表示___________． 【题型三】集合间的基本关系 【例3】(23-24高一上·江苏南通海安高级中学·期中)下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】(22-23高一上·江苏南京中华中学·期中) （多选）已知，则集合可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】(23-24高一上·江苏无锡玉祁高级中学·期中) （多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】(22-23高一上·江苏连云港灌南高级中学·期中) （多选）下列说法中不正确的是（    ） A．集合为无限集 B．方程的解构成的集合的所有子集共4个 C． D． 【题型四】集合的子集真子集 【例4-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【变式4-1】(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】(23-24高一上·江苏南京鼓楼区南京师大附中·期中) （多选）下列各个选项中，满足 的集合A有（   ） A． B． C． D． 【题型五】集合的并交补运算 【例5-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型六】集合中元素个数问题 【例6-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式6-1】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 【变式6-2】(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【变式6-3】(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有__________种. 【题型七】子集真子集个数问题 【例7-1】(25-26高一上·江苏连云港新浦中学等9校·期中)设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【变式7-1】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)设全集是小于7的自然数，，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．15 D．31 【变式7-2】(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)已知全集则集合 的真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【变式7-3】(25-26高一上·江苏扬州中学·期中)集合，则符合条件的集合的个数为______． 【题型一】元素与集合的关系求参数忽略检验 【例1】(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 易错警示 如果集合中元素含参，我们在求出参数后，请务必检验是否满足集合中元素的互异性. 【变式1-1】(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知集合，若，则实数______ 【题型二】集合相等求参数忽略检验 【例2】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知集合，，若，则实数的值为______. 易错警示 在分析含参方程的解集时，一定要考虑无解的情况，此时对应集合为空集，且空集是可能满足题意的. 【变式2-1】(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)若集合，则______. 【变式2-2】(23-24高一上·江苏无锡天一中学·期中)已知，，若集合，则的值为_____________． 【变式2-3】(24-25高一上·江苏无锡江阴成化高级中学·期中)已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】集合中元素个数求参数 【例1】(24-25高一上·江苏南京第一中学·期中)已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为______. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏射阳县盘湾中学·期中)已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【变式1-2】(22-23高一上·江苏连云港海州区四校·期中)已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【题型二】根据集合的关系求参数 【例2-1】(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(23-24高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知集合，集合，若，则实数_______________． 【变式2-2】(22-23高一上·江苏南京金陵中学·期中)设，，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【题型三】根据并交补运算求参数 【例3】(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中) （多选）已知集合，，且，若实数的取值集合为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3-2】(22-23高一上·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3-3】(25-26高一上·江苏苏州·期中)已知全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【题型四】集合运算中的新定义 【例4】(25-26高一上·江苏南通·期中)设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. (1)已知，直接判断集合是否为“”集. (2)若为“”集，，求的值； (3)若为“”集，，，求. 【变式4-1】(25-26高一上·江苏奔牛高级中学·期中) （多选）定义集合A、B的一种运算：，若，，则（ ） A．的子集个数为15 B．中的所有元素之积为120 C．中的所有元素之和为14 D．中的元素个数为5 【变式4-2】(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中) （多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【变式4-3】(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 技巧 一句话要点 有限集合子集个数 子集个数：个，真子集个数：个 集合里面重要结论 ①；②；③ ④ 集合运算的口诀 同时满足求交集，分类讨论求并集 集合元素个数公式 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 目 录 识记类 思维导图 知识清单(9类) 考点清单(9类) 公式清单(1类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(4类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 元素与集合 1.元素与集合的含义:一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写拉丁字母A,B,C，...表示集合，用小写拉丁字母a,b,c，...表示集合中的元素。 2.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.反过来，当两个集合相等时，这两个集合中的只能用在元素与集合之间,表示从属关系.元素是完全相同的. 知识点02 元素与集合的关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记为 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A, 记为． 知识点03 集合中元素的三个特征 1.确定性:集合中的元素必须是确定的. 2.互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的. 3.无序性:集合中的元素没有先后顺序，任意改变元素的排列次序，它们仍表示同一个集合. 知识点04 集合的分类 按元素的多少可将集合分为有限集(元素个数有限)和无限集(元素个数无限). 知识点05 常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N 或 Z Q R 知识点06 集合的表示方法 1.列举法:把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.一般形式为A={|p}，其中x叫做代表元素，是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征. 知识点07 子集真子集集合相等 一.子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 二.真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 三.集合的相等与子集的关系 1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 2.图形表示： 3.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B。 4.如果A=B则A⊆B且B⊆A。 知识点08 韦恩图空集 一.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 二.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 空集是任何集合的子集 知识点09 集合的基本运算 一.交集 自然语言 一般地，由既属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 二.并集 自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，或x∈B}, 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 三..全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 考点01 集合中元素特性的应用 考点内容：1.描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”等概念一样，都只是描述性的说明. 2.整体性:集合是一个整体，含“所有”“全部”“全体”的意思，故一些对象一旦组成了集合， 这个集合就是这些对象的总体 3.广泛性:集合中的元素可以是数、点、图形、多项式、方程、集合，也可以是人或物等. 常见考法： 1.确定性主要体现在集合中的元素满足集合的限制条件，由此可列出方程(组)或不等式(组)解决问题 2.互异性主要体现在求出参数后要代人检验，同一集合中的元素要互不相等. 则其中的元素不一定按顺序对应相等 3.无序性是分类讨论思想的应用标准，主要体现在:①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素;②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等。 考点02 元素与集合的关系 考点内容：元素与集合的属于与不属于关系． 常见考法： 1.判断元素与集合的关系 元素与集合之间只有“属于”和“不属于”两种关系，在判断一个元素是否属于某个集合 时，若集合是以列举法形式给出的，则直接判断即可;若集合是以描述法形式给出的，则一 要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足集合中元素的共同特征. 2.已知元素与集合的关系求参数 当时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足 方程(组)不等式(组)等;若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素 反之，当时，结论恰恰相反.利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可.求出参数的值后要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 3已知集合相等求参数 从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系.若集合中的元素不止一个，则需要分类讨论.注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行检验. 考点03 集合间关系的判断方法 考点内容：集合的子集，真子集． 常见考法： 1.列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. 2.元素特征法 确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若由p(x)可推出q(x)，则AB;②若由q(x)可推出p(x),则BA;③若p(x),q(x)可互相推出，则A=B;④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A,B无包含关系， 3.数形结合法 利用Venn图或数轴能直观地判断集合间的关系.一般地，判断不等式的解集之间的关系适合画出数轴. 考点04 由集合间的关系求参数的值或范围 考点内容：已知集合间的关系求对应参数的值与取值范围． 常见考法： 1.若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素的互异性. 2.若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值是否符合题意. 3.对于“AB”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，其中A=的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 考点05 有限集合的子集真子集个数 考点内容：求给定集合的子集真子集个数；已知子集真子集个数求参数． 常见考法： 1.当集合中元素个数有限时，其子集、真子集个数必为确定的,结论如下(其中n∈): 1)含有n个元素的集合有个子集; 2)含有n个元素的集合有(-1)个真子集; 3)含有n个元素的集合有(-1)个非空子集; 4)含有n个元素的集合有(-2)个非空真子集 2.对于有限集A,B,C,设集合A中含有n个元素,集合B中含有m个元素(m,n∈，且m<n).若B⊆C⊆A,则满足条件的集合C的个数；若B⊆C⫋A, 则满足条件的集合C的个数；若B⫋C⫋A, 则满足条件的集合C的个数. 考点06 集合的运算方法 考点内容：求集合的并交补运算． 常见考法： 1.若集合中的元素是有限的，则可以一一列举出来，进行运算. 2.若集合中的元素是离散的，则常用Vemn求解. 3.若集合中的元素是连续的实数，则常用数轴求解，要注意端点的情况. 考点07 集合运算中的参数问题 考点内容：已知集合的并交补运算求参数． 常见考法： 由集合运算求参数时，可将已知条件通过AB=A A⊆B,A∪B=AB⊆A转化为集合 之间的关系，若集合中的元素能被一一列举，可根据集合之间的关系列出方程(组)求解; 若集合与不等式有关，则可利用数轴列出不等式(组)求解，注意对空集的讨论和检验集合中 元素的互异性. 考点08 容斥原理 考点内容：文字问题求集合中元素的个数问题． 常见考法： 如果用card表示有限集合中元素的个数，如card(A)表示有限集合A中元素的个数，则有如下结论: 关系式 图示 card(A∪B)= card(A)+ card(B)- card(AB) card(A∪B∪C)= card(A)+ card(B)+ card(C)- card(AB)- card(A)- card(B)+ card(AB) 考点09 补集思想的应用 考点内容：运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂的问题，或含有至多、至少、存在唯一、不存在等词语的问题中. 常见考法： 运用补集思想解题的步骤 1)否定已知条件，考虑问题的反面; 2)求解问题的反面对应的参数范围; 3)取问题的反面对应参数的集合的补集，注意全集的范围. 子集与真子集个数 探究. 集合A 集合A中元素的个数 集合A子集个数 真子集的个数 非空真子集 n 2n 2n－1 2n－2 辨析01 描述法中的易错点 (1)竖线前写代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征.写清楚该集合代表元素的符号，例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}，且要分清是点集还是数集. (2)同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0},{ y|y≥0}，{yly=,表示同一个集合. (3)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x=2k }，,这种表示方式就不符合要求，需将也写进花括号，即{x|x=2k, }. (4)不能出现未被说明的字母 辨析02利用集合中元素的特性求参数的取值需要注意两点 1.根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值; 2.再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. 3.若两个集合相等，则两集合的元素相同，但元素不一定按顺序对应相等. 辨析03 0，{0},∅与{∅}之间的关系 项目 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不包含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不包含任何元素；{∅}含一个元∅ 关系 0∉∅ ∅⫋{0} ∅⫋{∅}或∅∈{∅} 辨析04 已知集合运算求参数注意检验 对于已知集合的运算结果求参数值或范围的问题，一般先观察得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)或不等式(组)求解.在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验. 【题型一】元素与集合的关系 【例1】(25-26高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中)下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合常见数集的表示方法，逐项判断，即可求解. 【详解】因为表示整数集，表示实数集，表示有理数集，表示自然数集， 所以，，，，所以选项A错误. 故选：A. 【变式1-1】(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 【变式1-2】(23-24高一上·江苏无锡梅村高级中学·期中)下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 【题型二】集合中元素的表示方法 【例2-1】(25-26高一下·江苏盐城滨海中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 【变式2-1】(22-23高一上·江苏淮安淮安区·期中) （多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A．方程的解集 B．最小的两个质数 C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解 【答案】BCD 【分析】利用列举法表示各集合，即可作出判断. 【详解】对于A，方程的解集为，不符合； 对于B，最小的两个质数构成的集合，符合； 对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合； 对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合. 故选：BCD 【变式2-2】(22-23高一上·江苏宿迁北大附属宿迁实验学校·期中)（多选）中的元素有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用列举法表示出集合，即可判断； 【详解】解：因为 所以或或 所以 故选：ABC 【点睛】本题考查列举法表示集合，属于基础题. 【变式2-3】(25-26高一上·江苏镇江·期中)已知集合，请用列举法表示___________． 【答案】 【分析】利用代入法解方程组结合交集的定义即可求解. 【详解】由可得代入方程中，解得，. 所以. 故答案为：. 【题型三】集合间的基本关系 【例3】(23-24高一上·江苏南通海安高级中学·期中)下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系确定正确答案. 【详解】是无理数，所以A选项错误. 空集是任何集合的子集，所以B选项正确. 集合与集合的元素不相同，所以没有包含关系，所以C选项错误. ，所以D选项错误. 故选：B 【变式3-1】(22-23高一上·江苏南京中华中学·期中) （多选）已知，则集合可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合间的包含关系判断即可． 【详解】解：因为， 所以对于A，若，满足题意； 对于B，若，，不满足题意； 对于C，若，满足题意； 对于D，若，则，不满足题意． 故选：AC． 【变式3-2】(23-24高一上·江苏无锡玉祁高级中学·期中) （多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，，A错误； 对于B，，，且，故，B正确； 对于C，，不是的子集，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 【变式3-3】(22-23高一上·江苏连云港灌南高级中学·期中) （多选）下列说法中不正确的是（    ） A．集合为无限集 B．方程的解构成的集合的所有子集共4个 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题设条件利用无限集的定义、集合元素的性质、子集的意义、集合相等的定义逐一判断即可得解. 【详解】集合，不是无限集，故A中说法不正确； 方程的解构成的集合为，其所有子集为，，，， 共4个，故B中说法正确； 集合的元素为直线上的点，， 故，故C中说法不正确； 因为，，所以，故D中说法不正确． 故选：ACD． 【题型四】集合的子集真子集 【例4-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 【变式4-1】(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 【变式4-2】(23-24高一上·江苏南京鼓楼区南京师大附中·期中) （多选）下列各个选项中，满足 的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 【题型五】集合的并交补运算 【例5-1】(25-26高一上·江苏连云港灌南县·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：B 【变式5-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以 . 故选：A 【变式5-2】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 【变式5-3】(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定集合，结合交集、补集运算即可求解. 【详解】， ， 所以或， 所以， 故选：C 【题型六】集合中元素个数问题 【例6-1】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据容斥原理求解. 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 【变式6-1】(25-26高一上·江苏南京鼓楼区·期中)某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先求出至少喜爱一项运动的人数，再计算两项运动都喜爱的人数，用喜爱篮球运动的人数减去两项都喜爱的人数即可. 【详解】总人数：38，喜爱篮球：23，喜爱乒乓球：12，两项都不喜爱：8， 所以至少喜爱一项运动的人数为， 所以两项运动都喜爱的人数为， 所以只喜爱篮球不喜爱乒乓球的人数为. 故选：D 【变式6-2】(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 【变式6-3】(23-24高一上·江苏常州高级中学·期中)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有__________种. 【答案】 【分析】先分析得前两天共售出的商品种类，再考虑第三天售出商品种类的情况，根据题意即可得解. 【详解】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有种， 第二天售出但第一天未售出的商品有种， 所以前两天共售出的商品有种， 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有种， 因为， 所以这种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为. 故答案为：. 【题型七】子集真子集个数问题 【例7-1】(25-26高一上·江苏连云港新浦中学等9校·期中)设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，可得集合的子集个数. 【详解】，所以集合的子集个数是. 故选：C. 【变式7-1】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)设全集是小于7的自然数，，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】C 【分析】列举出全集，利用补集的运算求出，利用公式求出的真子集个数. 【详解】依题意，，而，所以. 真子集数为. 故选：C 【变式7-2】(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)已知全集则集合 的真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据题意线求出，进而求出,得出真子集个数. 【详解】,, 则，, 则真子集根数为. 故选：B. 【变式7-3】(25-26高一上·江苏扬州中学·期中)集合，则符合条件的集合的个数为______． 【答案】8 【分析】根据子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合， 所以，是与的子集的并集， 所以集合的个数为. 故答案为：8 【题型一】元素与集合的关系求参数忽略检验 【例1】(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 易错警示 如果集合中元素含参，我们在求出参数后，请务必检验是否满足集合中元素的互异性. 【变式1-1】(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【变式1-2】(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知集合，若，则实数______ 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 【题型二】集合相等求参数忽略检验 【例2】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据集合相等的定义分析即可. 【详解】集合，， 若，则， 则或，所以或或， 当时，集合，，则，满足题意； 当时，集合，，不符合； 当时，集合，，不符合； 综上，实数的值为2. 故答案为：2 易错警示 在分析含参方程的解集时，一定要考虑无解的情况，此时对应集合为空集，且空集是可能满足题意的. 【变式2-1】(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)若集合，则______. 【答案】1 【分析】利用集合相等，分和两种情况求解. 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 【变式2-2】(23-24高一上·江苏无锡天一中学·期中)已知，，若集合，则的值为_____________． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以 ，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴ . ∴ 故答案为： 【变式2-3】(24-25高一上·江苏无锡江阴成化高级中学·期中)已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 【题型一】集合中元素个数求参数 【例1】(24-25高一上·江苏南京第一中学·期中)已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为______. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 【变式1-1】(25-26高一上·江苏射阳县盘湾中学·期中)已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 【变式1-2】(22-23高一上·江苏连云港海州区四校·期中)已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 【题型二】根据集合的关系求参数 【例2-1】(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 【变式2-1】(23-24高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知集合，集合，若，则实数_______________． 【答案】2 【分析】根据，可得，即可解得. 【详解】因为，集合，集合， 所以，即，解得， 故答案：. 【变式2-2】(22-23高一上·江苏南京金陵中学·期中)设，，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求解参数． 【详解】∵集合，，且， ∴， 故选：B． 【变式2-3】设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列出不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】（1）因为集合或，所以， 又，所以. （2）集合，显然不为， 因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型三】根据并交补运算求参数 【例3】(24-25高一上·江苏徐州第三十七中学·期中) （多选）已知集合，，且，若实数的取值集合为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由可知，解方程可得，即可得集合，进而判断各选项. 【详解】由已知， 又，即， 则方程有且只有一解， 即，解得，， 则， 故ACD正确； 故选：ACD. 【变式3-1】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【详解】（1）当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 （2），或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 【变式3-2】(22-23高一上·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）因为，则说明集合，然后求解即可； （2）按照元素的个数分集合为空集，集合有一个元素，集合有两个元素讨论，最后不同情况求出的取值取并集即可. 【详解】（1）化简，得， 因为，则， 所以有，解得或， ，解得或， 综上，. （2）化简，得， 因为，则， 当时，有，解得或； 当集合只有一个元素时，有，得或， 当时，集合显然不满足， 当时，集合显然不满足； 当集合有两个元素时，则，所以， 所以有，解得或， ，解得或，故； 综上所述 【变式3-3】(25-26高一上·江苏苏州·期中)已知全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用集合的运算法则计算可得答案； （2）由可得：集合在的左侧或在3的右侧，列不等式即可. 【详解】（1）当时，，则或， 所以，. （2）因为，所以， 由于，所以或， 解得或. 所以的取值范围是. 【题型四】集合运算中的新定义 【例4】(25-26高一上·江苏南通·期中)设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. (1)已知，直接判断集合是否为“”集. (2)若为“”集，，求的值； (3)若为“”集，，，求. 【答案】(1)为“”集，不为“”集. (2)32 (3) 【分析】（1）按照“”集的定义列举验证即可； （2）根据“”集的定义分析得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案； （3）根据“”集的定义分析可得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案. 【详解】（1）对于集合，当时，；当时，； 当，；当，；故为“”集. 对于集合，当时，，故不为“”集. （2）因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 所以. （3）因为， 所以. 又， 所以， 所以，同时. 因为，所以， 因为，所以. 又，所以， 所以， 所以. 【变式4-1】(25-26高一上·江苏奔牛高级中学·期中) （多选）定义集合A、B的一种运算：，若，，则（ ） A．的子集个数为15 B．中的所有元素之积为120 C．中的所有元素之和为14 D．中的元素个数为5 【答案】BC 【分析】我们先根据定义求出，然后根据选项逐项判断. 【详解】当时，分别为，； 当时，分别为，； 当时，分别为，. 所以. 选项A：一个集合有个元素，其子集个数为，有个元素，子集个数为，不是，故A错误； 选项B：中所有元素之积为，故B正确； 选项C：中所有元素之和为，故C正确； 选项D：的元素个数为，不是，故D错误. 故选： BC 【变式4-2】(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中) （多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，，所以， 所以A选项正确. B选项，，，， 则，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项错误. D选项，若， 则 ， 所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 【变式4-3】(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 【答案】(1)， (2)不正确，理由如下： 因为当，时，有，故，但. 所以“”不能推出“对任意，都有”. (3)证明：由定义知，故. 若，则，故. 此时，故，所以为奇数； 若，则，故的最大元素和最小元素同号，从而. 而，故，又因为，所以或. 而为正整数，所以，故，这就得到. 假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数. 设，则，，故. 由于，，故，即. 所以，得. 若，则，得，故为奇数，矛盾； 若，则显然为奇数，矛盾. 这表明假设不成立，所以为奇数. 【分析】（1）直接根据定义即可得到答案； （2）给出，作为充分性的反例即可； （3）将题目条件转化为，再使用反证法证明. 【详解】（1）此时，，故，. （2）不正确，理由略； （3）略. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将题目条件适当转化为容易处理的形式，这样便于解决问题. 技巧 一句话要点 有限集合子集个数 子集个数：个，真子集个数：个 集合里面重要结论 ①；②；③ ④ 集合运算的口诀 同时满足求交集，分类讨论求并集 集合元素个数公式 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $